1、- 1 -吉林省白城市第一中学 2018-2019 学年高一数学 3 月月考试题第卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 ）1.在 ABC 中，若 a3，cos A ，则 ABC 外接圆的半径为( )12A.6 B.2 C.3 D.3 32已知向量 a(2,1)， a b(1， k)，若 a b，则实数 k 等于( )A. B2 C7 D3123在 ABC 中，若 c2， b2 a，且 cos C ，则 a 等于( )14A2 B. C1 D.12 134已知向量 a( ，sin )， b(si
2、n ， )，若 a b，则锐角 为( ) 32 16A.30 B.60 C.45 D.755.在 ABC 中，( ) | |2，则 ABC 的形状一定是( )BC BA AC AC A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形6已知 a(1，2)， b(3,4)，则 a 在 b 方向上的投影是( )A1 B1 C D5 57下列关于向量 a， b 的叙述中，错误的是( )A若 a2 b20，则 a b0B若 kR， ka0，所以 k0 或 a0C若 ab0，则 a0 或 b0- 2 -D若 a， b 都是单位向量，则 ab1 恒成立8设 A， B 为锐角 ABC 的两个内角
3、，向量 a(2cos A，2sin A)， b(3cos B,3sin B)若 a， b 的夹角的弧度数为 ，则 A B( ) 3A. B C D9.已知向量 a(cos 75，sin 75)， b(cos 15，sin 15)，则| a b|的值为( )A. B.1 C.2 D.31210在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，若 20a 15 b 12 c 0，则 ABCBC CA AB 最小角的正弦值等于( )A. B.45 34C. D.35 7411.已知| p|2 ，| q|3， p， q 的夹角为 ，如图，若 5 p2 q， p3 q， D 为 BC2
4、4 AB AC 的中点，则| |为( )AD A. B. C.7 D.18152 15212设 ABC 的三个内角为 A， B， C，向量 m( sin A，sin B)， n(cos B， cos A)，3 3若 mn1cos( A B)，则 C 的值为( )A. B. C. D. 6 3 23 56第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）13在 ABC 中，已知 a3 ，cos C ， S ABC4 ，则 b .213 314已知 c50， b72， C135，则三角形解的个数为_(用数字作答)15已知 ABC 内一点 O 满足关系 2
5、 3 5 0，则 S BOC S COA S AOB= OA OB OC 16. 如图所示，半圆的直径 AB2， O 为圆心， C 是半圆上不同于 A， B 的任意一- 3 -点，若 P 为半径 OC 上的动点，则( ) 的最小值是_PA PB PC 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17(10 分)已知向量 a 与 b 的夹角 为 120，且| a|4，| b|2，求：(1)ab； (2)( a b)(a2 b)； (3)| a b|18. (12 分)在 ABC 中， A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 .s
6、in Aa 3cos Cc(1)求 C 的大小；(2)如果 a b6， 4，求 c 的值.CA CB 19(12 分) 已知 ABC 的角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，设向量 m( a， b)， n(sin B，sin A)， p( b2， a2).(1)若 m n，求证： ABC 为等腰三角形；(2)若 m p，边长 c2，角 C ，求 ABC 的面积. 320(12 分)如图所示，在 ABC 中， ， ， BQ 与 CR 相交于点 I，AQ QC AR 13AB AI 的延长线与边 BC 交于点 P.(1)用 和 分别表示 和 ；AB AC BQ CR (2)如果 ，求
7、实数 和 的值；AI AB BQ AC CR (3)确定点 P 在边 BC 上的位置21(12 分)已知向量 a(sin x cos x ，sin x )，向量 b(sin x cos x, 2 cos x )，3- 4 -设函数 f(x) ab1( xR)的图象关于直线 x 对称，其中常数 (0,2) 3(1)若 x0， ，求 f(x)的值域； 2(2)若点 A 为函数 f(x)图像上的动点，设且 ，求 B 点轨迹方程 g(x)；（3）在（2）前提下求函数 g(x)对称轴方程及单调区间。22(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 OABC 是等腰梯形， A(6,0)， C(1，
8、 )，3点 M 满足 ，点 P 在线段 BC 上运动(包括端点)，如图所示OM 12OA (1)求 OCM 的余弦值；(2)是否存在实数 ，使( ) ？若存在，求出满足条件的实数 的取值范OA OP CM 围；若不存在，请说明理由- 5 -白城一中 2018-2019 学年度下学期阶段考试高一数学试题参考答案一、选择题DDCAC BCCBC AC二、填空题13. 2 14. 0 15. 2:3:5 16. 312三、解答题17.(10 分)解 (1) ab| a|b|cos 42cos 1204（3 分）(2)(a b)(a2 b) a2 ab2 b2164812（6 分）(3)|a b|2
9、a22 ab b2168412，| a b| 2 （10 分）12 318.（12 分）解(1)由正弦定理， 可化为 ，（1 分）sin Aa 3cos Cc sin A2Rsin A 3cos C2Rsin C即 tan C .（3 分）3又 C(0，)， C .（5 分） 3(2) | C | |cos C abcos C4， （6 分）CA CB A CB 且 cos Ccos . ab8 . （8 分） 3 12由余弦定理，得 c2 a2 b22 abcos C( a b)22 ab2 abcos 3( a b)23 ab6 23812. c2 .（12 分）319 （12 分）(1)
10、证明 m n， asin A bsin B， （2 分）由正弦定理，得 a2 b2， a b . （4 分） ABC 为等腰三角形 . （5 分）(2)解 由题意知 mp0，即 a(b2) b(a2)0 . （7 分） a b ab . （8 分）由余弦定理可知，4 a2 b2 ab( a b)23 ab，即( ab)23 ab40. （10 分） ab4( ab1 舍去)， （11 分） S ABC absin C 4sin .（12 分）12 12 3 3- 6 -20 （12 分）解 (1)由 ，可得 . （2 分）AQ 12AC BQ BA AQ AB 12AC ，AR 13AB .
11、（3 分）CR CA AR AC 13AB (2)将 ， BQ AB 12AC CR AC 13AB 代入 ，AI AB BQ AC CR 则有 ， （4 分）AB ( AB 12AC ) AC ( AC 13AB )即(1 ) (1 ) ，AB 12 AC 13 AB AC Error!解得Error! （6 分）(3)设 m ， n .（7 分）BP BC AP AI 由(2)知 ，AI 15AB 25AC n n m m m ，BP AP AB AI AB (15AB 25AC ) AB 2n5 AC (n5 1)AB BC AC AB （9 分） 与 不共线，AB AC Error!解
12、得Error! （10 分） ，即 2， （11 分）BP 23BC BPPC点 P 在 BC 的三等分点且靠近点 C 处 （12 分）21 （12 分）解 (1)向量 a(sin x cos x ，sin x )，向量 b(sin x cos x, 2 cos x )，3 f(x) ab1sin 2x cos 2x 2 sin x cos x 1 sin 2x cos 3 32x 12sin(2 x )1， 6（3 分）- 7 -图象关于直线 x 对称，其中常数 (0,2) 32 k ， kZ，得 1，结合 (0,2)，可得 3 6 2 3k2 1，（5 分） f(x)2sin(2 x )1
13、， （6 6分） x0， ，2 x ， ， 2 6 6 56sin(2 x ) ，1， （7 分） 6 12 f(x)2sin(2 x )10,3 （8 6分）(2) 因为 且 ，所以 ，即 ，代入函数 f(x)2sin(2 x )1，得函数 g(x)2sin 2 x （9 分） 6（3）对称轴方程： （10 分）单调增区间为： （11 分）单调减区间为： （12 分）22解 (1)由题意，可得 (6,0)， (1， )， （1 分）OA OC 3 (3,0)， (2， )， (1， ) （3 分）OM 12OA CM 3 CO 3cos OCMcos ， （4 分）CO CM CO CM |CO |CM | 714(2)设 P(t， )，其中 1 t5， （5 分）3- 8 -则 ( t ， )，OP 3 (6 t ， ) （6 分）OA OP 3若( ) ，OA OP CM 则( ) 0，OA OP CM 即 122 t 3 0，(2 t3) 12， （8 分）若 t ，则 不存在； （9 分）32若 t ，则 . 32 122t 3 t .1，32) (32， 5 (，12 . （11 分）127， )即满足条件的实数 存在，实数 的取值范围为(，12 . 127， )（12 分）
