1、第18讲 相似三角形,考点一,考点二,考点三,考点一比例线段及比例的性质 1.定义 在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫作成比例线段,简称比例线段. 2.比例的基本性质,考点一,考点二,考点三,3.平行线分线段成比例 (1)两条直线被一组平行线 所截,如果在其中一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等 . (2)基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例 . 如图(1),直线abc,则,考点一,考点二,考点三,(3)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.如图(2),在ABC中,DEBC,则
2、,4.黄金分割,考点一,考点二,考点三,考点二相似三角形(高频) 1.相似三角形的性质及判定,考点一,考点二,考点三,2.三角形相似的判定思路和几种常见的图形,考点一,考点二,考点三,考点一,考点二,考点三,考点三相似多边形及其性质 1.定义 对应角相等 ,对应边成比例 的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. 2.性质 (1)相似多边形的对应边成比例 ; (2)相似多边形的对应角相等 ; (3)相似多边形的周长比等于 相似比,相似多边形的面积比等于相似比的平方 .,命题点,命题点 相似三角形的判定与性质 1.(2016安徽,8,4分)如图,ABC中,AD是中线,BC=8,
3、B=DAC,则线段AC的长为( B ),解析 由B=DAC,又找到公共角C,得出CADCBA,命题点,2.(2013安徽,13,5分)如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别为PB,PC的中点,PEF,PDC,PAB的面积分别为S,S1,S2,若S=2,则S1+S2=8 .,命题点,解析 过P作PQDC交BC于点Q,由DCAB,得到PQAB, 四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形, PDCCQP,ABPQPB, SPDC=SCQP,SABP=SQPB, EF为PCB的中位线, EFBC,EF= BC, PEFPBC,且相似比为12, SPEFSPBC=14, SPEF=2,
4、 SPBC=SCQP+SQPB=SPDC+SABP=S1+S2=8.,命题点,3.(2015安徽,23,14分)如图1,在四边形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接AG,BG,CG,DG,且AGD=BGC.(1)求证:AD=BC; (2)求证:AGDEGF; (3)如图2,若AD,BC所在直线互相垂直,求 的值.,命题点,(1)证明 GF是CD的垂直平分线, GD=GC.同理GA=GB. 在AGD和BGC中,GA=GB,AGD=BGC,GD=GC, AGDBGC,AD=BC. 4分 (2)证明 AGD=BGC,AGB=DGC.
5、 AG=BG,DG=CG,且E,F分别为AB,CD的中点,命题点,(3)解 如图,延长AD交BC的延长线于点M, AD,BC所在的直线互相垂直, DAB+ABC=90, 即DAB+ABG+GBC=90. AGDBGC,GAD=GBC, DAB+ABG+GAD=90, 即GAB+GBA=90. 又GAB=GBA,GAB=45.,考法1,考法2,考法3,考法1比例线段及比例的性质,例1(2017黑龙江哈尔滨)如图,在ABC中,D,E分别为AB,AC边上的点,DEBC,点F为BC边上一点,连接AF交DE于点G,则下列结论中一定正确的是( ),考法1,考法2,考法3,答案:C,解析:DEBC,ADEA
6、BC.,方法总结应用平行线分线段成比例定理时要注意“对应”一词的含义,为减少错误,应用时可把在同一条直线上被截得的两条线段安排在一个比例式中.,考法1,考法2,考法3,对应练1(2018四川乐山)如图,DEFGBC,若DB=4FB,则EG与GC的关系是( B ) A.EG=4GC B.EG=3GC C.EG= GC D.EG=2GC,EC=4CG.EG=3GC,故选B.,考法1,考法2,考法3,对应练2(2017黑龙江大庆)如图,ADBC,ADAB,点A,B在y轴上,CD与x轴交于点E(2,0),且AD=DE,BC=2CE,则BD与x轴交点F的横坐标为( A ),考法1,考法2,考法3,解析:
7、设AD=DE=a,BC=2CE=2b,考法1,考法2,考法3,对应练3(2018广西梧州)如图,AGGD=41,BDDC=23,则AEEC的值是( D )A.32 B.43 C.65 D.85,考法1,考法2,考法3,解析:过点D作DFCA交BE于F,如图.,考法1,考法2,考法3,考法2相似三角形的判定与性质,例2(2017浙江杭州)如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AGBC于点G,AFDE于点F,EAF=GAC.(1)求证:ADEABC; (2)若AD=3,AB=5,求 的值. 分析:(1)先根据AFDE,AGBC,进一步推出AEF=C,利用两角对应相等,两三角形相
8、似,得出ADEABC;(2)由ADEABC可得出ADE=B,从而AFDAGB,利用相似三角形对应边成比例求得 的值.,考法1,考法2,考法3,(1)证明: AFDE于点F,AGBC于点G, AFE=90,AGC=90. AEF=90-EAF,C=90-GAC, 又EAF=GAC,AEF=C. 又DAE=BAC,ADEABC. (2)解: ADEABC, ADE=B. 又AFD=AGB=90, AFDAGB.,考法1,考法2,考法3,方法总结利用相似三角形证明等积线段的基本思路: 先把等积线段转化为比例线段,再找出与比例线段中的线段有关的两个三角形,然后再证明这两个三角形相似,利用“相似三角形对
9、应边成比例”即可推出结论. 在此,寻找并证明两个三角形相似是解题的关键,寻找相似三角形的基本方法是“三点定形法”,即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法. 具体做法是:先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形,若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了,这叫做“横定”;若不能,再看每个比的前后两项的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形,若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了,这叫做“竖定”.,考法1,考法2,考法3,对应练4(2018广西贵港)如图,在ABC中,EFBC,AB=3AE,若S四边形BCFE=16,则SABC=( B )A.16
10、B.18 C.20 D.24,解析:设AEF的面积为S,则ABC的面积为16+S,由于在ABC中,所以SABC=16+2=18,故选B.,考法1,考法2,考法3,对应练5(2018湖南邵阳)如图所示,点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点,连接AE,交CD于点F,连接BF.写出图中任意一对相似三角形:ADFECF或EBAECF或ADFEBA(任意写一对即可) .,解析:因为四边形ABCD是平行四边形,所以ADBC,所以ADFECF;因为四边形ABCD是平行四边形,所以ABCD,所以EBAECF;因为ADFECFEBA,所以ADFEBA.,考法1,考法2,考法3,证明: (1)AB=AC,
11、B=C. DEF+CEF=B+BDE,DEF=B, CEF=BDE.BDECEF.,C=DEF,EDFCEF. CFE=EFD,即FE平分DFC.,对应练6(2017江苏宿迁)如图,在ABC中,AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B,C重合),满足DEF=B,且点D,F分别在边AB、AC上. (1)求证:BDECEF; (2)当点E移动到BC的中点时,求证:FE平分DFC.,考法1,考法2,考法3,考法3相似多边形及其性质 例3(2016重庆模拟)如图,已知矩形ABCD中,AB=2,在BC上取一点E,沿AE将ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点处,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则
12、AD=( ),考法1,考法2,考法3,答案 B 解析 可设AD=x,根据四边形EFDC与矩形ABCD相似,可得比例式,求解即可. 沿AE将ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点, 四边形ABEF是正方形, 设AD=x,则FD=x-2,FE=2, 四边形EFDC与矩形ABCD相似,方法总结几何图形中线段长度的计算一般通过勾股定理或通过相似三角形对应边成比例建立方程,通过解方程求得线段的长度.我们还常常把相似多边形分成个数相等且对应相似的三角形来解决问题,把多边形问题转化为三角形问题,体现了转化的数学思想.,考法1,对应练7(2017安徽名校调研卷)若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比,则称这两
13、个扇形相似.如图,如果扇形AOB与扇形A1O1B1是相似扇形,且半径OAOA1=k(k为不等于0的常数),那么下面四个结论: AOB=A1O1B1;AOBA1O1B1; =k;扇形AOB与扇形A1O1B1的面积之比为k2.成立的个数为( D )A.1 B.2 C.3 D.4,考法2,考法3,考法1,对应练8(2016安徽亳州模拟)如图的两个四边形相似,则的度数是( A )A.87 B.60 C.75 D.120,考法2,考法3,解析 如图,两个四边形相似,1=138.四边形的内角和等于360,=360-60-75-138=87.,考法1,考法2,考法3,9.(2016上海嘉定一模)将一个矩形沿着一条对称轴翻折,如果所得到的矩形与这个矩形相似,那么我们就将这样的矩形定义为“白银矩形”.事实上,“白银矩形”在日常生活中随处可见.如我们常见的A4纸就是一个“白银矩形”.请根据上述信息求A4纸的较长边与较短边的比值.这个比值是 .,
