1、第12讲 二次函数的图象及性质,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点一二次函数概念及表达式 定义:一般地,形如y=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a0)的函数叫做二次函数.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点二二次函数图象及其性质(高频) 1.图象性质,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,2.图象与系数关系,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点三二次函数表达式的确定(高频) 1.三种表达式的适用条件及求法 确定二次函数表达式一般利用一般式求解.对不同的已知条件,应灵活设出二次函数表达式的形式进行求解. 2.表达式三种形
2、式的适用条件 (1)当已知抛物线上任意三点时,通常设为一般式y=ax2+bx+c; (2)当已知抛物线的顶点坐标(h,k)和抛物线上另一点时,通常设为顶点式y=a(x-h)2+k; (3)当已知抛物线与x轴交点坐标(x1,0)和(x2,0)时,通常设为交点式y=a(x-x1)(x-x2).,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,3.用待定系数法求二次函数表达式的步骤 (1)设二次函数的表达式; (2)根据已知条件,得到关于待定系数的方程组; (3)解方程组,求出待定系数的值,从而写出函数的表达式. 4.三种表达式之间的关系,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点四二次函数的平移 由于抛
3、物线的开口方向与开口大小均由二次项系数a确定,所以两个二次函数如果a相等,那么其中一个图象可以由另一个图象平移得到.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点五二次函数与一元二次方程,命题点1,命题点2,命题点1 二次函数解析式 1.(2013安徽,16,8分)已知二次函数图象的顶点坐标为(1,-1),且经过原点(0,0),求该函数的解析式. 解 设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-1(a0), 2分 函数图象经过原点(0,0), a(0-1)2-1=0,解得a=1. 该函数的解析式为y=(x-1)2-1. 8分,命题点3,命题点1,命题点2,命题点2 二次函数性质 2.(2009安徽
4、,23,14分)已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图1所示.,命题点3,命题点1,命题点2,(1)请说明图1中,两段函数图象的实际意义; (2)写出批发该种水果的资金金额(元)与批发量n(kg)之间的函数关系式;在图2的坐标系中画出该函数图象;指出金额在什么范围内,以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果; (3)经调查,某经销商销售该种水果的日最高销售量与零售价之间的函数关系如图3所示,该经销商拟每日售出60 kg以上该种水果,且当日零售价不变,请你帮助该经销商设计进货和销售的方案,使得当日获得的利润最大.,命题点3,命题点1,命题点2,解 (1)段函数图象表示批发量不少于20 kg
5、且不多于60 kg的该种水果,可按5元/kg批发; 段函数图象表示批发量高于60 kg的该种水果,可按4元/kg批发. 4分,命题点3,图象如图所示. 由图可知,资金金额满足240300时,以同样的资金可批发到较多数量的该种水果 8分,命题点1,命题点2,命题点3,(3)法一:设当日零售价为x元,由图可得当日最高销售量n=320-40x,当n60时,x6.5. 由题意,销售利润为 y=(x-4)(320-40x)=40(x-4)(8-x)=40-(x-6)2+4, 10分 当x=6时,y最大值=160.此时,n=80. 即经销商应批发80 kg该种水果,日零售价定为6元/kg,当日可得最大利润
6、160元. 14分,命题点1,命题点2,命题点3,法二:设日最高销售量x kg(x60). 则由题图3,知日零售价p满足x=320-40p.,从而x=80时,y最大值=160.此时,p=6. 即经销商应批发80 kg该种水果,日零售价定为6元/kg,当日可得最大利润160元. 14分,命题点1,命题点2,命题点3,命题点3 二次函数的图象 3.(2015安徽,10,4分)如图,一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图象相交于P,Q两点,则函数y=ax2+(b-1)x+c的图象可能为( A ),命题点1,命题点2,命题点3,解析 由于一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的
7、图象有两个不同的交点,且都位于第一象限,所以方程ax2+bx+c=x,即ax2+(b-1)x+c=0有两个不相等的正实数根,所以函数y=ax2+(b-1)x+c与x轴有两个不同的交点,且都在x轴的正半轴上,故选A.,考法1,考法2,考法3,考法1二次函数的解析式的确定,例1(2018黑龙江哈尔滨)将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为( ) A.y=-5(x+1)2-1 B.y=-5(x-1)2-1 C.y=-5(x+1)2+3 D.y=-5(x-1)2+3 答案:A 解析:题干给的抛物线解析式可以看做顶点式,顶点为(0,1),平移可以看做是将顶
8、点移动到(-1,-1),所以选A. 方法总结二次函数的解析式往往是通过待定系数法或通过抛物线的平移、对称变换进行考查;本题考查了抛物线平移的问题.首先,将抛物线解析式化成顶点式;其次,根据“左加右减、上加下减”的原则对解析式右侧的代数式进行变形,特别注意,左加右减是对自变量而言的;上加下减是对解析式整体而言的.,考法1,考法2,考法3,对应练1(2018淮北模拟)抛物线的形状、开口方向与y= x2-4x+3相同,顶点在(-2,1),则关系式为( C ),考法1,考法2,考法3,对应练2(2018合肥45中模拟)二次函数的部分图象如图所示,对称轴是x=-1,则这个二次函数的表达式为( D )A.
9、y=-x2+2x+3 B.y=x2+2x+3 C.y=-x2+2x-3 D.y=-x2-2x+3,考法1,考法2,考法3,对应练3(2018芜湖模拟)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,EGAF,FHCE,垂足分别为G,H,设AG=x,图中阴影部分面积为y,则y与x之间的函数关系式是( C ),考法1,考法2,考法3,解析:E,F分别是AB,CD的中点, AE=CF, AECF,四边形AFCE是平行四边形, AFCE. EGAF,FHCE, 四边形EHFG是矩形, AEG+BEC=BCE+BEC=90, AEG=BCE,tanAEG=tanBCE,易证:AEGCFH,AG=
10、CH, EH=EC-CH=4x,y=EGEH=8x2,故选C.,考法1,考法2,考法3,考法2二次函数的图象和性质,例2(2018广东深圳)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,下列结论正确的是( )A.abc0 B.2a+b=0 C.3a+c0 D.ax2+bx+c-3=0有两个不相等的实数根 答案:B,考法1,考法2,考法3,项正确;由图象与x轴交于(-1,0)可知,当x=-1时,y=0,即3a+c=0,故C选项错误;当y=3时,ax2+bx+c=3,即ax2+bx+c-3=0,由图象可知,当y=3时x=1,故ax2+bx+c-3=0只有一个实数根,故D选项错误;故选B.,考
11、法1,考法2,考法3,方法总结本题考查了二次函数的图象和性质,抛物线在直角坐标系中的位置由a,b,c的符号确定.抛物线开口方向决定了a的符号,当开口向上时,a0,当开口向下时,a0,交于y负半轴c0,交于原点c=0;抛物线的对称,值为y=a+b+c;函数的图象在x轴上方时,y0,函数的图象在x轴下方时,y0,抛物线与x轴有2个不同的交点,当b2-4ac=0,抛物线与x轴只有1个交点,b2-4ac0,抛物线与x轴没有交点.,考法1,考法2,考法3,对应练4(2018四川成都)关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是( D ) A.图象与y轴的交点坐标为(0,1) B.图象的对称轴在y轴
12、的右侧 C.当x0时,y的值随x值的增大而减小 D.y的最小值为-3,解析:因为当x=0时,y=-1,所以图象与y轴的交点坐标为(0,-1),故A错误;图象的对称轴为x=- =-1,在y轴的左侧,故B错误;因为-1x0时,在对称轴的右侧,开口向上,y的值随x值的增大而增大,故C错误;y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3,开口向上,所以有最小值-3,D正确.故选D.,考法1,考法2,考法3,对应练5(2018山东泰安)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则反比例函数y= 与一次函数y=ax+b在同一坐标系内的大致图象是( C ),考法1,考法2,考法3,考法3二次函数与一元二次方程的
13、关系 例3(2016江苏宿迁)若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),则方程ax2-2ax+c=0的解为( ) A.x1=-3,x2=-1 B.x1=1,x2=3 C.x1=-1,x2=3 D.x1=-3,x2=1 答案 C 解析 方法一:可以求得,二次函数y=ax2-2ax+c的图象的对称轴为直线x=1,又经过点(-1,0),根据对称性,另一个交点为(3,0),所以方程的解为x1=-1,x2=3,故选C. 方法二:二次函数y=ax2-2ax+c(a0)的图象经过点(-1,0),因此x1=-1是方程ax2-2ax+c=0的一个根.由韦达定理得,x1+x2=2.所以另一个根为3
14、,故选C.,考法1,考法2,考法3,方法总结(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标. (2)本题中有两个待定系数a,c,求不出它们的具体数值,但可以求出二次函数的对称轴,利用对称性,可以求出另一个交点坐标(即方程的根). (3)利用韦达定理,可以求出两根之和,因此知道了一个根,可以求出另外一个根.,考法1,考法2,考法3,对应练6(2018浙江杭州)四位同学在研究函数y=x2+bx+c(b,c为常数)时,甲发现当x=1时,函数有最小值;乙发现-1是方程x2+bx+c=0的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当x=2时,y=4
15、,已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是( B ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁,抛物线的解析式为y=x2-2x+4. 当x=-1时,y=x2-2x+4=7, 乙的结论不正确; 当x=2时,y=x2-2x+4=4, 丁的结论正确. 四位同学中只有一位发现的结论是错误的,假设成立.故选B.,考法1,考法2,考法3,对应练7(2018芜湖二模)二次函数y=-x2+mx的图象如图,对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数)在1-5 B.-5t3 C.3t4 D.-5t4,考法1,考法2,考法3,解析:如图,关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解
16、就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标,由- =2,得m=4.,当x=1时,y=3,当x=5时,y=-5, 由图象可知关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数)在1x5的范围内有解, 直线y=t在直线y=-5和直线y=4之间包括直线y=4,-5t4.故选D.,考法1,考法2,考法3,对应练8(2017江苏南京)已知函数y=-x2+(m-1)x+m(m为常数). (1)该函数的图象与x轴公共点的个数是( D ) A.0 B.1 C.2 D.1或2 (2)求证:不论m为何值,该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上. (3)当-2m3时,求该函数的图象顶点的纵坐标的取值范围.,考法1,考法2,考法3,当m=-1时,z有最小值0; 当m-1时,z随m的增大而增大;,因此,当-2m3时,该函数的图象顶点的纵坐标的取值范围是0z4.,
