1、宜昌市 2019届高三年级元月调研考试 理科数学参考答案 命题：李富成 审题：时爱华、黄伟、向立政 一、选择题： CBCAB ADDBD CD 二 、 填空题 ： 13.614.60o15. 1 16.( 2) 2 2nn 三、解答题 17 解：（ 1）4 si n si nc A b CQ， 由正弦定理得4ca bc， 4ba ， 2分 又21 si n 3 4 32S ab C a Q， 4分 2, 8ab ， 10ab . 6分 (2)设 CD x ，则 8BD x ， 由余弦定理得 2 2 2 2 c o sB D B C C D B C C D C ， 9分 即2 2 2 1(8 )
2、 2 4 2x x x ， 307x ， 307CD. 12分 18 解： （ 1）因为 数列2nSnn是以3为首项， 3 为公差的等差数列， 所以 2 3 ( 1 ) 3 3nSn nnn ，所以 23 2n nnS . 2分 当1时，112aS， 3分 当时，221 3 3 ( 1 ) ( 1 ) 31n n n n n n na S S n ， 5分 又当 时，1a满足上式 ，所以 数列na的通项公 式 *3 1 Nna n n 6分 （ 2）由（ 1）得， 11 1 1 1 1()3 1 3 2 3 3 1 3 2n nnb a a n n n n 9分 所以1 1 1 1 1 1()
3、3 2 5 5 8 3 1 3 2nT nn 10分 1 1 1()3 2 3 2 6 4nnn . 12分 19（ 1）证明：取 AD的中点 E，连接CE，所以2AE BC. 1分 因为 /AD BC ，所以四边形ABCE为平行四边形， 2分 所以/CE AB，且2A.又 2DE，22DC，所以2 2 2DE EC DC，所以E，所以D. 4分 又因为 AD AP ，P AI，所以 AD平面 PAB. 又因为 /AD BC ，所以 BC 平面 PAB . 6分 （ 2）由（ 1）知 AD平面 ，过点 A作 F PA交 PB于点 F，故以点 A为坐标原点，APuur，AF，ADur分别为 x轴
4、，y轴， z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz. 7分 则(0,0,0),(2, ,0)P，( 1, 3,0)B，( 1, 3,2)C，所以(0,0,2)BCuuur，( , 3,0)BP uur，(2, ,0)AP.( 1, 3,2)AC ， 8分 设平面PBC的 法向量为1 1 1( , )n x y zr，由00BC nBP n uuur ruur r，得111203 3 0zxy ，取 1 3y ，得平面PBC的一个法向量为 (1, 3,0)nr. 9分 设平面PAC的法向量为2 2 2( , , )m x y zur，由00AP mAC muuur urr ur，得2
5、2 2 2203 2 0x y z ，取 2 23y ，得平面PAC的一个法向量为0, 3, 3)ur， 10分 所以2 2 2 2 2 21 0 3 2 3 0 ( 3 ) 21c os , 71 ( 3 ) 0 0 ( 2 3 ) ( 3 )nmnm nm r urr ur r ur. 11分 因为二面角 B PC A是一个锐二面角，所以余弦值为217. 12分 20 解： (1) 由题意可知椭圆的左、右焦点分别为 1( 3,0)F ， 2( 3,0)F ，又椭圆C经过点3, )2A ，所以 122AF AF a， 即2 2 2 211( 3 3 ) ( ) ( 3 3 ) ( ) 222
6、 a ， 所以712422a ，即2， 2分 又2 2 2 1b a c ，所以椭圆的标准方程为2 2 14x y. . 4 分 (2) 设直线 l 的方程为y kx m，由2 2 14y kx mx y，消去 y 得 2 2 2( ) 8 4 4 0k x k m x m .设 11( , )Mx y ， 22( , )Nx y ， ( , )PPPx y ， 则有2 2 2( 8 ) 4( 4 1 ) ( 4) 0k m k m ，即 2241km ， 又2841kmxx k ，212 24441mk . . 6 分 因为 四边形 OMPN 为平行四边形， 所以 OP OM ONuuur
7、uuuur uuur，故12 2841P kmx x x k ， 1 2 1 2( ) ( )Py y y k x m k x m 228224 1 4 1km mkmkk ， 所以82( , )4 1 4 1km mP kk ， . 7 分 FCBAPDxyz由点 P在椭圆上可得22228() 241( ) 14 4 1km mkk ，化简得224 4 1mk. 8 分 而221 2 1 2 1 2( ) ( ) 4x x x x x x 2 2 222 2 2 28 4 4 1 6 ( 4 1 )( ) 44 1 4 1 ( 4 1 )k m m k mk k k . 又因为4 4 1，所
8、以2212 4216 3 3() 16 mxx mm ，所以3m， 所以2212 311M N k x x k m . . 10 分 又点 O 到直线 l 的距离21md k ， 故 OMN 的面积2 21 1 3 312 2 21O M N mS M N d k m k . . 11 分 所以 平行四边形 OMPN 的面积为3232S . 12 分 21解：（ 1） 依题意2 2 2( ) 2 2 ( 2 1 ) ( 1 )x x xf x ae ax e ax a a x e ， .2 分 当0a时 ，令( ) 0fx ，得0x或2x， 令( ) 0fx ，得02 x ，可知)xf的增区间
9、为( , )2，(0,，减区间为1( ,0)2； 3 分 当时，令( )，得0x ， 令( )，得0x或2x，可知f的增区间为1( ,0)2，减区间为( , )，(0, ). 4 分 综上，当a时，)(f的增区间为( , )2，0, )，减区间为1,0)2； 当0时，x的增区间为,0)2，减区间为1( , )，( , ). 5 分 （ 2）22( ) ( 1 ) 1xf x e ax a x ，即2( 1) 1 0xax e ， 令2( ) ( 1) 1xg x ax e x ， 则2( ) ( 2 2 ) 1xg x ax a e ， 令2( 2 2 ) 1xh ax a e ，则2) 4(
10、 1 ) xh x a e . 7 分 若1a，当(0, )x 时 ，( ) 0hx ，从而()在(0, )上单调递增， 因为0) 1 0ha，故当(0, )x时 ， ，即0gx ， 从而()gx在(0,上单调递增，因为g ，故当( , )x 时 ，)恒成立，符合题意； 8分 若0，当( , )x时 ，( ) 恒成立，从而 在( , )上单调递减， 则( ) (0) 1 0h x h a ，即( , )x 时 ，( ) ，从而()在0,上单调递减，此时(0) 0g x g，不符合题意； 10 分 若01a，由2( ) 4( ) 0xh x ax a e ，得1 1a， 当10, )a时 ，)
11、0hx，故()在xyCBOA1(0, 1)a上单调递减，则( ) (0) 1 0h x h a ，即) 0gx ，故()在1(0, 1)a上单调递减，故当1(0, 1)x a时，( ) (0) 0g x g，不符合题意； .11 分 综上所述， 实数a的取值范围为 1,12 分 22解：（ 1） 由 2cos2sinxy 消去参数 得 224xy， 即 曲线 1C 的普通方程为 224xy， 2 分 又由 sin( ) 16得 ( s i n c o s c o s s i n ) 166 即为 3 2 0xy ，即 曲线 2C 的平面直角坐标方程为 3 2 0xy .5分 （ 2） Q 圆心
12、 O 到曲线 2C ： 3 2 0xy 的距离222 11 21 ( 3 )dr ， 如图所示，所以直线 3 4 0xy 与圆的切点 A 以及直线 30xy与圆的两个交点 B ， C 即为所求 OA BCQ ，则 3OAk ，直线 OAl 的倾斜角为 23 ， 7 分 即 A 点的极角为 23 ，所以 B 点的极角为 23 2 6 ， C 点的 极角为 273 2 6 ， 所以三个点的极坐标为 2(2, )3A ， (2, )6B ， 7(2, )6C . 10 分 23解： （ 1）( ) | 1 | 3 | | 2 3f x x x a x 可转化为 14 2 2 3xxx 或114 2 2 3xxx 或12 4 ， .2 分 解得51 2x 或1 14 x或无解 . 4 分 所以不等式的解集为15 , 425 分 （ 2）依题意，问题等价于关于x的不等式| 1 | | | 4x x a 有解， 即m in(| 1 | | |) 4x x a ， .7 分 又| 1 | | | | 1 | | 1 |x a x x a a ，当( )( ) 0x a时取等号 . .9 分 所以 14a ，解得 53x ，所以实数a的取值范围是5,3). .10 分
