1、1计算题的解题方法与技巧命题猜想【考向解读】 计算题命题立意分类Error!【命题热点突破一】各类运动问题(1)各类运动问题主要包括：静止、匀速直线运动、匀变速直线运动、匀速圆周运动这四种运动(2)破解运动学问题关键是抓住运动的条件，即受力分析而后利用牛顿第二定律研究物体的运动(3)该类问题主要包括，单个物体的多个运动过程问题，多个物体的追及相遇问题，板块问题，传送带问题，天体的运动等问题例 1、 （2018 年全国卷）一质量为 m 的烟花弹获得动能 E 后，从地面竖直升空，当烟花弹上升的速度为零时，弹中火药爆炸将烟花弹炸为质量相等的两部分，两部分获得的动能之和也为 E，且均沿竖直方向运动。爆
2、炸时间极短，重力加速度大小为 g，不计空气阻力和火药的质量，求（1）烟花弹从地面开始上升到弹中火药爆炸所经过的时间；（2）爆炸后烟花弹向上运动的部分距地面的最大高度【答案】 （1） ；（2） 【解析】本题主要考查机械能、匀变速直线运动规律、动量守恒定律、能量守恒定律及其相关的知识点，意在考查考生灵活运用相关知识解决实际问题的的能力。（1）设烟花弹上升的初速度为 ，由题给条件有设烟花弹从地面开始上升到火药爆炸所用的时间为 ，由运动学公式有联立式得2由式知，烟花弹两部分的速度方向相反，向上运动部分做竖直上抛运动。设爆炸后烟花弹上部分继续上升的高度为 ，由机械能守恒定律有联立式得，烟花弹上部分距地面
3、的最大高度为【变式探究】 【2017新课标卷】为提高冰球运动员的加速能力，教练员在冰面上与起跑线距离 s0和s1（ s1 0.6 s，不符合题意L820 2yg若有一发子弹落地，另一发打在靶上，才能满足题目中的靶上只有一个弹孔， L 才有所谓的“范围” ，由于落地的极限时间相同 t 0.6 s，所以出射速度越大，水平射程越长，当第二发子弹恰好打在2yg 2hg靶的下边缘时，第一发已落地，第二发子弹打到靶的下沿时，装甲车离靶的距离为 L2 vt s，解得L2570 m若第一发子弹打到靶的下边缘时，装甲车离靶的距离为 L1 v 0t，而 h gt2，解得 L1492 12m；若靶上只有一个弹孔，则
4、 L 的范围为 492 mMg 4l要使 P 仍能沿圆轨道滑回， P 在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点 C.由机械能守恒定律有Mv Mgl 12 2B联立式得m M0 的区域存在方向沿 y 轴负方向的匀强电场，场强大小为 E，在 y1）。一质量为 m、电荷量为q（ q0）的带电粒子以速度 v0从坐标原点 O 沿 x 轴正向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次15沿 x 轴正向时，求（不计重力）（1）粒子运动的时间；（2）粒子与 O 点间的距离。【答案】（1） 01()mqB（2）联立式得，所求时间为 （2）由几何关系及式得，所求距离为 【变式探究】如图 1所示，图面内有竖直线
5、DD，过 DD且垂直于图面的平面将空间分成、两区域区域有方向竖直向上的匀强电场和方向垂直于图面的匀强磁场 B(图中未画出)；区域有固定在水平面上高 h2 l、倾角 的光滑绝缘斜面，斜面顶端与直线 DD距离 s4 l，区域可加竖直方向的 4大小不同的匀强电场(图中未画出)； C 点在 DD上，距地面高 H3 l.零时刻，质量为 m、带电荷量为 q 的小球 P 在 K 点具有大小 v0 、方向与水平面夹角 的速度，在区域内做半径 r 的匀速圆周gl 3 3l运动，经 C 点水平进入区域.某时刻，不带电的绝缘小球 A 由斜面顶端静止释放，在某处与刚运动到斜16面的小球 P 相遇小球视为质点，不计空气
6、阻力及小球 P 所带电荷量对空间电磁场的影响 l 已知， g 为重力加速度(1)求匀强磁场的磁感应强度 B 的大小；(2)若小球 A、 P 在斜面底端相遇，求释放小球 A 的时刻 tA；(3)若小球 A、 P 在时刻 t ( 为常数)相遇于斜面某处，求此情况下区域的匀强电场的场强 E，并lg讨论场强 E 的极大值和极小值及相应的方向图 1【答案】(1) (2)(32 )m3lq gl 2 lg(3) 极大值为 ，方向竖直向上；极小值为 0（ 11 2） mgq（ 1） 2 7mg8q小球 A 释放后沿斜面运动加速度为 aA，与小球 P 在时刻 t1相遇于斜面底端，有mgsin maA aA(t
7、1 tA)2hsin 12联立以上方程解得 tA(32 ) .2lg17【变式探究】如图所示，直径分别为 D 和 2D 的同心圆处于同一竖直面内， O 为圆心， GH 为大圆的水平直径两圆之间的环形区域(区)和小圆内部(区)均存在垂直圆面向里的匀强磁场间距为 d 的两平行金属极板间有一匀强电场，上极板开有一小孔一质量为 m，电量为 q 的粒子由小孔下方 d/2 处静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度 v 射出电场，由点 H 紧靠大圆内侧射入磁场不计粒子的重力(1)求极板间电场强度的大小；(2)若粒子运动轨迹与小圆相切，求区磁感应强度的大小；(3)若区，区磁感应强度的大小分别为 2mv/qD,4
8、mv/qD，粒子运动一段时间后再次经过 H 点，求这段时间粒子运动的路程【解析】 (1)粒子在电场中，根据动能定理Eq mv2，解得 Ed2 12 mv2qd18(3)若区域的磁感应强度为 B1 ，则粒子运动的半径为 R1 ；区域的磁感应强度为2mvqD mvqB1 D2B2 ，则粒子运动的半径为 R2 4mvqD mvqB2 D4设粒子在区和区做圆周运动的周期分别为 T1、 T2，由运动公式可得T1 ， T22 R1v1 2 R2v2据题意分析，粒子两次与大圆相切的时间间隔内，运动轨迹如图所示，根据对称性可知，区两段圆弧所对的圆心角相同，设为 1，区内圆弧所对圆心角为 2，圆弧和大圆的两个切
9、点与圆心 O 连线间的夹角设为 ，由几何关系可得 1120， 2180， 60粒子重复上述交替运动回到 H 点，轨迹如图所示，设粒子在区和区做圆周运动的时间分别为 t1、 t2，可得19t1 T1360 12360t2 T2360 2360设粒子运动的路程为 s，由运动公式可知： s v(t1 t2)联立上述各式，可得 s5.5D【答案】 (1) (2) 或 (3)5.5Dmv2qd 4mvqD 4mv3qD【变式探究】如图所示，离子发生器发射一束质量为 m，电荷量为 q 的离子，从静止经 PQ 两板间的加速电压加速后，以初速度 v0再从 a 点沿 ab 方向进入一匀强电场区域， abcd 所
10、围成的正方形区域是该匀强电场的边界，已知正方形的边长为 L，匀强电场的方向与 ad 边平行且由 a 指向 d.(1)求加速电压 U0；(2)若离子恰从 c 点飞离电场，求 ac 两点间的电势差 Uac；(3)若离子从 abcd 边界上某点飞出时的动能为 mv ，求此时匀强电场的场强大小 E.2020(3)根据 Ek mv2可知，离子射出电场时的速度 v v0，方向与 ab 所在直线的夹角为 45，即 vx vy，12 2根据 x vxt， y t，可得 x2 y，则离子应该从 bc 边上的某点飞出vy2ab 方向，有 L v0tad 方向，有 y tv02解得 y ，根据动能定理，有L2Eqy
11、 mv mv ，解得 E2012 20 mv20qL【答案】 (1) (2) (3)mv202q 2mv20q mv20qL【思路点拨】(1)对直线加速过程运用动能定理列式求解即可；(2)粒子做类平抛运动，根据类平抛运动的分位移公式列式求解即可；(3)粒子做类平抛运动，根据类平抛运动的分速度公式和分位移公式列式，再结合动能定理列式，最后联立求解即可本题关键是明确粒子的运动是类平抛运动，然后根据类平抛运动的分运动公式列式求解，不难【命题热点突破四】带电粒子在复合场中运动的问题(1)带电粒子在复合场中的运动包括两类问题，一是粒子依次进入不同的有界场区，二是粒子进入复合场区(2)正确分析带电粒子的受
12、力及运动特征是解决问题的前提，带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子所受的合外力及初始状态的速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析，当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，做匀速直线运动(3)带电粒子所受的重力和电场力等值反向，洛伦兹力提供向心力，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动(4)带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度方向不在一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，由于带电粒子可能连续通过几个情况不同的复合场区，因此粒子的运动情况也发生相应的变化，其运动过程可能由几种不同的运动阶段组成(5)带电粒子在复合场中的临界问
13、题，这时应以题目中的“恰好” “最大” “最高” “至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，根据临界条件列出辅助方程，再与其他方程联立求解例 4、 （2018 年全国 II 卷） 一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在 xoy 平面内的截面如图所示：中间是磁场区域，其边界与 y 轴垂直，宽度为 l，磁感应强度的大小为 B，方向垂直于 xoy 平面；磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为 ，电场强度的大小均为 E，方向均沿 x 轴正方向；M、N 为条形21区域边界上的两点，它们的连线与 y 轴平行。一带正电的粒子以某一速度从 M 点沿 y 轴正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从 M 点入射
14、的速度从 N 点沿 y 轴正方向射出。不计重力。（1）定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹；（2）求该粒子从 M 点射入时速度的大小；（3）若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与 x 轴正方向的夹角为 ，求该粒子的比荷及其从 M 点运动到 N点的时间。【答案】 （1）轨迹图如图所示：（2） （3） ; （1）粒子运动的轨迹如图（a）所示。 （粒子在电场中的轨迹为抛物线，在磁 场中为圆弧，上下对称）22（2）粒子从电场下边界入射后在电场中做类平抛运动。设粒子从 M 点射入时速度的大小为 v0，在下侧电场中运动的时间为 t，加速度的大小为 a；粒子进入磁场的速度大小为 v，方向与电场方向的夹角为 （见图
15、（b） ） ，速度沿电场方向的分量为 v1，根据牛顿第二定律有qE=ma 式中 q 和 m 分别为粒子的电荷量和质量，由运动学公式有v1=at 粒子在磁场中做匀速圆周运动，设其运动轨道半径为 R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得由几何关系得联立式得（3）由运动学公式和题给数据得23联立式得设粒子由 M 点运动到 N 点所用的时间为 ，则式中 T 是粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期，由式得【变式探究】 【2017新课标卷】如图，两水平面（虚线）之间的距离为 H，其间的区域存在方向水平向右的匀强电场。自该区域上方的 A 点将质量为 m、电荷量分别为 q 和 q（ q0）的带电小球 M、 N 先后以相
16、同的初速度沿平行于电场的方向射出。小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开。已知N 离开电场时的速度方向竖直向下； M 在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为 N 刚离开电场时动能的 1.5 倍。不计空气阻力，重力加速度大小为 g。求（1） M 与 N 在电场中沿水平方向的位移之比；（2） A 点距电场上边界的高度；（3）该电场的电场强度大小。【答案】 （1）3:1 （2） 13H （3） 2mgEq【解析】 （1）设带电小球 M、 N 抛出的初速度均为 v0，则它们进入电场时的水平速度仍为 v0； M、 N 在电场中的运动时间 t 相等，电场力作用下产生的加速度沿水平方向，大小
17、均为 a，在电场中沿水平方向的位移分别为 s1和 s2；由运动公式可得：24v0at=0联立解得： 12:3s（3）设电场强度为 E，小球 M 进入电场后做直线运动，则 0yvqEmg， a设 M、 N 离开电场时的动能分别为 Ek1、 Ek2， 由动能定理：由已知条件： Ek1=1.5Ek2联立 解得： 2mgq【变式探究】如图所示，图面内有竖直线 DD，过 DD且垂直于图面的平面将空间分成、两区域区域有方向竖直向上的匀强电场和方向垂直于图面的匀强磁场 B(图中未画出)；区域有固定在水平地面上高 h2 l、倾角 的光滑绝缘斜面，斜面顶端与直线 DD距离 s4 l，区域可加竖直方向 4的大小不
18、同的匀强电场(图中未画出)； C 点在 DD上，距地面高 H3 l.零时刻，质量为 m、带电荷量为 q25的小球 P 在 K 点具有大小 v0 、方向与水平面夹角 的速度，在区域内做半径 r 的匀速圆gl 3 3l周运动，经 C 点水平进入区域.某时刻，不带电的绝缘小球 A 由斜面顶端静止释放，在某处与刚运动到斜面的小球 P 相遇小球视为质点，不计空气阻力及小球 P 所带电量对空间电磁场的影响 l 已知， g 为重力加速度(1)求匀强磁场的磁感应强度 B 的大小；(2)若小球 A、 P 在斜面底端相遇，求释放小球 A 的时刻 tA；(3)若小球 A、 P 在时刻 t ( 为常数)相遇于斜面某处
19、，求此情况下区域的匀强电场的场强 E，并lg讨论场强 E 的极大值和极小值及相应的方向小球 A 释放后沿斜面运动加速度为 aA，与小球 P 在时刻 t1相遇于斜面底端，有 mgsin maA aA(t1 tA)2 hsin 12联立以上方程解得 tA(32 ) 2lg(3)设所求电场方向向下，在 tA时刻释放小球 A，小球 P 在区域运动加速度为 aP，有26s v0(t tC) aA(t tA) 2cos 12mg qE maP H h aA(t tA) 2sin aP(t tC)2 12 12联立相关方程解得 E （ 11 2） mgq（ 1） 2对小球 P 的所有运动情形讨论可得 3 5
20、 由此可得场强极小值 Emin0，场强极大值 Emax ，方向竖直向上7mg8q【答案】 (1) (2)(32 ) (3) ； Emax ，方向竖直向上； Emin0m3lq gl 2 lg （ 11 2） mgq（ 1） 2 7mg8q【变式探究】如图，绝缘粗糙的竖直平面 MN 左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，电场强度大小为 E，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为 B.一质量为 m、电荷量为 q 的带正电的小滑块从 A 点由静止开始沿 MN 下滑，到达 C 点时离开 MN 做曲线运动 A、 C 两点间距离为 h，重力加速度为 g.(1)求小滑块运动到 C 点时
21、的速度大小 vc；(2)求小滑块从 A 点运动到 C 点过程中克服摩擦力做的功 Wf；(3)若 D 点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到 D 点时撤去磁场，此后小滑块继续运动到水平地面上的 P 点已知小滑块在 D 点时的速度大小为 vD，从 D 点运动到 P 点的时间为 t，求小滑块运动到 P 点时速度的大小 vP.【解析】(1)由题意知，根据左手定则可判断，滑块在下滑的过程中受水平向左的洛伦兹力，当洛伦兹力等于电场力 qE 时滑块离开 MN 开始做曲线运动，即 BqvC qE解得 vC E/B27(2)从 A 到 C 根据动能定理 mgh Wf m
22、v 012 2C解得 Wf mgh m12E2B2【答案】(1) E/B (2) Wf mgh m12E2B2(3)vP mg 2 qE 2m2 t2 v2D【变式探究】现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动在真空中存在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场和磁场的宽度均为 d.电场强度为 E，方向水平向右；磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直，一个质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子在第 1 层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射(1)求粒子在第 2 层磁场中运动时速度 v2的大小与
23、轨迹半径 r2；(2)粒子从第 n 层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为 n，试求 sin n；(3)若粒子恰好不能从第 n 层磁场右侧边界穿出，试问在其他条件不变的情况下，也进入第 n 层磁场，但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，请简要推理说明之28(2)设粒子在第 n 层磁场中运动的速度为 vn，轨迹半径为 rn(下标表示粒子所在层数)，nqEd mv12 2nqvnB mv2nrn由此可看出 r1sin 1， r2sin 2， rnsin n为一等差数列，公差为 d，可得rnsin n r1sin 1( n1) d当 n1 时，由下图可看出29r1sin 1 d
24、联立可解得 sin n Bnqd2mE(3)若粒子恰好不能从第 n 层磁场右侧边界穿出，则 n ，sin n1 2由 sin B 知：在其他条件不变的情况下，粒子的比荷越大，粒子穿出时速度方向与水平方向的夹nqd2mE角 n越大，所以比荷较该粒子大的粒子不能穿出该层磁场右侧边界【命题热点突破五】电磁感应问题(1)通电导体在磁场中将受到安培力的作用，电磁感应问题往往与力学问题联系在一起，解决问题的基本思路用法拉第电磁感应定律及楞次定律求感应电动势的大小及方向求电路中的电流分析导体的受力情况根据平衡条件或者牛顿第二定律列方程(2)抓住能的转化与守恒分析问题：抓住能量转化电磁感应现象中出现的电能，一
25、定是由其他形式的能转化而来，具体 问题中会涉及多种形式的 能之间的转化，机械能和电能的相互转 化、内能和电能的相互转化利用功能关系明确有哪些力做功，就可知道有哪些形式的能量参与了相互转化：摩擦力在相对位移上做功，必然有内能出现；重力做功，必然有重力势能参与转化；安培力做负功就会有其他形式能转化为电能，安培力做正功必有电能转化为其他形式的能；然后利用能量守恒列出方程求解例 5、 （2018 年江苏卷） 如图所示，两条平行的光滑金属导轨所在平面与水平面的夹角为 ，间距为 d导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为 B，方向与导轨平面垂直质量为 m 的金属棒被固定在导轨上，距底端的距离为 s，导轨与外接
26、电源相连，使金属棒通有电流金属棒被松开后，以加速度 a 沿导轨匀加速下滑，金属棒中的电流始终保持恒定，重力加速度为 g求下滑到底端的过程中，金属棒（1）末速度的大小 v；30（2）通过的电流大小 I；（3）通过的电荷量 Q【答案】 （1） （2） （3）【解析】 （1）匀加速直线运动 v2=2as 解得（2）安培力 F 安 =IdB 金属棒所受合力牛顿运动定律 F=ma解得（3）运动时间 电荷量 Q=It解得【变式探究】【2017天津卷】电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器。电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为 E，电容器的电容为 C。两根固
27、定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为 l，电阻不计。炮弹可视为一质量为 m、电阻为 R 的金属棒 MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触。首先开关 S 接 1，使电容器完全充电。然后将 S 接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为 B 的匀强磁场（图中未画出）， MN 开始向右加速运动。当 MN 上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零， MN 达到最大速度，之后离开导轨。问：（1）磁场的方向；（2） MN 刚开始运动时加速度 a 的大小；（3） MN 离开导轨后电容器上剩余的电荷量 Q 是多少。【答案】（1）磁场的方向垂直于导轨平面向下 （2） mRBEla（3）
