1、1第四章 图形的相似7 相似三角形的性质第 2 课时 相似三角形中的周长和面积之比素材一 新课导入设计情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣情景导入 如图 4729，在比例尺为 1500 的地图上，测得一个三角形地块的周长为 12 cm，面积为 6 cm2，求这个地块的实际周长及面积图 4729问题 1 在这个情境中，地图上的三角形地块与实际地块是什么关系？1500 表示什么含义？问题 2 要解决这个问题，需要什么知识？问题 3 你能对这个地块的实际周长与面积作出估计吗？问题 4 如何说明你的猜想是否正确呢？说明与建议 说明：学生们在一个开放的环境中思考生活中遇到的实际问题
2、，亲身经历和感受数学知识来源于生活中的过程建议：小组交流、总结，学生可能会得到周长之比等于比例尺，面积之比等于比例尺的平方的猜想，通过小组合作，初步验证猜想，引出新知复习导入 复习比例线段的性质(基本性质、合比性质、等比性质)：如果 ，那么 _ _， _ _；ab 43 a bb 73 a bb 13如果 ，那么 _ _；ab cd ef 57 a c eb d f 57在四边形 ABCD 和四边形 EFGH 中，已知 ，四边形 ABCD 的周长是ABEF BCFG CDGH DAHE 2360 cm，求四边形 EFGH 的周长说明与建议 说明：通过复习比例的性质，尤其是等比性质，让学生感受多
3、边形的周长比与相似比的关系引导学生思考问题，自然地过渡到新课的学习上来建议：重点是让学生动手、动脑，探究相似形周长之比与相似比之间的关系悬念激趣 某城区施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题：马路旁边原有一个2面积为 100 平方米、周长为 80 米的三角形绿化地，由于马路拓宽，绿化地被削去了一个角，变成了一个梯形，如图 4730，原绿化地一边 AB 的长由原来的 20 米缩短成 12 米则被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？图 4730说明与建议 说明：联系生活实际，提出问题，引发学生探究的积极性，设置悬念，从而激发学生的求知欲通过思考，让学生带着问题学习新课，同时教师引出新课建议：在学
4、生操作时，教师要引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验素材二 教材母题挖掘教材母题第 110 页例 2如图 4731，将ABC 沿 BC 方向平移得到DEF，ABC 与DEF 重叠部分(图中阴影部分)的面积是ABC 的面积的一半已知 BC2，求ABC 平移的距离图 4731【模型建立】根据相似三角形的性质相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，可以解决图形中的周长与面积问题，简化计算与证明过程对学生的要求是能准确找出相似的两个三角形，再利用性质求解【变式变形】1如图 4732，ABCABC，它们的周长分别为 60 cm 和 72 cm，且AB15 cm，BC24 c
5、m，求 BC，AC，AB，AC的长图 4732答案：BC20 cm，AC25 cm，AB18 cm，AC30 cm2如图 4733，在ABC 和DEF 中，AB2DE，AC2DF，AD，ABC 的周长是 24，面积是 48，求DEF 的周长和面积图 47333答案：DEF 的周长为 12，面积为 123如图 4734 所示，在ABCD 中，AEEB12，且 SAEF 6 cm2.(1)求AEF 与CDF 的周长比；(2)求CDF 的面积图 4734答案：(1)13 (2)54 cm24如图 4735，在ABC 中，C90，D 是 AC 上一点，DEAB 于点 E.若AB10，BC6，DE2，求
6、四边形 DEBC 的面积图 4735答案： 643素材三 考情考向分析命题角度 1 利用相似三角形的性质求周长比相似三角形的周长比等于相似比，有了边长的关系，就可以求出周长比例 湘西中考 如图 4736，在ABCD 中，E 是 AD 边上的中点，连接 BE，并延长BE 交 CD 的延长线于点 F，则EDF 与BCF 的周长比是( A)图 4736A12 B13 C14 D15命题角度 2 利用相似三角形的性质求面积比灵活运用相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解题例 南京中考 若ABCABC，相似比为 12，则ABC 与ABC的面积比为( C)A12 B21 C14 D41命题角度 3 利用
7、相似三角形的性质求相似比相似三角形的面积之比等于相似比的平方反过来，当已知两个相似三角形面积之间的关系时，也可以求出相似比例 滨州中考 如图 4737，平行于 BC 的直线 DE 把ABC 分成的两部分面积相等，则 的值是多少？ADAB4图 4737答案： 22素材四 教材习题答案P110 随堂练习判断正误：(1)如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的 10 倍，那么它的周长也扩大为原来的10 倍；( )(2)如果把一个三角形的面积扩大为原来的 9 倍，那么它三边的长都扩大为原来的 9倍( )答案 (1) (2)P110 习题 4.121如图，在方格纸上有 A1B1C1和 A2B2C2，这两
8、个三角形是否相似？如果相似，A1B1C1与 A2B2C2的周长比和面积比分别是多少？解：相似，周长比为 21 ；面积比为 41.2如图，在 ABC 和 DEF 中， G， H 分别是边 BC 和 EF 的中点，已知AB2 DE， AC2 DF， BAC EDF.(1)中线 AG 与 DH 的比是多少？(2) ABC 与 DEF 的面积比是多少？解：(1)21 (2)41.3如图，Rt ABCRt EFG， EF2 AB， BD 和 FH 分别是它们的中线， BDC 与 FHG是否相似？如果相似，试确定其周长比和面积比5解：相似；周长比为 12，面积比为 14.4一块三角形土地的一边长为 120
9、 m，在地图上量得它的对应边长为 0.06 m，这边上的高为 0.04 m，求这块地的实际面积解：4800 m 2.5小明同学把一幅矩形图放大欣赏，经测量其中一条边由 10 cm 变成了 40 cm，那么这次放大的比例是多少？ 这幅画的面积发生了怎样的变化？解：放大的比例是 14，这幅画的面积变为原来的 16 倍6一个小风筝与一个大风筝形状相同，它们的形状如图所示，其中对角线 AC BD.已知它们的对应边之比为 13，小风筝两条对角线的长分别为 12 cm 和 14 cm.(1)小风筝的面积是多少？(2)如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需要多长的材料？(不计损耗
10、)(3)大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸(如图中虚线所示)裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？解：(1) 设 AC 和 BD 的交点是 O，风筝面积 ABD 的面积 BCD 的面积 BDAO 12BDCO BD(AO CO) BDAC 121484(cm 2)12 12 12 12(2) 3 (AC BD)3(1214)78(cm)(3) 彩纸面积121433，容易看出裁下的面积是彩纸的一半，故废弃部分面积331214 756(cm 2)127如图，在 ABC 中，点 D， E 分别在边 AB 和 AC 上，且 DE BC.(1)若
11、AD DB11，则 S ADE S 四边形 DBCE等于多少？(2)若 S ADE S 四边形 DBCE，则 DE BC， AD DB 各等于多少？解：(1)13.(2)DE BC1 ， AD DB1( 1)2 26素材五 图书增值练习专题一 相似三角形性质的综合运用1已知两个相似三角形对应高的比为 310，且这两个三角形的周长差为 560 cm，求它们的周长2如图，RtABC 到 RtDEF 是一个相似变换，AC 与 DF 的长度之比是 32（1）DE 与 AB 的长度之比是多少？（2）已知 RtABC 的周长是 12 cm，面积是 6 cm2，求 RtDEF 的周长与面积3如图所示，已知平
12、行四边形 ABCD 中，E 是 AB 延长线上一点，DE 交 BC 于点F，BEAB23，S BEF 4，求 SCDF 专题二 相似多边形的性质4如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到矩形 ABCD 沿 EF 对开后，再把矩形EFCD 沿 MN 对开，依此类推若各种开本的矩形都相似，那么 ABAD 等于 5已知两个相似多边形的周长比为 12，它们的面积和为 25，则较大多边形的面积是 6如图，梯形 ABCD 中，ADBC，E 是 AB 上的一点，EFBC，并且 EF 将梯形 ABCD 分成的7两个梯形 AEFD、EBCF 相似，若 AD4，BC9，求 AEEB【知识要点】1相似三角形对应高
13、的比、对应角平分线的比、对应中线的比，都等于相似比2相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方3相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方【温馨提示】1应用性质时，抓住关键词“对应”，找准对应边2不要误认为相似三角形面积的比等于相似比3由线段的比求面积的比，或由面积的比求线段的比时，应分两种情况：（1）两个图形是否相似，若是相似图形，则面积比等于相似比的平方；（2）两个图形不相似时，常会出现底在同一条直线上，有同一条高，那么两个三角形面积比等于对应底的比【方法技巧】1利用相似三角形性质是求线段长度，角的度数，周长，面积及线段的比等问题的依据2等底等高的两三角形面积相等，这个
14、规律在求三角形面积中经常用到3应用相似三角形（多边形）的性质，常与三角形（多边形）相似的判定相结合4相似多边形的定义是判定多边形相似的主要依据，也是多边形相似的重要性质参考答案：1解：设一个三角形周长为 C cm，则另一个三角形周长为（ C560）cm，则 C（ C560）310， C240， C560800，即它们的周长分别为 240 cm，800 cm2解：（1）由相似变换可得：DEABDFAC23；（2）ACDF32，DEF 的周长ABC 的周长23，S DEF ：S ABC 49 直角三角形 ABC 的周长是 12 cm，面积是 6 cm2，DEF 的周长为 8 cm，S DEF cm
15、2383解：四边形 ABCD 是平行四边形，AEDC，BEFCDFABDC，BEAB23，BEDC23，S DCF （ ） 2SBEF 4944 解析 矩形 ABCD矩形 BFEA，2ABBFADAB，ADBFABAB又BF AD， AD2AB 2，则 1ADB218520 解析 根据相似多边形周长的比等于相似比，而面积的比等于相似比的平方，即可求得面积的比值，依据面积和为 25，就可求得两个多边形的面积设两个多边形中较小的多边形的面积是 x，则较大的面积是 4x根据题意得：x4x25，解得 x5因而较大多边形的面积 206解：梯形 AEFD梯形 EBCF， EFADBC又AD4，BC9，EF
16、 2ADBC4936 EF0，EF6， ，即 B6432【知识要点】1.几种特殊四边形的性质和判定：（1）特殊平行四边形具有一般平行四边形的一切性质，需要注重各自图形的特殊性质.（2）判别菱形：说明是平行四边形+邻边相等; 说明是平行四边形+对角线垂直；四条边相等。判定矩形：说明是平行四边形+90角；说明是平行四边形+对角线相等；有三个 90角。 判定正方形: 说明是菱形+90角；说明是矩形+邻边相等; 两条对角线互相平分垂直且相等的四边形.2.几种特殊四边形的面积问题：（1）设矩形 ABCD 的两邻边长分别为 a,b，则 S 矩形=ab（2）设菱形 ABCD 的一边长为 a，高为 h，则 S
17、 菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为 a,b，则 S 菱形= （3）设正方形 ABCD 的一边长为 a，则 S 正方形= ；若正方形2ab 2a的对角线的长为 a，则 S 正方形= （4）设梯形 ABCD 的上底为 a，下底为 b，高为 h，21则 S 梯形= 1()h【温馨提示】（1）矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为 60 度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再证明一个角为直角或对角线相等。很多同学容易忽视这个问题.（2）在求菱形的边长、角度、对角线长等问题时，通常是在某一个直角三角形
18、中运用勾股定理及有关直角三角形的知识来解决正方形的性质很多，要根据题目的已知条件，选择最恰当的方法，使解题思路简捷【方法技巧】面积法是解决有关平行四边形、矩形、菱形、正方形的推理与计算问题常用的方法，因此，熟悉它们的面积的计算方法是十分必要的【答案】91. 15或 75【解析】如下左图，当点 E 在正方形 ABCD 外时，在ADE 中，AD=DE，ADE=90+60=150，所以AED= ；如下右图，当点 E 在正方180512形 ABCD 内时，在ADE 中，AD=DE，ADE=9060=30，所以AED= .18037522. C 【解析】DE 是ABC 的中位线，DEBC，且 DE BC
19、C=90，12B=60，AB2BC，AEBEBC又C90，ACAB，DCBE如图(1)，把ADE 绕点 E 旋转 180，使 AE 与 BE 重合，由题意可得CDF90，则四边形 BCDF 是矩形，且 CDBC，所以构成邻边不等的矩形，则成立如图(2)，把ADE 绕点 D 旋转 180，使 AD 与 CD 重合，由题意可得 BCBEEMMC，则四边形 BCME 是菱形，且B60为锐角，则成立如图(3)，移动ADE，使 A 与 D 重合，D 与 C 重合，点 E 在 BC 的延长线上，由题意可知 DEBN，且 DEBN，所以四边形 BNDE 是梯形，又 DNBE，所以梯形 BNDE 是等腰梯形，
20、则成立因拼成矩形只有图(1)一种情况，而图(1)中的矩形不是正方形，则不成立3. 或 【解析】第一种情况，如左图， AB=BF=a，则 CF=CH=1 a， DH=a534（1 a）=2 a1，四边形 EGNM 和四边形 MNHD 都是正方形，所以 2DH=CF，即2（2 a1）=1 a，解得 a= 第二种情况，如右图， AB=BF=a，则 CF=CH=1 a，53四边形 CFGH、四边形 HGMN、四边形 DEMN 都是正方形，因此 AB=3CH，即 a=3（1 a），解得 4104. 116 【解析】 如图，分割成四个小等腰梯形，则 AE 2，过 E 作2 1ADEM AB 于 M,GN
21、AB 于 N，由 A45， EM AB 得 AM ,同理可得 HN ,2又 AM MN NH BH AB6， BH EG MN， AN NB3， AH3 ,故大正方形的面积为（3 ） 2116 素材六 数学素养提升生活中的“立体相似”生活中的“立体相似”有两种：一是立体图形相似，二是通过立体空间来寻找相似平面或线段，再利用相似的性质解决实际问题问题 1：暑假，妈妈叫小颖到市场买一种“竹节鱼”，小颖发现，条条鱼都长得非常相似，但有两种不同的价格：鱼 A 长 10cm 的 10 元/条，鱼 B 长 13cm 的每条 15 元你帮小颖算算，买哪种鱼合算？分析：这里要用到“立体相似”的知识，但没有学过
22、我们只有用数学的类比方法，有面积比等于相似比的平方，可得到体积比是相似比的立方因此，B 对 A 的相似比是 1310，则体积比就是 219710002.197而 B 对 A 的价格比是 1510=1.52.197，显然买鱼 B 合算把相似概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把他们叫做相似体他们的一切性质可以类比问题 2：某同学座位到黑板的距离是 5 米，老师在黑板上写字，究竟要写多大，才能使该同学望去时，与他看课桌上相距 30cm 的课本（课本字高 0.4cm，宽 0.35cm）感觉相同（即视觉相同）？分析：这个问题虽然不是相似体，但也可以看成生活中的“立体相似”，转化成平面图形的相似假设老师在黑板上写字 x 平方厘米，要使视觉相同，有 2)305(.40X11解得 X39 平方厘米或者假设老师在黑板上写的字高 a、宽 b，有 ， ，解得 a6.7cm ，b5.8cm2)305(4.a2)305(.b所以，老师应写高约 7 厘米、宽 6 厘米的字
