1、- 1 -湖北省仙桃中学 2019 届高三数学上学期 8 月考试试题（含解析）一:选择题1.“ ”是“直线 的倾斜角大于 ”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设直线 的倾斜角为 ，则 .若 ，得 ，可知倾斜角 大于 ；由倾斜角 大于 得 ，或 ，即 或 ，所以“ ”是“直线 的倾斜角大于 ”的充分而不必要条件，故选 A.2.（5 分） （2011广东）已知集合 A=（x，y）|x，y 为实数，且 x2+y2=1，B=|（x，y）|x，y 为实数，且 x+y=1，则 AB 的元素个数为（ ）A. 4 B. 3 C
2、. 2 D. 1【答案】C【解析】法一 由题得 或 AB=(1,0),(0,1).故选 C.法二 显然圆 x2+y2=1 上两点(1,0),(0,1)在直线 x+y=1 上,即直线与圆相交.故选 C.【此处有视频，请去附件查看】3.设 为两个不同的平面，直线 ，则“ ”是“ ”成立的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】- 2 -试题分析：当满足 时可得到 成立，反之，当 时， 与 可能相交，可能平行，因此前者是后者的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件点评：命题：若 则 是真命题，则 是 的充分条件， 是 的必要条件4.
3、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是如下图所示的组合体，其体积，故选 A.考点：1.三视图；2.多面体的体积.5.已知三棱锥 的底面是以 为斜边的等腰直角三角形，且 ，则该三棱锥的外接球的体积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】- 3 -【分析】根据三棱锥 的底面是以 为斜边的等腰直角三角形， ，可得 S 在面 ABC上的射影为 AB 中点 H， 平面 ，在面 SHC 内作 SC 的垂直平分线 MO 与 SH 交于 O，则O 为 SABC 的外接球球心，OS 为球半径，由此可得该三棱锥的外接
4、球的体积.【详解】因为三棱锥 的底面是以 为斜边的等腰直角三角形， ，所以 S 在 ABC 上的射影为 AB 中点 H，所以 平面 ，所以 SH 上任意一点到 A,B,C 的距离相等，因为 ，在面 SHC 内作 SC 的垂直平分线 MO 与 SH 交于 O，则 O 为 的外接球球心，所以 ，即 ，解得 ，所以该三棱锥的外接球的体积为 ，故选 D.【点睛】该题考查的是有关球的体积的问题，涉及到的知识点是三棱锥的外接球，在解题的过程中，需要明确几何体的外接球的特征，注意思考球心所处的位置，建立相应的等量关系，求得半径，利用公式求得体积.6.已知 ， 为抛物线 上异于原点的两个点， 为坐标原点，直线
5、 斜率为 2，则重心的纵坐标为（ ）A. 2 B. C. D. 1【答案】C【解析】- 4 -试题分析：设 ，则 ，因此 重心的纵坐标为，选 C.考点：直线与抛物线位置关系7.抛物线 的焦点坐标是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，焦点坐标为 ，即为 ，故选 B.8.执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】由题意可知= .故选 B.9.若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】- 5 -由题意可得 的图象在 上恒位于直线 的下方或在直线 上，数形结合可得 或 ，分别求其
6、解集，再取并集，即得所求.【详解】由不等式 对任意 时恒成立，可得 的图象在 上恒位于直线 的下方或在直线 上，如图所示：所以 或 ，解得 或 ，故实数 的范围是 ，故选 B.【点睛】该题考查的是有关参数的取值范围，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，数形结合的思想以及分类讨论的思想，注意对问题的正确转化是解题的关键.10.函数 的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据对数运算可以先将函数解析式化简为： 的形式，再由基本不等式得出函数的值域.【详解】因为 ，令 ，因为 且 ，所以 ，- 6 -所以 或 ，所以 ，故选 D.【点睛】该题考查的是有关对数型函数的值域问题
7、，在解题的过程中，涉及到的知识点有换元法，基本不等式，注意函数的定义域是解题的关键.11.函数 的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由于 ， ，且 ，故此函数是非奇非偶函数，排除 ；又当 时，满足 ，即 的图象与直线的交点中有一个点的横坐标为 ，排除 ， 故选 B【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除
8、12.已知定义在 上的偶函数 满足 ,且当 时, ,则函数的零点个数是- 7 -A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】由题意 ,所以 周期为 2,当 时, ,且偶函数 ,即函数图象关于 y 轴对称,分别画出 y= 和 y= 的图象,观察可得交点个数为 6 个,即函数 的零点个数是 6 个,本题选择 C 选项.点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 a， b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利
9、用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点二:解答题13.已知 ，则 的最小值为_【答案】【解析】，当且仅当 时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等- 8 -式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14.球的内接圆柱的底面积为 ，侧面积为 ，则该球的表面积为_【答案】【解析】【分析】根据题的条件，求得内接圆柱的底面半径与圆柱的高，结合几何体的特征，求得球的半径，然后利用球的表面积公式
10、求得结果.【详解】因为球的内接圆柱的底面积为 ，侧面积为 ，所以圆柱的底面半径为 2，高为 3，所以外接球的半径为 ，有 ，所以球的半径为 ，所以球的表面积为 ，故答案是 .【点睛】该题考查的是有关球的表面积问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有球的内接圆柱的相关内容，会利用轴截面中相关的边长，找出其关系，求得球的半径，得到结果.15.若抛物线 在点（1,2）处的切线也与圆 相切，则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】首先根据抛物线所过的一个点，求得抛物线的方程，从函数的角度去求其切线，对函数求导，代入求得直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求得参数的值，得到
11、结果.【详解】 抛物线 过点 可得抛物线可化为 ，从而由 知切线斜率为 ，切线方程为 即又 圆的方程可化为 且圆与抛物线也相切- 9 -解得【点睛】该题考查的是有关曲线的切线问题，涉及到的知识点有抛物线的方程的求解，利用导数的几何意义求曲线的切线方程，圆与直线的位置关系，点到直线的距离公式，正确应用公式是解题的关键.16. 是定义在 上的周期为 3 奇函数，当 时， ，则_【答案】【解析】 是定义在 上的周期为 3 奇函数，当 时， ， ，则 ，故答案为 .三:解答题17.已知命题 ：方程 表示双曲线，命题 ： ， .（）若命题 为真，求实数 的取值范围；（）若 为真， 为真，求实数 的取值范
12、围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（）分类讨论及结合一元二次不等式的性质进行求解即可；（）若 为真， 为真，则 p 为真命题，q 为假命题，建立不等式关系求解即可试题解析：（）命题 为真，当 时， ， ，故 ；当 时， ，符合题意；当 时， 恒成立.综上， .（）若 为真，则 ，即 .- 10 -若 为真， 为真， 真 假， ，解得 .18.“共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式.某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的 A 城市和交通拥堵严重的 B 城市分别随机调查了 个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：（1）根据茎叶图
13、，比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小（不要求计算具体值，给出结论即可） ；（2）若得分不低于 分，则认为该用户对此种交通方式“认可” ，否则认为该用户对此种交通方式 “不认同” ，请根据此样本完成此列联表，并据此样本分析是否有 的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；（3）若此样本中的 A 城市和 B 城市各抽取 人，则在此 2 人中恰有一人认可的条件下，此人来自 B 城市的概率是多少？A B 合计认可不认可合计附：0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828- 11 -【答案】见解析；见解析；【解析】【分析】（1）根据茎叶图，即可比较两城市满意度评分的平均
14、值和方差；（2）求出 ，与临界值比较，即可得出结论；（3）利用列举法确定基本事件，即可求出来自不同城市的概率.【详解】 （） 城市评分的平均值小于 城市评分的平均值；城市评分的方差大于 城市评分的方差；（）合计认可 5 10 15不认可 15 10 25合计 20 20 40所以没有 95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；（）设事件 ：恰有一人认可；事件 ：来自 城市的人认可；事件 包含的基本事件数为 ，事件 包含的基本事件数为 ，则所求的条件概率 .【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有茎叶图的识别，独立性检验，随机事件发生的概率，在解题的过程中，熟练掌握基础知识是解题的
15、关键.19.如图，在四棱锥 中， ， ， 平面， .设 分别为 的中点.（1）求证：平面 平面 ；- 12 -（2）求三棱锥 的体积. 【答案】 （1）证明见解析 （2）三棱锥 的体积【解析】试题分析：（1）由中位线定理可得 平面 . 再证得 平面 平面 平面 ； （2）由（1）知，平面 平面 点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离 .试题解析：（1）证明： 分别为 的中点，则 . 又 平面 ， 平面 ， 平面 . 在 中， ， .又 ， . 平面 ， 平面 ， 平面 . 又 ， 平面 平面 . （2）由（1）知，平面 平面 ，点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离.由已知， ， ， ，
16、，- 13 -三棱锥 的体积 .20.抛物线 上的点 到点 的距离与到直线 的距离之差为 ，过点 的直线 交抛物线于 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若 的面积为 ，求直线 的方程.【答案】 ； 或 ；【解析】【分析】（1）根据题中的条件，列出相应的式子，求得对应的参数，求得抛物线的方程；（2）先分类讨论，分直线的斜率不存在与存在两种情况，设出直线的方程，利用题中所给的条件，建立相应的等量关系式，求得结果.【详解】 （1）设 ，由定义知 ， ， ，故抛物线方程为 ；（2）设 ，由（1）知若直线 的斜率不存在，则方程为 ，此时 ，所以 的面积为 ，不满足，所以直线 的斜率存在；设直线 的方程为
17、 ，带入抛物线方程得：所以 ， ，所以 ，点 到直线 的距离为 ，所以 ，解得：直线 的方程为 或 .- 14 -【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线的综合题，涉及到的知识点有抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，弦长公式，点到直线的距离，三角形的面积，正确应用公式是解题的关键.21.已知函数 ，（1）设 ，若函数 在 上没有零点，求实数 的取值范围；（2）若对 ，均 ，使得 ，求实数 的取值范围.【答案】 ；【解析】【分析】（1）求出 的最小值，根据最小值大于 0，求出 b 的取值范围即可；（2）问题转化为 ，设 ，得到 ，问题转化为对 恒成立，根据函数的单调性求出 b 的取值范围即可.【详
18、解】 ，在 上没零点设 ，对 恒成立则 在 上单调递增则 对 恒成立对 恒成立设 ， 在 递减- 15 -,即【点睛】该题考查的是有关导数的应用的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值，利用导数研究恒成立问题求参数的范围，正确求导是解题的关键.四:选做题22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以原点 为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .(1)分别写出曲线 的普通方程及曲线 的直角坐标方程；(2)若点 为曲线 上的一动点，点 为曲线 上的一动点，求 的最小值.【答案】 ： ； ： ；【解析】【分析】（1）利用同角三角函数
19、平方关系进行消参，求得曲线 的普通方程，根据极坐标和直角坐标互化公式求解，即可得到曲线 的直角坐标方程；（2）利用已知，曲线 是以 为圆心，半径为 的圆，得到 ，借助于三角函数的取值情况进行求解即可.【详解】由题意可知曲线 的普通方程曲线 的直角坐标方程因为曲线 是以 为圆心，半径为 的圆，所以又从而可知 的最小值为【点睛】该题考查的是有关参数方程与极坐标的问题，涉及到的知识点有参数方程向普通方- 16 -程的转化，极坐标方程向直角坐标方程的转化，以及有关距离的最值的求解问题，正确应用相关的公式是解题的关键.23.已知函数 ()当时 ，求 的解集；()当 时， 恒成立，求 的取值范围【答案】 ；【解析】【分析】（1）问题转化为解关于 x 的不等式组，求出不等式的解集即可；（2）根据 x 的范围，去掉绝对值符号，从而求出 a 的范围即可.【详解】当 时，由 ，可得 ， 或 或解得：解得：解得：综上所述，不等式的解集为若当 时， 成立，即故即对 时成立故【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，有关恒成立求参数的取值范围，在解题的过程中，注意等价转化是正确解题的关键.- 17 -
