1、4 二次函数的应用 第2课时,1.经历探索T恤衫销售过程中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值. 2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值,顶点坐标为(h,k),当a0时，y有最小值k,当a0时，y有最大值k,【例1】某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析，销售单价是多少时,可以获利最多?,【例题】,【解析】设销售单价为x (x13.5)元,那
2、么,销售量可以表示为 : 件;,每件T恤衫的利润为: 元;,所获总利润可以表示为: 元;,当销售单价为 元时,可以获得最大利润, 最大利润是 元.,即y=-200x2+3 700x-8 000=-200(x-9.25)2+9 112.5,9 112.5,（x-2.5）,1.某商店经营衬衫,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元) 之间满足关系式y=x2+24x+2 956，则获利最多为_元.,2. 某旅行社要组团去外地旅游,经计算所获利润y(元) 与旅行团人员x(人)满足关系式y=2x2+80x+28 400，要使 所获营业额最大,则此旅行团有_人.,20,3 100,【跟踪训练】,【例2】桃
3、河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在距离OA 1m处达到最大高度2.25m.,如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外？,【解析】建立如图所示的坐标系,根据题意得,点A(0,1.25),顶点B(1,2.25).,当y=0时,得点C(2.5,0);同理,点D(-2.5,0). 根据对称性,那么水池的半径至少要2.5m, 才能使喷出的水流不致落到池外.,设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,由待
4、定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-1)2+2.25.,O,A(0,1.25),B(1,2.25),C(2.5,0), D(-2.5,0),1.（兰州中考） 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.,【答案】0.5,【跟踪训练】,2.（青海中考）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克. （1）现该商
5、场要保证每天盈利1 500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？,【解析】（1）设每千克应涨价x元，列方程得： (5+x)(20010x)=1 500， 解得：x1=10， x2=5.因为要顾客得到实惠，510 所以 x=5. 答：每千克应涨价5元. （2）设商场每天获得的利润为y元，则根据题意，得 y=( x +5)(20010x)= 10x2+150x+1 000， 当x= 时,y有最大值.,因此，这种水果每千克涨价7.5元，能使商场获利最多.,1.（株洲中考）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如
6、图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-（x-2）2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( ) A.4米 B.3米 C.2米 D.1米 【解析】选A. 抛物线的顶点坐标为（2,4），所以水喷出的最大高度是4米.,2.（德州中考）为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯已知太阳能路灯售价为5 000元/个，目前两个商家有此产品甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次性购买100个以上，则购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3 500元/个乙商家一律按原价的80销
7、售现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元. （1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式. （2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？,当x100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元但售价不得低于3 500元/个，所以x,即100x250时，购买一个需5 000-10(x-100)元，故y1= 6 000x-10x2；,【解析】（1）由题意可知， 当x100时，购买一个需5 000元，故y1=5 000x,当x250时，购买一个需3 500元，故y1=3 500x;,(2) 当0x100时，y1=5 00
8、0x500 0001 400 000； 当100x250时， y1=6 000x-10x2=-10(x-300)2+900 0001 400 000；,故选择甲商家，最多能购买400个太阳能路灯,得,由,得,所以，由,3.（武汉中考）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍） (1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围. (2)设宾
9、馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式. (3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？,=,（3）因为w=,【解析】（1）y=50-,（0x160）；,所以x= =170时，w有最大值，而170160,故由函数 性质知x=160时，利润最大，此时订房数y=50- =34， 此时的利润为10 880元.,4（青岛中考）某市政府大力扶持大学生创业李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （2）如果李明
10、想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？ （3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？ （成本进价销售量）,（1）由题意，得：w = (x20)y =(x20)(-10x+500) =-10x2+700x-10 000,答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润,（2）由题意，得：,解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40 答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元或40元.,【解析】,当 时，w有最大值.,抛物线开口向下. 当30x40时，w2 000
11、x32， 当30x32时，w2 000 设成本为P（元），由题意，得：P=20（-10x+500)= -200x+10 000, k=-2000，P随x的增大而减小. 当x = 32时，P最小3 600. 答：想要每月获得的利润不低于2 000元，每月的成本最少需要3 600元,（3） ,【规律方法】先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.,“何时获得最大利润” 问题解决的基本思路.,1.根据实际问题列出二次函数关系式.,2.根据二次函数的最值问题求出最大利润.,虽然言语的波浪永远在我们上面喧哗，而我们的深处却永远是沉默的. 纪伯伦,
