1、1专题突破训练(一) 导数与不等式时间 /45 分钟 分值 /72 分基础热身1.(12 分)2019安徽皖中模拟 已知 f(x)=-x2-3,g(x)=2xlnx-ax.(1)若函数 f(x)与 g(x)的图像在 x=1 处的切线平行,求函数 g(x)的图像在点(1, g(1)处的切线方程;(2)当 x(0, + )时,若 g(x)-f(x)0 恒成立,求实数 a 的取值范围 .2.(12 分)2019唐山摸底 设 f(x)=2xlnx+1.(1)求 f(x)的最小值;(2)证明: f(x) x2-x+ +2lnx.1x2能力提升3.(12 分)2018马鞍山二模 已知函数 f(x)= ,a
2、R .ex-ax(1)若 f(x)在定义域内无极值点,求实数 a 的取值范围;(2)求证:当 00 时, f(x)1 恒成立 .4.(12 分)2018河南新乡二模 已知函数 f(x)=3ex+x2,g(x)=9x-1.(1)求函数 (x)=xex+4x-f(x)的单调区间;(2)比较 f(x)与 g(x)的大小,并加以证明 .35.(12 分)2018东北三省三校二模 已知函数 f(x)=x-alnx-1,曲线 y=f(x)在点(1,0)处的切线经过点(e,0) .(1)证明: f(x)0;(2)若当 x1, + )时, f ,求 p 的取值范围 .(1x) (lnx)2p+lnx难点突破6
3、.(12 分)2018江淮十校三联 已知函数 f(x)= .axlnx(1)当 a=2 时求函数 f(x)的单调递减区间;(2)若方程 f(x)=1 有两个不相等的实数根 x1,x2,证明: x1+x22e.4专题突破训练(一)1.解:(1) f(x)=-2x,g(x)=2lnx+2-a,因为函数 f(x)与 g(x)的图像在 x=1 处的切线平行,所以 f(1)=g(1),解得 a=4,所以 g(1)=-4,g(1)=-2,所以函数 g(x)的图像在点(1, g(1)处的切线方程为 2x+y+2=0.(2)当 x(0, + )时,由 g(x)-f(x)0 恒成立得,2xlnx-ax+x2+3
4、0 恒成立,即 a2ln x+x+ 恒成立 .3x设 h(x)=2lnx+x+ ,3x则 h(x)= = (x0),x2+2x-3x2 (x+3)(x-1)x2当 x(0,1)时, h(x)0,h(x)单调递增,所以 h(x)min=h(1)=4,所以 a4,即 a 的取值范围为( - ,4.2.解:(1) f(x)=2(lnx+1).当 x 时, f(x)0,f(x)单调递增 .(1e,+ )所以当 x= 时, f(x)取得极小值,也是最小值,最小值为 f =1- .1e (1e) 2e(2)证明:令 F(x)=x2-x+ +2lnx-f(x)=x(x-1)- -2(x-1)lnx=(x-1
5、) .1x x-1x (x-1x-2lnx)令 g(x)=x- -2lnx,则 g(x)=1+ - = 0,1x 1x22x(x-1)2x2所以 g(x)在(0, + )上单调递增,又因为 g(1)=0,所以当 00,当 x1 时, g(x)0,F(x)0,当 x=1 时, F(x)=0,所以 F(x)=(x-1) 0,(x-1x-2lnx)即 f(x) x2-x+ +2lnx.1x3.解:(1) f(x)的定义域为 x|x0,对函数 f(x)= 求导 ,得 f(x)= .ex-ax ex(x-1)+ax25令 g(x)=ex(x-1)+a,则 g(x)=xex,当 x0 时, g(x)0,则
6、 g(x)在(0, + )上单调递增 .因为 g(0)=a-1,且 f(x)在定义域内无极值点,所以 a1 .(2)证明: f(x)= ,由(1)可知 g(x)=ex(x-1)+a 在 (0,+ )上单调递增,又当 00,f(x)x0时, f(x)0,故 f(x)在(0, x0)上单调递减,在( x0,+ )上单调递增,所以 f(x) f(x0).由 g(x0)= (x0-1)+a=0 知 f(x0)= 1,ex0 ex0所以当 00 时, f(x)1 恒成立 .4.解:(1) (x)=(x-2)(ex-2),令 (x)=0,得 x1=ln2,x2=2.令 (x)0,得 x2;令 (x)g(x
7、).证明如下:设 h(x)=f(x)-g(x)=3ex+x2-9x+1,因为 h(x)=3ex+2x-9 为增函数,且 h(0)=-60,所以存在 x0(0,1),使得 h(x0)=0.当 xx0时, h(x)0;当 x0,所以 h(x)min0,所以 f(x)g(x).65.解:(1)证明: f(x)=1- (x0),由题知曲线 y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为 y=f(1)(x-1),ax即 y=(1-a)(x-1),又切线经过点(e,0),所以 0=(1-a)(e-1),解得 a=1.所以 f(x)=x-lnx-1,从而 f(x)=1- = (x0).1xx-1x因为当 x(0,
8、1)时, f(x)0,所以 f(x)在区间(0,1)上是减函数,在区间(1, + )上是增函数,从而 f(x) f(1)=0.(2)由题意知,当 x1, + )时, p+lnx0,所以 p0,从而当 x1, + )时, p+lnx0,由题意知 +lnx-1 ,即( p-1)x+1lnx-px+p0,其中 x1, + ).1x (lnx)2p+lnx设 g(x)=(p-1)x+1lnx-px+p,其中 x1, + ),设 h(x)=g(x),即 h(x)=(p-1)lnx+ -1,其中 x1, + ),1x则 h(x)= ,其中 x1, + ).(p-1)x-1x2 当 p2 时,因为当 x1,
9、 + )时, h(x)0,所以 h(x)是增函数,从而当 x1, + )时, h(x) h(1)=0,所以 g(x)是增函数,从而 g(x) g(1)=0.故当 p2 时符合题意 . 当 12 ,所以要证 x1+x22e,x1x2只需证 x1x2e2,即证 lnx1+lnx22,即证 lnx1+lnx2=a(x1+x2)=(x1+x2) 2,ln x1-ln x2x1-x2不妨设 x1x2,则只需证 ln ,x1x22(x1-x2)x1+x2令 =t1,则只需证 lnt .x1x2 2(t-1)t+1令 g(t)=lnt- =lnt+ -2(t1),2(t-1)t+1 4t+1则易知 g(t)= - 0 在(1, + )上恒成立,1t 4(t+1)2所以 g(t)在(1, + )上单调递增, g(t)g(1)=0,所以 lnt ,即 x1+x22e.2(t-1)t+1
