1、1考点强化练 23 尺规作图基础达标一、选择题1.如图,直线 l1,l2,l3是三条彼此相交的公路,现要建一个货物中转站 P,使得 P 到三条公路的距离相等,则满足条件的点 P 有( )A.1 处 B.2 处 C.3 处 D.4 处答案 D2.(2018 湖北宜昌)尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线,下列作图中正确的是( )答案 B3.下列各条件中,不能作出唯一三角形的条件是( )A.已知两边和夹角B.已知两边和其中一条边所对的角C.已知两角和夹边D.已知两角和其中一角的对边答案 B4.如图,在 ABC 中, C=90, B=30,以点 A 为圆心,任意长为半径画弧分别交 AB,AC
2、 于点 M 和 N,再分别以点 M,N 为圆心,大于 MN 的长为半径画弧,两弧交于点 P,连接 AP 并延长交 BC 于点 D,则下12列说法: AD 是 BAC 的平分线; ADC=60; 点 D 在 AB 的中垂线上; S DACS ABC=1 3.其中正确的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 D5.(2018 浙江湖州)尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中 .传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣:2 将半径为 r 的 O 六等分,依次得到 A,B,C,D,E,F 六个等分点; 分别以点 A,D 为圆心, AC 长为半径画弧, G 是两弧的一个交点; 连接 OG.问: OG
3、的长是多少?大臣给出的正确答案应是( )A. r B. r3 (1+22)C. r D. r(1+32) 2答案 D解析 如图连接 CD,AC,DG,AG.AD 是 O 直径, ACD=90,在 Rt ACD 中, AD=2r, DAC=30,AC= r.3DG=AG=CA ,OD=OA,OG AD, GOA=90,OG= r,故选 D.AG2-OA2= ( 3r)2-r2= 26.(2018 河南)如图,已知 AOBC 的顶点 O(0,0),A(-1,2),点 B 在 x 轴正半轴上 .按以下步骤作图: 以点 O 为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边 OA,OB 于点 D,E; 分别以点 D
4、,E 为圆心,大于 DE 的12长为半径作弧,两弧在 AOB 内交于点 F; 作射线 OF,交边 AC 于点 G,则点 G 的坐标为 ( )A.( -1,2) B.( ,2)5 5C.(3- ,2) D.( -2,2)5 5答案 A3解析 AOBC 的顶点 O(0,0),A(-1,2),AH= 1,HO=2, Rt AOH 中, AO= ,5由题可得, OF 平分 AOB, AOG= EOG,又 AG OE, AGO= EOG, AGO= AOG,AG=AO= ,5HG= -1,G ( -1,2),故选 A.5 57.(2018 江苏南通)如图, AB CD,以点 A 为圆心,小于 AC 长为
5、半径作圆弧,分别交 AB,AC 于点 E,F,再分别以 E,F 为圆心,大于 EF 的长为半径作圆弧,两弧交于点 P,作射线 AP,交 CD 于点 M,若12 ACD=110,则 CMA 的度数为( )A.30 B.35 C.70 D.45答案 B解析 AB CD, ACD=110, CAB=70,由题意得 AP 平分 CAB, CAM= BAM=35,AB CD, CMA= MAB=35.故选 B.二、填空题8.(2018 江苏淮安)如图,在 Rt ABC 中, C=90,AC=3,BC=5,分别以点 A,B 为圆心,大于 AB 的长为12半径画弧,两弧交点分别为点 P,Q,过 P,Q 两点
6、作直线交 BC 于点 D,则 CD 的长是 . 答案85解析 连接 AD.PQ 垂直平分线段 AB,DA=DB ,设 DA=DB=x,在 Rt ACD 中, C=90,AD2=AC2+CD2,x 2=32+(5-x)2,解得 x= ,1754CD=BC-DB= 5- .故答案为 .175=85 85三、解答题9.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,8),点 B(6,8).(1)只用直尺(没有刻度)和圆规,求作一个点 P,使点 P 同时满足下列两个条件(要求保留作图痕迹,不必写出作法): 点 P 到 A,B 两点的距离相等; 点 P 到 xOy 的两边的距离相等 .(2)在(1)作出
7、点 P 后,写出点 P 的坐标 .解 (1)作图如下,点 P 即为所求作的点 .(2)设 AB 的中垂线交 AB 于点 E,交 x 轴于点 F,由作图可得, EF AB,EF x 轴,且 OF=3,OP 是 xOy 的平分线, 点 P 的坐标为(3,3) .10.(2018 浙江金华)如图,在 66 的网格中,每个小正方形的边长为 1,点 A 在格点(小正方形的顶点)上 .试在各网格中画出顶点在格点上,面积为 6,且符合相应条件的图形 .解 符合条件的图形如图所示:511.(2018 广东)如图, BD 是菱形 ABCD 的对角线, CBD=75,(1)请用尺规作图法,作 AB 的垂直平分线
8、EF,垂足为 E,交 AD 于 F;(不要求写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)条件下,连接 BF,求 DBF 的度数 .解 (1)如图所示,直线 EF 即为所求;(2) 四边形 ABCD 是菱形, ABD= DBC= ABC=75,DC AB, A= C.12 ABC=150, ABC+ C=180, C= A=30,EF 垂直平分线段 AB,AF=FB , A= FBA=30, DBF= ABD- FBE=45.12.(2018 江苏无锡)如图,平面直角坐标系中,已知点 B 的坐标为(6,4) .(1)请用直尺(不带刻度)和圆规作一条直线 AC,它与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于点 A
9、 和点 C,且使 ABC=90, ABC 与 AOC 的面积相等 .(作图不必写作法,但要保留作图痕迹)(2)问:(1)中这样的直线 AC 是否唯一?若唯一,请说明理由;若不唯一,请在图中画出所有这样的直线 AC,并写出与之对应的函数表达式 .解 (1)如图 ABC 即为所求;(2)这样的直线不唯一 . 作线段 OB 的垂直平分线 AC,满足条件,此时直线的解析式为 y=- x+ .32 1326 作矩形 OABC,直线 AC,满足条件,此时直线 AC的解析式为 y=- x+4.23能力提升一、选择题1.(2018 山东潍坊)如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是:(
10、1)作线段 AB,分别以 A,B 为圆心,以 AB 长为半径作弧,两弧的交点为 C;(2)以 C 为圆心,仍以 AB 长为半径作弧交 AC 的延长线于点 D;(3)连接 BD,BC.下列说法不正确的是( )A. CBD=30 B.S BDC= AB234C.点 C 是 ABD 的外心 D.sin2A+cos2D=1答案 D解析 由作图可知: AC=AB=BC, ABC 是等边三角形,由作图可知: CB=CA=CD, 点 C 是 ABD 的外心, ABD=90,BD= AB,S ABD= AB2,AC=CD ,332S BDC= AB2,故 A,B,C 正确,故选 D.32二、填空题2.(201
11、8 山西)如图,直线 MN PQ,直线 AB 分别与 MN,PQ 相交于点 A,B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图: 以点 A 为圆心,以任意长为半径作弧交 AN 于点 C,交 AB 于点 D; 分别以 C,D 为圆心,以大于 CD 长为半径作弧,两弧在 NAB 内交于点 E; 作射线 AE 交 PQ 于点 F.若 AB=2, ABP=60,则12线段 AF 的长为 . 答案 2 3解析 作 BG AF,MN PQ, NAB= ABP=60,由题意得, AF 平分 NAB,7 1 =2 =30, ABP=1 +3, 3 =30, 1 =3 =30,AB=BF ,AG=GF,AB= 2,BG=
12、AB=1,12AG= ,AF= 2AG=2 .3 3三、解答题3.(2018 福建莆田)如图是等边三角形 ABC.(1)求作一点 D,连接 AD,CD,使得四边形 ABCD 为菱形;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)(2)连接 BD 交 AC 于点 O,若 OA=1,求菱形 ABCD 的面积 .解 (1)如图所示,点 D 就是所求作的点 .(2)在菱形 ABCD 中, BAC=60,OB OA, 在 Rt OAB 中,tan OAB=tan60= .OBOAOA= 1,BO= ,BD=2 .3 3又 AC= 2OA=2, 菱形 ABCD 的面积 S= BDAC=2 .12 34.(20
13、18 湖北孝感)如图, ABC 中, AB=AC,小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作: 作 BAC 的平分线 AM 交 BC 于点 D; 作边 AB 的垂直平分线 EF,EF 与 AM 相交于点 P; 连接 PB,PC.请你观察图形解答下列问题:(1)线段 PA,PB,PC 之间的数量关系是 ; (2)若 ABC=70,求 BPC 的度数 .8解 (1)如图, PA=PB=PC,理由是:AB=AC ,AM 平分 BAC,AD 是 BC 的垂直平分线, PB=PC ,EP 是 AB 的垂直平分线,PA=PB ,PA=PB=PC.故答案为 PA=PB=PC.(2)AB=AC , ABC= ACB
14、=70, BAC=180-270=40,AM 平分 BAC, BAD= CAD=20,PA=PB=PC , ABP= BAP= ACP=20, BPC= ABP+ BAC+ ACP=20+40+20=80. 导学号 138140665.(2018 四川自贡)如图,在 ABC 中, ACB=90.(1)作出经过点 B,圆心 O 在斜边 AB 上且与边 AC 相切于点 E 的 O(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)(2)设(1)中所作的 O 与边 AB 交于异于点 B 的另外一点 D,若 O 的直径为 5,BC=4;求 DE 的长 .(如果用尺规作图画不出图形,那么可画出草图完成第(2)问)解 (1) O 如图所示;(2)作 OH BC 于点 H.AC 是 O 的切线, OE AC, C= CEO= OHC=90, 四边形 ECHO 是矩形,OE=CH= ,BH=BC-CH= ,52 32在 Rt OBH 中, OH= =2,(52)2-(32)29EC=OH= 2,BE= =2 ,EC2+BC2 5 EBC= EBD, BED= C=90, BCE BED, ,DEEC=BDBE ,DE= .DE2= 525 5
