1、1单元检测(一) 数与式(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2018陕西) - 的倒数是( )711A. B.- C. D.-711 711 117 117答案 D2.(2018江苏盐城)下列运算正确的是( )A.a2+a2=a4 B.a3a=a3C.a2a3=a5 D.(a2)4=a6答案 C3.(2018山东聊城)在运算速度上,已连续多次获得世界第一的神威太湖之光超级计算机,其峰值性能为 12.5 亿亿次 /秒,这个数据以亿次 /秒为单位使用科学记数法可以表示为(
2、 )A.1.25108亿次 /秒 B.1.25109亿次 /秒C.1.251010亿次 /秒 D.12.5108亿次 /秒答案 B解析 12.5 亿 =12.5108=1.25109.4.(2018山东枣庄)实数 a,b,c,d 在数轴上的位置如图所示,下列关系式不正确的是( )A.|a|b| B.|ac|=acC.b0答案 B解析 由数轴可知实数 a 在实数 b 的左边离原点较远,所以 |a|b|,故 A 正确 .5.(2018河北)若 2n+2n+2n+2n=2,则 n=( )A.-1 B.-2 C.0 D.14答案 A解析 2n+2n+2n+2n=42n=222n=2n+2=2,n+ 2
3、=1.n=- 1.故选 A.6.(2018山东淄博)与 最接近的整数是( )37A.5 B.6 C.7 D.8答案 B解析 在 6 和 7 之间,且非常接近 6 的平方 36,从而答案选 B.377.化简( a+1) a2的结果是( )(1a+1)A.-a3 B.1 C.a3 D.-12答案 C解析 根据分式的运算法则进行运算时,要注意运算顺序 .原式 =(a+1) a2=(a+1) a2=a3.(1+aa) a1+a8.(2018桐城二模)下列计算错误的是( )A. B. =313= 33 3 6 2C. D.27- 12= 3 2+ 3= 5答案 D9.(2018浙江绍兴)利用如图 1 的
4、二维码可以进行身份识别 .某校建立了一个身份识别系统,图 2是某个学生的识别图案,黑色小正方形表示 1,白色小正方形表示 0.将第一行数字从左到右依次记为 a,b,c,d,那么可以转换为该生所在班级序号,其序号为 a23+b22+c21+d20.如图 2 第一行数字从左到右依次为 0,1,0,1,序号为 023+122+021+120=5,表示该生为 5 班学生 .表示 6 班学生的识别图案是( )导学号 16734149答案 B解析 A:123+022+121+020=10;B:023+122+121+020=6;C:123+022+021+120=9;D:023+122+121+120=7
5、,只有选项 B 表示 6 班,故选 B.10.(2018重庆 B 卷)下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成,其中第 个图形中有 3 张黑色正方形纸片,第 个图形中有 5 张黑色正方形纸片,第 个图形中有 7 张黑色正方形纸片,按此规律排列下去,第 个图形中黑色正方形纸片的张数为( )A.11 B.13 C.15 D.17答案 B3解析 根据第 1 个图形中小正方形的个数为 21+1,第 2 个图形中小正方形的个数为 22+1,第 3 个图形中小正方形的个数为 23+1,第 n 个图形中小正方形的个数为 2n+1,故第 6 个图形中小正方形的个数为 26+1=13,故选 B.二、填空题(本
6、大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)11.(2018甘肃白银)使得代数式 有意义的 x 的取值范围是 . 1x-3答案 x312.(2018辽宁沈阳)因式分解:3 x3-12x= . 答案 3x(x+2)(x-2)13.(2018山东潍坊)用教材中的计算器进行计算,开机后依次按下 3x2=,把显示结果输入如下的程序中,则输出的结果是 . 答案 7解析 按下 3x2=后,得 32=9,93- =3- 1,故输出(3 - )(3+ )=7.2 2 2 214.(2017安徽铜陵一模)设 y=kx,存在实数 k,使得代数式( x2-y2)(4x2-y2)+3x2(4x2-y2)能化简为
7、 x4,则满足条件的 k= . 答案 或 3 5解析 (x2-y2)(4x2-y2)+3x2(4x2-y2)=(4x2-y2)(x2-y2+3x2)=(4x2-y2)2,当 y=kx,原式 =(4x2-k2x2)2=(4-k2)2x4,令(4 -k2)2=1,解得 k= 或 ,即当 k= 或 3 5 3时,原代数式可化简为 x4.5三、(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分)15.(2018江苏扬州)计算: +| -2|+tan 60.(12)-1 3解 原式 =2+2- =4.3+ 316.(2017安庆桐城模拟)计算:2 .13 9- 12+378-1解 原式 =2 -213
8、9 3+3 -18=2 -2 =- .3 3-12 12四、(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分)17.(2017安徽芜湖二模)定义一种新运算: x y= ,如:2 1= =2,求(4 2) (-1)的值 .x+2yx 2+212解 4 2= =2,2 (-1)= =0.故(4 2) (-1)=0.4+224 2+2(-1)2418.(2018湖北宜昌)先化简,再求值: x(x+1)+(2+x)(2-x),其中 x= -4.6解 原式 =x2+x+4-x2=x+4.当 x= -4 时,原式 = -4+4= .6 6 6五、(本大题共 2 小题,每小题 10 分,满分 20 分)
9、19.(2017安徽铜陵一模)我们把完全平方公式( ab)2=a22ab+b2移项,可得: a2+b2=(a+b)2-2ab或 a2+b2=(a-b)2+2ab.用这两个等式解决某些问题能起到意想不到的效果 .如:已知 a+b=5,ab=3,求a2+b2的值 .由上式解: a2+b2=(a+b)2-2ab= 52-23=19.请你试试解决以下问题:(1)已知 a+ =6,则 a2+ = ; 1a 1a2(2)已知 a-b=2,ab=3,求 a4+b4的值 .解 (1)34 a2+ -2=36-2=34.1a2=(a+1a)2(2) (a-b)2=a2+b2-2ab,a 2+b2=(a-b)2+
10、2ab=4+6=10.a 4+b4=(a2+b2)2-2a2b2=100-18=82.20.(2018青海)先化简,再求值: ,其中 m=2+ .(1-1m-1)m2-4m+4m2-m 2解 .(1-1m-1)m2-4m+4m2-m =m-2m-1m(m-1)(m-2)2= mm-2当 m=2+ 时,原式 = =1+ . 导学号 167341502mm-2= 2+ 22+ 2-2 2六、(本题满分 12 分)21.(2017云南)观察下列各个等式的规律:第一个等式: =1,第二个等式: =2,第三个等式: =322-12-12 32-22-12 42-32-12请用上述等式反映出的规律解决下列
11、问题:(1)直接写出第四个等式;(2)猜想第 n 个等式(用 n 的代数式表示),并证明你猜想的等式是正确的 .解 (1)由题目中式子的变化规律可得,第四个等式是: =4;52-42-12(2)第 n 个等式是: =n,(n+1)2-n2-12证明: (n+1)2-n2-12=(n+1)+n(n+1)-n-125= =n,2n+1-12 =2n2 第 n 个等式是: =n.(n+1)2-n2-12七、(本题满分 12 分)22.(2018湖北随州)我们知道,有理数包括整数、有限小数和无限循环小数,事实上,所有的有理数可以化为分数形式(整数可看作分母为 1 的分数),那么无限循环小数如何表示为分
12、数形式呢?请看以下示例:例:将 0. 化为分数形式,由于 0. =0.777,设 x=0.777, 7 7则 10x=7.777. - 得 9x=7,解得 x= ,于是得 0. .79 7=79同理可得 0. ,1. =1+0. =1+ .3=39=13 4 4 49=139根据以上阅读,回答下列问题:(以下计算结果均用最简分数表示)【基础训练】(1)0. = ,5. = ; 5 8(2)将 0. 化为分数形式,写出推导过程;23【能力提升】(3)0. = ,2.0 = ; 315 18(注:0 . =0.315 315,2.0 =2.018 18)315 18【探索发现】(4) 试比较 0.
13、 与 1 的大小:0 . 1(填“ ”“6-24-3,所以 34 是 12 的最佳分解,所以F(12)= .34(1)如果一个正整数 m 是另外一个正整数 n 的平方,我们称正整数 m 是完全平方数 .求证:对任意一个完全平方数 m,总有 F(m)=1;(2)如果一个两位正整数 t,t=10x+y(1 x y9, x,y 为自然数),交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为 36,那么我们称这个数 t 为“吉祥数”,求所有“吉祥数”;(3)在(2)所得“吉祥数”中,求 F(t)的最大值 .(1)证明 对任意一个完全平方数 m,设 m=n2(n 为正整数),|n-n|= 0,nn 是 m 的最佳分解, 对任意一个完全平方数 m,总有 F(m)= =1;nn(2)解 设交换 t 的个位上数与十位上的数得到的新数为 t,则 t=10y+x,t 是“吉祥数”,t-t= (10y+x)-(10x+y)=9(y-x)=36,y=x+ 4, 1 x y9, x,y 为自然数, 满足“吉祥数”的有:15,26,37,48,59;(3)解 F(15)= ,F(26)= ,F(37)= ,F(48)= ,F(59)= ,35 213 137 68=34 159 ,3435213137159 所有“吉祥数”中, F(t)的最大值为 . 导学号 16734151348
