1、1第一节 坐标系限时规范训练(限时练夯基练提能练)A级 基础夯实练1在直角坐标系 xOy中，以 O为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 cos 1， M， N分别为曲线 C与 x轴， y轴的交点( 3)(1)写出曲线 C的直角坐标方程，并求 M， N的极坐标；(2)设 M， N的中点为 P，求直线 OP的极坐标方程解：(1) cos 1，( 3) cos cos sin sin 1. x y1.3 3 12 32即曲线 C的直角坐标方程为 x y20.3令 y0，则 x2；令 x0，则 y .233 M(2,0)， N .(0，233) M的极坐标为(2,0)， N的
2、极坐标为 .(233， 2)(2) M， N连线的中点 P的直角坐标为 ，(1，33) P的极角为 .6直线 OP的极坐标方程为 ( R)62在直角坐标系 xOy中，直线 C1： x2，圆 C2：( x1) 2( y2) 21，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系求 C1， C2的极坐标方程；解：因为 x cos ， y sin ，所以 C1的极坐标方程为 cos 2， C2的极坐标方程为 22 cos 4 sin 40.3(2018安徽合肥二模)在平面直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C的极坐标方程为 4cos .(1)求出圆 C的直
3、角坐标方程；(2)已知圆 C与 x轴交于 A， B两点，直线 l： y2 x关于点 M(0， m)(m0)对称的直线为 l，若直线 l上存在点 P使得 APB90，求实数 m的最大值2解：(1)由 4cos 得 24 cos ，故 x2 y24 x0，即圆 C的直角坐标方程为( x2) 2 y24.(2)l： y2 x关于点 M(0， m)的对称直线 l的方程为 y2 x2 m，易知 AB为圆 C的直径，故直线 l上存在点 P使得 APB90的充要条件是直线 l与圆 C有公共点，故2，于是，实数 m的最大值为 2.|4 2m|5 5B级 能力提升练4圆心 C的极坐标为 ，且圆 C经过极点(2，
4、4)(1)求圆 C的极坐标方程(2)求过圆心 C和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程解：(1)圆心 C的直角坐标为( ， )，则设圆 C的直角坐标方程为( x )2( y )2 2 2 22 r2，依题意可知 r2(0 )2(0 )24，故圆 C的直角坐标方程为( x )2( y2 2 2)24 ，化为极坐标方程为2 22 (sin cos )0，即 2 (sin cos )2 2(2)在圆 C的直角坐标方程 x2 y22 (x y)0 中，令 y0，得 x22 x0，解得2 2x0 或 2 ，于是得到圆 C与 x轴的交点坐标(0,0)，(2 ，0)，由于直线过圆心 C( ，2 2 2
5、)和点 (2 ， 0)，则该直线的直角坐标方程为 y0 (x2 )，即2 22 02 22 2x y2 0.化为极坐标方程得 cos sin 2 0.2 25(2018洛阳模拟)在极坐标系中，曲线 C1， C2的极坐标方程分别为 2cos ， cos 1.( 3)(1)求曲线 C1和 C2的公共点的个数(2)过极点 O作动直线与曲线 C2相交于点 Q，在 OQ上取一点 P，使| OP|OQ|2，求点 P的轨迹，并指出轨迹是什么图形解：(1) C1的直角坐标方程为( x1) 2 y21，它表示圆心为(1,0)，半径为 1的圆，C2的直角坐标方程为 x y20，所以曲线 C2为直线，由于圆心到直线
6、的距离为3d 1，所以直线与圆相离，即曲线 C1和 C2没有公共点32(2)设 Q( 0， 0)， P( ， )，则Error!即Error!因为点 Q( 0， 0)在曲线 C2上，所以 0cos 1，( 03)将代入，得 cos 1，2 ( 3)3即 2cos 为点 P的轨迹方程，化为直角坐标方程为 2 21，( 3) (x 12) (y 32)因此点 P的轨迹是以 为圆心，1 为半径的圆(12， 32)6已知曲线 C1的参数方程为Error!( t为参数)，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2sin .(1)把 C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1与 C2交点的极坐标( 0,0 2)解：(1)将Error!，消去参数 t，化为普通方程为( x4) 2( y5) 225，即C1： x2 y28 x10 y160.将Error! ，代入 x2 y28 x10 y160 得 28 cos 10 sin 160.所以 C1的极坐标方程为 28 cos 10 sin 160.(2)C2的普通方程为 x2 y22 y0.由Error!解得Error! ，或Error!所以 C1与 C2交点的极坐标分别为 ， .(2，4) (2， 2)
