1、第10讲 一次函数及其应用,考点一,考点二,考点一一次函数及其图象性质(高频) 1.定义 如果函数的表达式是自变量的一次式,像这样的函数称为一次函数,它的一般形式是y=kx+b(k,b为常数,k0),特别地,当b=0时,一次函数y=kx(k为常数,k0)也叫做正比例函数,其中k叫做比例系数. 2.图象及其性质 一次函数的图象是经过点(0,b)及点 的一条直线.,考点一,考点二,考点一,考点二,考点一,考点二,考点二一次函数表达式的确定 1.用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤 (1)设所求函数表达式为y=kx+b; (2)将x,y的对应值代入表达式y=kx+b,得到含有待定系数的方程或方程组
2、; (3)解方程或方程组,确定待定系数k,b的值; (4)将所求待定系数的值代入所设的函数表达式中即可得函数表达式. 注意:若直线l1:y1=k1x+b1与直线l2:y2=k2x+b2平行(b1b2),则k1=k2.,考点一,考点二,2.将一次函数的图象平移后求表达式 (1)一次函数y=kx+b的图象可以看作由直线y=kx平移|b| 个单位长度而得到(当b0时,向上 平移;当b0)个单位后,相应得到的一次函数解析式为y=k(x+m)+b、y=k(x-m)+b ;再上、下平移n(m0)个单位后,相应得到的一次函数解析式为y=k(x+m)+n 、y=k(x-m)-n. 口诀:左加右减,上加下减,左
3、右移给x值加减,上下移给y值加减.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点1 待定系数法确定一次函数解析式 1.(2016安徽,20,10分)如图,一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点A(4,3),与y轴的负半轴交于点B,且OA=OB.(1)求函数y=kx+b和y= 的表达式; (2)已知点C(0,5),试在该一次函数图象上确定一点M,使得MB=MC,求此时点M的坐标.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点1,命题点2,命题点3,命题点2 一次函数的图象 2.(2009安徽,8,4分)已知函数y=kx+b的图象如图,则y=2kx+b的图象可能是( C ),解析
4、因为两个函数的b相同,所以与y轴的交点相同,所以两个函数图象的上升趋势一样,且y=2kx+b比y=kx+b的上升趋势更陡,故选C.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点3 一次函数的应用 3.(2014安徽,20,10分)2013年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准,共支付餐厨和建筑垃圾处理费5 200元.从2014年元月起,收费标准上调为:餐厨垃圾处理费100元/吨,建筑垃圾处理费30元/吨.若该企业2014年处理的这两种垃圾数量与2013年相比没有变化,就要多支付垃圾处理费8 800元. (1)该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨? (2)该企
5、业计划2014年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨,且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍,则2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元?,命题点1,命题点2,命题点3,解 (1)设该企业2013年处理的餐厨垃圾x吨,建筑垃圾y吨,根据题意, 答:该企业2013年处理的餐厨垃圾80吨,建筑垃圾200吨. 4分 (2)设该企业2014年处理的餐厨垃圾m吨,建筑垃圾n吨,需要支付这两种垃圾处理费共a元,根据题意,得 解得m60.则a=100m+30n=100m+30(240-m)=70m+7 200, 7分 由于a的值随m的增大而增大,所以当m=60时,a值最小,最小值=7060+
6、7 200=11 400(元).答:2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共11 400元. 10分,考法1,考法2,考法3,考法1一次函数的解析式 例1(2016江西)如图,过点A(2,0)的两条直线l1,l2分别交y轴于点B,C,其中点B在原点上方,点C在原点下方,已知AB= .(1)求点B的坐标; (2)若ABC的面积为4,求直线l2的解析式. 分析(1)由勾股定理求出OB的值,再确定点B的坐标;(2)先确定点C的坐标,再运用待定系数法确定直线l2的解析式.,考法4,考法1,考法2,考法3,方法总结对于一次函数y=kx+b与坐标轴的两个交点坐标分别是,考法4,考法1,考法2,考法3
7、,对应练1(2018山东枣庄)如图,直线l是一次函数y=kx+b的图象,如果点A(3,m)在直线l上,则m的值为( C ),考法4,解析:由图象可得直线l与x轴的两个交点的坐标为(0,1),(-2,0),考法1,考法2,考法3,对应练2(2018湖南娄底)将直线y=2x-3向右平移2个单位,再向上平移3个单位后,所得的直线的表达式为( A ) A.y=2x-4 B.y=2x+4 C.y=2x+2 D.y=2x-2,考法4,解析:根据图象平移时左加右减的规律,向右平移2个单位后为y=2(x-2)-3=2x-7,再向上平移3个单位后为y=2x-7+3=2x-4,故选A.,考法1,考法2,考法3,对
8、应练3(2017浙江台州)如图,直线l1:y=2x+1与直线l2:y=mx+4相交于点P(1,b).(1)求b,m的值; (2)垂直于x轴的直线x=a与直线l1,l2分别交于点C,D,若线段CD长为2,求a的值.,考法4,考法1,考法2,考法3,解: (1)把点P(1,b)代入y=2x+1,得b=2+1=3,把P(1,3)代入y=mx+4,得m+4=3,所以m=-1.(2)直线x=a与直线l1的交点C为(a,2a+1),与直线l2的交点D为(a,-a+4).因为CD=2,所以|2a+1-(-a+4)|=2,即|3a-3|=2,所以3a-3=2或3a-3=-2.,考法4,考法1,考法2,考法3,
9、考法2一次函数的图象及其性质,例2(2017安徽桐城模拟)一次函数y=mx+n与y=mnx(mn0)在同一平面直角坐标系内的图象是( ),考法4,考法1,考法2,考法3,答案:C 解析:(1)当m0,n0时,mn0,一次函数y=mx+n的图象过第一、二、三象限,正比例函数y=mnx的图象过第一、三象限,无选项符合; (2)当m0,n0,一次函数y=mx+n的图象过第二、三、四象限,正比例函数y=mnx的图象过第一、三象限,无选项符合; (4)当m0时,mn0,一次函数y=mx+n的图象过第一、二、四象限,正比例函数y=mnx的图象过第二、四象限,无选项符合.故选C.,考法4,考法1,考法2,考
10、法3,方法总结本题考查了一次函数y=kx+b的图象及其性质: (1)当k0,b0时,直线经过第一、二、三象限(直线不经过第四象限),y随x的增大而增大; (2)当k0,b0时,直线经过第一、二、四象限(直线不经过第三象限),y随x的增大而减小; (4)当k0,b0时,直线经过第二、三、四象限(直线不经过第一象限),y随x的增大而减小.,考法4,考法1,考法2,考法3,对应练4(2018湖南湘潭)若b0,则一次函数y=-x+b的图象大致是( C ),考法4,解析:斜率k=-10,故选C.,考法1,考法2,考法3,对应练5(2018贵州贵阳)一次函数y=kx-1的图象经过点P,且y的值随x值的增大
11、而增大,则点P的坐标可以是( C ) A.(-5,3) B.(1,-3) C.(2,2) D.(5,-1),考法4,解析:一次函数y=kx-1的图象经过点P,且y的值随x值的增大而增大,k0.,分别将备选项中坐标代入该式,只有当点坐标为(2,2)时满足k0.,对应练6(2017安徽合肥瑶海区模拟)一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示,则下列结论:k0;当x=3时,y1=y2;当x3时,y1y2. 其中正确的是 .(填序号),考法1,考法2,考法3,考法4,考法1,考法2,考法3,考法4,考法3一次函数与一次方程的关系 例3(2018陕西)若直线l1经过点(0,4),l2经过点(3
12、,2),且l1与l2关于x轴对称,则l1与l2的交点坐标为( ) A.(-2,0) B.(2,0) C.(-6,0) D.(6,0) 答案:B 解析:设直线l1解析式为y1=kx+4,l1与l2关于x轴对称,直线l2的解析式为y2=-kx-4, l2经过点(3,2),-3k-4=2.k=-2. 两条直线的解析式分别为y1=-2x+4,y2=2x-4.,交点坐标为(2,0),故选B.,考法1,考法2,考法3,考法4,对应练7(2018江苏徐州)若函数y=kx+b的图象如图所示,则关于x的不等式kx+2b3 C.x6,解析:图象过点(3,0),有3k+b=0. b=-3k.由图象可知k0.x6.,
13、考法1,考法2,考法3,考法4,对应练8(2017安徽名校联考)如图,函数y=2x+b与函数y=kx-1的图象交于点P,则关于x的方程kx-1=2x+b的解是x=1 .,解析:方程kx-1=2x+b的解,就是两个函数图象的交点的横坐标,观察图象可知方程的解为x=1.,考法1,考法2,考法3,考法4一次函数的应用,例4(2017浙江衢州)“五一”期间,小明一家乘坐高铁前往某市旅游,计划第二天租用新能源汽车自驾出游.,考法4,考法1,考法2,根据以上信息,解答下列问题: (1)设租车时间为x小时,租用甲公司的车所需费用为y1元,租用乙公司的车所需费用为y2元,分别求出y1,y2关于x的函数表达式.
14、 (2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方式合算. 分析:(1)由题意知y1为一次函数,其图象过点(0,80)和(1,95),y2为正比例函数,其图象过点(1,30),用待定系数法可以求出它们的表达式. (2)租车费用跟租车时间有关,结合图象可知两直线的交点的纵坐标相等,即所需费用相等,联立得方程组可求交点的横坐标为 16 3 ,即租车时间,然后列不等式或结合图象选择租车方式,注意考虑问题要全面,要分情况讨论.,考法3,考法4,考法1,考法2,解:(1)由题意可设y1=k1x+80,且其图象过点(1,95),则95=k1+80,所以k1=15,所以y1=15x+80(x0),由题意知y2=30x
15、(x0).,方法总结利用一次函数解决实际问题,其关键在于正确理解自变量、函数的意义,找出函数与自变量存在的数量关系,从而得出函数解析式,根据自变量的取值范围结合函数的变化趋势进行求解.,考法3,考法4,考法1,考法2,考法3,考法4,对应练9(2018湖南邵阳)小明参加100 m短跑训练,2018年14月的训练成绩如下表所示:,体育老师夸奖小明是“田径天才”,请你预测小明5年(60个月)后100 m短跑的成绩为( D ) (温馨提示:目前100 m短跑世界纪录为9秒58) A.14.8 s B.3.8 s C.3 s D.预测结果不可靠,考法1,考法2,考法3,考法4,解析:设y=kx+b(k
16、0),依题意得,y=-0.2x+15.8. 当x=60时,y=-0.260+15.8=3.8. 因为目前100 m短跑世界记录为9秒58,显然答案不符合实际意义,故选D.,考法1,考法2,考法3,考法4,对应练10(2018广西南宁)某公司在甲、乙仓库共存放某种原料450吨,如果运出甲仓库所存原料的60%,乙仓库所存原料的40%,那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30吨. (1)求甲、乙两仓库各存放原料多少吨? (2)现公司需将300吨原料运往工厂,从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元/吨和100元/吨.经协商,从甲仓库到工厂的运价可优惠a元/吨(10a30),从乙仓库到工厂的运价
17、不变.设从甲仓库运m吨原料到工厂,请求出总运费w关于m的函数解析式(不要求写出m的取值范围); (3)在(2)的条件下,请根据函数的性质说明:随着m的增大,w的变化情况.,考法1,考法2,考法3,考法4,解:(1)设甲仓库存放原料x吨,乙仓库存放原料y吨.,故甲仓库存放原料240吨,乙仓库存放原料210吨. (2)据题意,从甲仓库运m吨原料到工厂,则从乙仓库运(300-m)吨原料到工厂, 总运费w=(120-a)m+100(300-m)=(20-a)m+30 000. (3)当20-a0时,即10a20,由一次函数的性质可知,w随m的增大而增大; 当20-a=0时,a=20,w随m的增大不发生变化; 当20-a0时,即20a30,w随m的增大而减小.,
