1、1玉溪一中 20182019 学年上学期高二第二次月考理科数学一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 A= | ，B= | ，则 AB =A. | 或 B. | C. | D. | 【答案】D【解析】【分析】根据二次不等式的解法得到 B= | = ，再根据集合的并集运算得到结果.【详解】B= | = , A= | ,则 AB = | .故答案为:D.【点睛】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是
2、考查具体集合的关系判断和集合的运算解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素二是考查抽象集合的关系判断以及运算2.设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 =an n Sn a4+a6=10 S9A. 20 B. 35 C. 45 D. 90【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的前 n 项和的性质得到 S9= ，直接求解92(a1+a9)=92(a4+a6)【详解】等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 4+a6=10，S 9=92(a1+a9)=92(a4+a6)=45.2故选：C【点睛】这个题目考查的是数列求和的常用方法；数列
3、通项的求法中有:直接根据等差等比数列公式求和；已知 和 的关系，求 表达式，一般是写出 做差得通项，但是这种方Sn an an Sn1法需要检验 n=1 时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。3.“ ”是“ ”的（ ）x0C. ， D. ，f(x1)0 f(x2)0 f(x2)0【答案】B【解析】函数 在 是增函数， （根据复合函数的单调性） ，f(x)=log2x+11x (1,+)而 ，f(2)=0因为 ，所以 ，故选 Bx1(1,2),x2(2,+) f(x1)0点睛：本题主要考查了函数的单调性的应用，本题的解答中根据函数的解析式，利用复合函数的单调性的判
4、定方法，得到函数的单调性是解答的关键，同时熟记函数的单调性是解答的重要一环7.已知点 的圆 外，则直线 与圆 的位置关系是（ ） M(a,b) O:x2+y2=1 ax+by=1 O4A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定【答案】B【解析】试题分析: 点 在圆 外， ， 圆心 到直线 距离 M(a,b) O:x2+y2=1 a2+b21 O ax+by=1， 直线 与圆 相交.故选 Bd=1a2+b20) F FA C M与其准线相交于点 ，若 ，则的值等于N |FM|:|MN|=1: 5A. B. C. D. 412 1 14【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的定义，可得出射线
5、的斜率，根据点斜式得出射线 的方程，令 求得FA FA y=0焦点坐标，从而求得的值.【详解】根据抛物线的定义可知， 的值等于 到准线的距离，故射线 的斜率为|FM| M FA，由于 ，故射线 的方程为 ，令 ，解得 ，故焦点|MN|2|FM|2|FM| =2 A(0,2) FA y=2x+2 y=0 x=1坐标为 ，故 .所以选 A.F(1,0)a4=1,a=4【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的方程以及抛物线标准方程的求法，属于中档题. 直线方程的常用形式有点斜式和斜截式，已知直线上一个点的坐标和直线的斜率，就可以求出直线的方程.抛物线的定义是动点到定点的距离等于到定直线的距离的
6、点的轨迹，解有关抛物线的题目时，这个知识点是经常要利用上的.二、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.13.在区间 上随机取一个实数 ，则事件“ ”发生的概率为_3，5 x 1(12)x4【答案】148【解析】【详解】由 ，得2x0，由此利用几何概型概率计算公式能求出事件 “1(12)x4”发生的概率1(12)x4 ，2x0，1(12)x4在区间3，5上随机取一个实数 x，由几何概型概率计算公式得：事件“ ”发生的概率为 p= = 1(12)x4 0+25+314故答案为： 14【点睛】本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长
7、度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域 上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在 的区域（事实也是角）任一位置是等可能的14.设向量 a， b 不平行，向量 a b 与 a2 b 平行，则实数 _【答案】12【解析】试题分析：利用向量共线定理、平面向量基本定理即可得出解：向量 + 与 2 + 平行，存在实数 + =k（2 + ）=2k +k ，向量 ， 不共线，=2k，1=k，解得 = ，故答案为： 15.已知 是双曲线 的两焦点,以线段 为边作正三角形 ,若边F1,F2x2a2y2b2=1(a,b0) F1F2 MF
8、1F2的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是 MF1【答案】 3+1【解析】9的左焦点 F1为（-c，0） ，以线段 F1O 为边作正三角形 F1OM，x2a2-y2b2=1(a0,b0)则可设 M ，由 M 在双曲线上，则 由(c2, 32c) c24a23c24b2=1或 （舍去）e=ca,b2=c2a214e234 e2e21=1e48e2+4=0e2=423,e= 3+1, e= 31故答案为 3+1点睛：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查方程的化简整理的运算能力，求出双曲线的左焦点坐标，正三角形 F1OM，则可设 M 代入双曲线方程，化简整(c2, 32c)理，结合 a
9、，b，c 的关系和离心率公式，解方程即可得到16.设 为数列 的前 项和 , 已知 , 对任意 N , 都有 ， 则Sn an n a1=2 p,q * ap+q=ap+aqN )的最小值为 _.f(n)=Sn+60n+1(n *【答案】292【解析】由题可设 ，则 ，则数列 是以 2 为首项，2 为p=1,q=n a1+n=a1+ana1+n+an=2 an公差的等差数列， ，an=2+(n1)2=2n,Sn=(2+2n)n2 =n2+n，当且仅当 时 取得f(n)=Sn+60n+1=n2+n+60n+1 =n+60n+1=n+1+60n+11 n+1=60n+1n= 601 f(n)最小值
10、，由 ，所以 或 ，因为nN* n=6 n=7，即 得最小值为f(6)=1027,f(7)=292,f(6)f(7) f(n) 292点睛：本题考查数列的递推公式即等差数列的有关性质，解题时注意 nN*三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a3=5，S 15=“225.“（1）求数列a n的通项 an； （2）设 bn= +2n，求数列b n的前 n 项和 Tn.【答案】解：（）设等差数列a n首项为 a1，公差为 d，由题意，得10解得a n=2n1（） ，=【解析】试题分析：（1）由数列
11、 为等差数列的通项公式及求和公式，可得关于公差与首项的方an程组，由方程组即可求出首项与公差，在由通项公式即可得结论.（2）由（1）可得 ，因此数列 的通项是由一个等比数列与一个等差数列bn=22n1+2n bn的和构成，分别对两个数列求和，再分别利用等比数列求和公式与等差数列求和公式，求出两个数列的和，再将两个和式相加即可得到结论.试题解析：（1）设数列 的公差为 d，根据题意得 2 分an a1+2d=515a1+15142 d=225 解得： 4 分a1=1d=2 5 分an=2n1（2）由（1）可得 bn=22n1+2n6 分Tn=2+21+23+22+25+23+22n1+2n8 分
12、=(2+23+25+22n1)+(2+4+6+2n)10 分=23(4n1)+n2+n考点：1118.已知函数 ， f(x)=cosxsin(x+3)3cos2x+34 xR（）求 的最小正周期；f(x)（）求 在 上的最小值和最大值f(x) 4,4【答案】 （） ;（）最小值 和最大值 12 14【解析】试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将 的解析式化为一f(x)个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数 的最小正周期计算公式y=Asin(x+)+B，即可求得函数 的最小正周期；（2）由（1）得函数 ，分T=2| f(x)析它在闭区间 上的单调性，可知函数 在区间 上是
13、减函数，在区间f(x)上是增函数，由此即可求得函数 在闭区间 上的最大值和最小值也f(x)可以利用整体思想求函数 在闭区间 上的最大值和最小值f(x)由已知，有的最小正周期 f(x)（2） 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数，f(x)， ，函数 在闭区间 上的最大值f(x)为 ，最小值为 考点：1两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2三角函数的周期性和单12调性【此处有视频，请去附件查看】19.如图，在直三棱柱 中， AB=1， ，ABC= .AC=AA1= 3 60(1 )证明： ；ABA1C（2）求二面角 A B 的正切值.A1C【答案】解：方法一（2）如图所示，作 交 于
14、，连 ，由三垂线定理可得ADA1C A1C D BD BDA1C 为所求二面角的平面角，ABD13在 中， 8 分RtAA1C AD=A1AACA1C=336=62在 中，RtBAD，10 分BD= AB2+AD2= 12+(62)2=102所以 11 分cosABD=ADBD=62102=155即 二面角 A B 的余弦值是 。12 分A1C15511 分cos=mn|m|n|= 31+10+10(3)2+12+12 12+02+02=155所以 二面角 所成角的余弦值是 12 分A-A1C-B155【解析】试题分析：（1）欲证 ABA 1C，而 A1C平面 ACC1A1，可先证 AB平面
15、ACC1A1，根据三棱柱ABCA 1B1C1为直三棱柱，可知 ABAA 1，由正弦定理得 ABAC，满足线面垂直的判定定理所需条件；（2）作 ADA 1C 交 A1C 于 D 点，连接 BD，由三垂线定理知 BDA 1C，则ADB 为二面角AA 1CB 的平面角，在 RtBAD 中，求出二面角 AA 1CB 的余弦值即可（1）证明：三棱柱 ABCA 1B1C1为直三棱柱，ABAA 1，在ABC 中，AB=1，AC= ，ABC=60，由正弦定理得ACB=30，BAC=90，即 ABAC，AB平面 ACC1A1，又 A1C平面 ACC1A1，14ABA 1C（2）解：如图，作 ADA 1C 交 A
16、1C 于 D 点，连接 BD，由三垂线定理知 BDA 1C，ADB 为二面角 AA 1CB 的平面角在 RtAA 1C 中，AD= = ，在 RtBAD 中，tanADB= = ，cosADB= ，即二面角 AA 1CB 的大小为 arccos 考点：二面角的平面角及求法【此处有视频，请去附件查看】20. 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y（单位：千元）的数据如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（1）求 y 关于 t
17、 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.15附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，b=ni=1(tit)(yiy)ni=1(tit)2 a=ybt【答案】 （1） ；（ 2）在 2007 至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐y=0.5t+2.3年增加，平均每年增加 千元； 元.0.5 6.8千【解析】试题分析：本题第（1）问，由给出的 与公式求出 与，从而求出回归直线方程；对第b b（2）问，由第（1）问求出的回归直线方程进行预测，令
18、，可得 的近似值.t=9 y试题解析：（1）由题意知， ， ，所以 = ，t=4 y=4.3 b=31.4+2+0.7+0+0.5+1.8+31.69+4+1+0+1+4+9 0.5所以= = ，所以线性回归方程为 。ybt 4.30.54= 2.3 y=0.5t+2.3（2）由（1）中的线性回归方程可知， ，所以在 2007 至 2013 年该地区农村居民家庭b0人均纯收入在逐年增加，平均每年增加 千元.0.5令 得： ，故预测该地区在 2015 年农村居民家庭人均纯收入为t=9 y=0.59+2.3=6.8元。6.8千【易错点】本题的易错点是第（1）问计算错误，第（2）问在 2007 至
19、2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，不知道如何回答.考点：本小题主要考查线性回归方程的解法等基础知识，属中档题目，考查同学们分析问题与解决问题的能力.【此处有视频，请去附件查看】21.如果函数 在其定义域内存在 ，使得 成立，则称函数 为“可f(x) x0 f(x0+1)=f(x0)+f(1) f(x)分拆函数” （1）试判断函数 是否为“可分拆函数”？并说明你的理由；f(x)=1x（2）设函数 为“可分拆函数” ，求实数的取值范围f(x)=lga2x+1【答案】 （1）见解析；（2） .(32,3)【解析】【分析】16（1）根据“可分拆函数” ，验证 是否成立，即方程 是否有
20、f(x0+1)=f(x0)+f(1)1x0+1=1x0+1解，化简为一元二次方程后，利用判别式判断出方程无解，也即 不是“可分拆函数”f(x)=1x.（2）利用 列方程，分离出常数的值，即 ，利用换元法求得f(x0+1)=f(x0)+f(1)a=32x0+32x0+1+1右边表达式的取值范围，由此求得的取值范围.【详解】 （1）假设 是“可分拆函数 ”，则定义域内存在 ，f(x) x0使得 ，即 ，此方程的判别式 ，1x0+1=1x0+1 x02+x0+1=0 =1-4=-30所以 ，令 ，则 ，a=32x0+32x0+1+1 t=2x0 t0所以 ，a=3t+32t+1=32(2t+1)+3
21、22t+1 =32+ 34t+2由 得 ，即的取值范围是 t032b0)的离心率为 ， F 是椭圆 E 的右焦点，直x2a2+y2b2=1 32线 AF 的斜率为 ， O 为坐标原点. 233(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P， Q 两点.当 OPQ 的面积最大时，求 l 的方程.【答案】 （1） （2） x24+y2=1 y=72x2【解析】试题分析：设出 ，由直线 的斜率为 求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得 ，即F AF233 b可求椭圆方程；（2）点 轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线 ，联lx l:y=kx217立直线方程和椭圆方程，由
22、判别式大于零求得 的范围，再由弦长公式求得 ，由点到直k |PQ|线的距离公式求得 到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得O最值，进一步求出 值，则直线方程可求.k试题解析：（1）设 ，因为直线 的斜率为 ，F(c,0) AF233 A(0,-2)所以 ， . 2c=233 c= 3又ca=32,b2=a2-c2解得 ，a=2,b=1所以椭圆 的方程为 .Ex24+y2=1（2）解：设 P(x1,y1),Q(x2,y2)由题意可设直线的方程为： ，y=kx-2联立 消去 得 ，x24+y2=1，y=kx-2, y (1+4k2)x2-16kx+12=0当 ，所以 ，即 或
23、 时=16(4k2-3)0 k234 k32.x1+x2=16k1+4k2,x1x2= 121+4k2所以 |PQ|= 1+k2(x1+x2)2-4x1x2= 1+k2( 16k1+4k2)2- 481+4k2=41+k24k2-31+4k2点 到直线的距离O d=2k2+1所以 ，SOPQ=12d|PQ|=44k2-31+4k2设 ，则 ，4k2-3=t0 4k2=t2+3，SOPQ= 4tt2+4=4t+4t424=1当且仅当 ，即 ，t=2 4k2-3=2解得 时取等号，k=72满足 k23418所以 的面积最大时直线的方程为： 或 .OPQ y=72x-2 y=- 72x-2【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.【此处有视频，请去附件查看】19
