1、- 1 -甘肃省镇原县镇原中学 2018-2019 学年高二数学下学期第一次月考试题 理第卷(选择题 共 50 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知 f(x) ，则 f(e)( )ln xx2A B C D1e3 1e2 1e2 1e32曲线 f(x)e x x 在(1， f(1)的切线方程为( )A(1e) x y0 Be x y10C(1 e)x y2(1e)0 D x(1e) y03函数 f(x) aln x x 在 x1 处取得极值，则 a 的值为( )A B1 C0 D12 124函数 f(x)
2、( )x2x 1A在(0,2)上单调递减B在(，0)和(2，)上单调递增C在(0,2)上单调递增D在(，0)和(2，)上单调递减5已知函数 f(x)的导函数为 f( x)2 x2， x(1,1)如果 f(x) f(1 x)，则实数x 的取值范围为( )A B(1,1) C D( ，12) ( 1， 12) (0， 12)6 cos 2xdx( )13 4A B C D13 23 23 237已知函数 y f(x)，其导函数 y f( x)的图象如图所示，则 y f(x)( )A在(，0)上为减函数 B在 x0 处取极小值- 2 -C在(4，)上为减函数 D在 x2 处取极大值8已知函数 f(x
3、)的导数 f( x) a(x1)( x a)，且 f(x)在 x a 处取得极大值，则实数 a 的取值范围是( )A a1 B1 a0 C0 a1 D a19如 果圆柱的轴截面的周长 l 为定值，则体积的最大值为( )A 3 B 3 C 3 D 3(l6) (l3) (l4) 14(l4)10若 f(x) x2 bln(x2)在(1，)上是减函数，则实数 b 的取值范围是( )12A1，) B(1，)C(，1 D(，1)11直线 y4 x 与曲线 y x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A2 B4 C2 D42 212已知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x)(e x1)( x1)
4、k(k1,2)，则( )A当 k1 时， f(x)在 x1 处取到极小值B当 k1 时， f(x)在 x1 处取到极大值C当 k2 时， f(x)在 x1 处取到极小值D当 k2 时， f(x)在 x1 处取到极大值第卷(非选择题 共 50 分)二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上)13由曲线 ye x x 与直线 x0， x1， y0 所围成图形的面积等于_14在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C： y x310 x3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为_15若 f(x)Error!则
5、 f(x)dx_.116函数 f(x) x33 ax b(a0)的极大值为 6，极小值为 2，则 f(x)的减区间是_三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题 10 分)已知函数 f(x) x3 ax2 bx 在 x 与 x1 处都取得极值23(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 f(x)在区间2,2的最大值与最小值18(本小题 12 分)已知函数 f(x) ax3 bx2的图象过点 M(1,4)，曲线在点 M 处的切线恰好与直线 x9 y0 垂直(1)求实数 a， b 的值；- 3 -(2)若函数 f(x)在区间 m， m1上
6、单调递增，求 m 的取值范围19(本小题 12 分)已知函数 f(x) .ln xx(1)判断函数 f(x)的单调性；(2)若 y xf(x) 的图象总在直线 y a 的上方，求实数 a 的取值范围1x20(本小题 12 分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 30 元，并且每件产品须向总公司缴纳 a 元( a 为常数，2 a5)的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为 x 元时，产品一年的销售量为 (e 为自然对数的底数)万件，已知每件产品的售kex价 为 40 元时，该产品一年的销售量为 500 万件经物价部门核定每件产品的售价 x 最低不低于 35 元，最高不超过 4
7、1 元(1)求分公司经营该产品一年的利润 L(x)万元与每件产品的售价 x 元的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润 L(x)最大，并求出 L(x)的最大值21(本小题 12 分)已知 aR，函数 f(x)2 x33( a1) x26 ax.(1)若 a1，求曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切线方程；(2)若|a|1，求 f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值22(本小题 12 分)设函数 f(x) aexln x ，曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切bex 1x线方程为 ye( x1)2.(1)求 a， b；(2)证明： f(x)1.- 4 -高
8、二理科数学参考答案一、1解析： f( x) ，x2x 2xln xx4 1 2ln xx3 f(e) .1 2ln ee3 1e3答案：D2解析： f( x)1e x， k f(1)1e. f(1)1e，切线方程为 y(1e)(1e)( x1)，即(1e) x y0.答案：A3解析： f( x) 1，令 f( x)0，得 x a，ax所以函数 f(x)在 x a 处取得极值，所以 a1.答案：B4解析： f( x) .2x(x 1) x2(x 1)2 x2 2x(x 1)2 x(x 2)(x 1)2令 f( x) 0，得 x10， x22. x(，0)和 x(2，)时， f( x)0，x(0,
9、1)和 x(1,2)时， f( x)0，故选 B答案 ：B5解析： f( x)2 x20， f(x)在(1,1)上单调递增，故 x1 x，又1 x1，11 x1，解得 0 x .12答案：D6解析： cos 2xdx sin 2x .13 413 12 4|13答案：A7解析：由图可知 f(x)在(0,2)和(4，)上单调递减，在(，0)和(2,4)上单调递增， f(x)在 x0 时取极大值， x2 取极小值，故 C 正确答案：C8解析： f(x)在 x a 处取得极大值， f(x)在 x a 附近左增右减，分a0， a0， a0 讨论易知1 a0.- 5 -答案：B9解析：设圆柱的底面半径为
10、 r，高为 h，体积为 V，则 4r2 h l， h .l 4r2V r2h r22 r3 .l2 (0rl4)则 V l r6 r2，令 V0，得 r0 或 r ，而 r0，l6 r 是其唯一的极值点l6当 r 时， V 取得最大值，最大值为 3.l6 (l6)答案：A10解析： f( x) x .bx 2 f(x)在(1，)上是减函数， f( x) x 0 在(1，)上恒成立，bx 2 b x(x2)在(1，)上恒成立又 x(x2)( x1) 211， b1.答案：C11解析：由Error!解得 x2 或 x0 或 x2，所以直线 y4 x 与曲线 y x3在第一象限内围成的封闭图形面积应
11、为 S (4x x3)20dx 04.2201()|(222 1424)答案： D12解析：当 k1 时， f(x)(e x1)( x1)， f( x) xex1， f(1)e10， f(x)在 x1 处不能取到极值；当 k2 时， f(x)(e x1)( x1) 2，f( x)( x1)( xexe x2)，令 H(x) xexe x2，则 H( x) xex2e x0， x(0，)- 6 -说明 H(x)在(0，)上为增函数，且 H(1)2e20， H(0)10，因此当 x0 x1( x0为 H(x)的零点)时， f( x)0， f(x)在( x0,1)上为减函数当 x1 时， f( x)
12、0， f(x)在(1，)上是增函数 x1 是 f(x)的极小值点，故选 C答案：C二、13解析：由已知面积 S (ex x)dx e 1e .10(ex12x2)0|12 12答案：e1214解析： y3 x2102， x2.又点 P 在第二象限， x2.点 P 的坐标为(2,15)答案：(2,15)15解析： f(x)dx ( x)dx (x23)d x10110 .(12x2)0|(13x3 3x)0|236答案：23616解析： f( x)3 x23 a，令 f( x)0，得 x .a f(x)在(， )，( ，)上单调递增，在( ， )上单调递减a a a a f( )6， f( )2
13、.a aError!解得 a1， b4. f( x)3 x23.令 f( x)0，得1 x1.答案：(1,1)三、17解：(1) f( x)3 x22 ax b，由题意Error!即Error!解得Error!经检验符合题意， f(x) x3 x22 x.12- 7 -(2)由(1)知 f( x)3 (x1)，(x23)令 f( x)0，得 x1 ， x21，23当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x 2 ( 2， 23)23 ( 23， 1)1 (1,2) 2f(x) 0 0 f(x) 6 A极大值 2227 A极小值32 A2由上表知 fmax(x) f(2)2， f
14、min(x) f(2)6.18解：(1) f(x) ax3 bx2的图象经过点 M(1,4)， a b4.f( x)3 ax22 bx，则 f(1)3 a2 b.由已知得 f(1) 1，(19)即 3a2 b9.由，得 a1， b3.(2)f(x) x33 x2， f( x)3 x26 x，令 f( x)3 x26 x0，得 x0 或 x2，故由 f(x)在 m， m1上单调递增，得 m， m10，)或 m， m1(，2 ， m0 或 m12，即 m0 或 m3. m 的取值范围为(，30，)19解：(1) f( x) .1 ln xx2当 0 xe 时， f( x)0， f(x)为增函数；当
15、 xe 时， f( x)0， f(x)为减函数(2)依题意得，不等式 aln x 对于 x0 恒成立1x- 8 -令 g(x)ln x ，1x则 g( x) .1x 1x2 1x(1 1x)当 x(1，)时， g( x) 0，1x(1 1x)则 g(x)是(1，)上的增函数；当 x(0,1)时， g( x)0，则 g(x)是(0,1)上的减函数所以 g(x)的最小值是 g(1)1，从而 a 的取值范围是(，1)20解：(1)由题意，该产品一年的销售量 y ，kex将 x40， y500 代入，得 k500e 40.该产品一年的销售量 y(万件)关于 x(元)的函数关系式为 y500e 40 x
16、.L(x)( x30 a)y500( x30 a)e40 x(35 x41)(2)L( x)500e 40 x( x30 a)e40 x500e 40 x(31 a x)当 2 a4 时， L( x)500e 40 x(31435)0，当且仅当 a4， x35 时取等号所以 L(x)在35,41上单调递减因此， L(x)max L(35)500(5 a)e5.当 4 a5 时， L( x)035 x31 a；L( x)031 a x41.所以 L(x)在35,31 a)上单调递增，在(31 a,41上单调递减因此， L(x)max L(31 a)500e 9 a.答：当 2 a4 时，每件产品
17、的售价为 35 元，该产品一年的利润 L(x)最大，最大为500(5 a)e5万元；当 4 a5 时，每件产品的售价为(31 a)元，该产品一年的利润 L(x)最大，最大为500e9 a万元21解：(1)当 a1 时， f( x)6 x212 x6，所以 f(2)6.又因为 f(2)4，所以切线方程为 y6 x8.(2)记 g(a)为 f(x)在闭区间0,2| a|上的最小值f( x)6 x26( a1) x6 a6( x1)( x a)令 f( x)0，得到 x11， x2 a.当 a 1 时，- 9 -x 0 (0,1) 1 (1， a) a (a,2a) 2af(x) 0 0 f(x)
18、0 单调递增 极大值 3a1 单调递减极小值a2(3 a)单调递增 4a3比较 f(0)0 和 f(a) a2(3 a)的大小可得g(a)Error!当 a1 时，x 0 (0,1) 1 (1，2 a) 2 af( x) 0 f(x) 0 单调递减 极小值 3a1 单调递增 28 a324 a2得 g(a)3 a1.综上所述， f(x)在闭区间0,2| a|上的最小值为 g(a)Error!22分析：(1)由已知可得 f(1)e(11)22，切线斜率 ke f(1)，由此可求出 a， b.(2)由(1)可求 f(x)，结合不等式的特点将之转化为 g(x) h(x)的形式，通过比较 g(x)的最
19、小值与 h(x)的最大值进行证明解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，)， f( x) aexln x ex ex1 ex1 .ax bx2 bx由题意可得 f(1)2， f(1)e.故 a1， b2.(2)由(1)知， f(x)e xln x ex1 ，从而 f(x)1 等价于 xln x xe x .2x 2e设函数 g(x) xln x，则 g( x)1ln x.所以当 x 时， g( x)0；(0，1e)当 x 时， g( x)0.(1e， )故 g(x)在 单调递减，在 单调递增，从而 g(x)在(0，)的最小值为 g(0，1e) (1e， ) .(1e) 1e设函数 h(x) xe x ，则 h( x)e x(1 x)2e所以当 x(0,1)时， h( x)0；当 x(1，)时， h( x)0.故 h(x)在(0,1)单调- 10 -递增，在(1，)单调递减，从而 h(x)在(0，)的最大值为 h(1) .1e综上，当 x0 时， g(x) h(x)，即 f(x)1.
