1、1单元检测(四) 图形初步与三角形(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2018湖南邵阳)如图所示,直线 AB,CD 相交于点 O,已知 AOD=160,则 BOC 的大小为( )A.20 B.60C.70 D.160答案 D解析 AOD=160, BOC= AOD=160,故选 D.2.(2018湖北荆州)如图,两条直线 l1 l2,Rt ACB 中, C=90,AC=BC,顶点 A、 B 分别在 l1和 l2上,1 =20,则2 的度数是( )A.45 B.55 C
2、.65 D.75答案 C解析 l 1 l2, 1 + CAB=2, Rt ACB 中, C=90,AC=BC, CAB=45, 2 =20+45=65,故选 C.3.(2018湖南常德)已知三角形两边的长分别是 3 和 7,则此三角形第三边的长可能是( )A.1 B.2 C.8 D.11答案 C解析 设三角形第三边的长为 x,由题意,得 7-3BL , ,EGAB 12EG AB, CEG CBA, ,故 不正确;S CEGS CBA=(EGAB)2 14本题正确的是 ,故选 A.二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)11.(2018山东莱芜)计算:( -3.14)0
3、+2cos 60= . 答案 212.(2018北京)用一组 a,b,c 的值说明命题“若 a2(-1), 命题“若 ab,则 acbc”是错误的,故答案为:1;2;-1(本题答案不唯一) .13.(2018湖南邵阳)如图所示,在等腰 ABC 中, AB=AC, A=36,将 ABC 中的 A 沿 DE 向下翻折,使点 A 落在点 C 处 .若 AE= ,则 BC 的长是 . 3答案 3解析 AB=AC , A=36, B= BCD=72. 将 ABC 中的 A 沿 DE 向下翻折,使点 A 落在点 C 处, 根据折叠原理可得 AED CED.AE=CE , A= ECD=36. BCE= B
4、CD- ECD=72-36=36. BEC=180- B- BCE=180-72-36=72. BEC= B.BC=CE.AE= ,3BC=CE=AE= .314.(2018黑龙江齐齐哈尔)四边形 ABCD 中, BD 是对角线, ABC=90,tan ABD= ,AB=20,BC=10,AD=13,则线段 CD= . 34答案 17 或 89解析 过点 A 作 AE BD 交 BD 于点 E,7 ABC=90,tan ABD= ,AB=20,设 AE=3x,BE=4x,AB 2=25x2=400,解得 x=4,即34AE=12,BE=16.AD= 13,DE= =5.过点 D 作 DF BC
5、 交 BC 于点 F,DF AB,即AD2-AE2 ABD= BDF,当四边形 ABCD 是凸四边形时, BD=BE+DE=21,tan BDF= ,可得 DF= ,BF= ,34 845 635又 CF=BF-BC= ,135CD= =17;CF2-DF2当四边形 ABCD 是凹四边形时, BD=BE-DE=11,tan BDF= ,可得 DF= ,BF= ,34 445 335又 CF=BC-BF= ,175CD= .CF2+DF2= 89故答案为 17 或 .89三、(本大题共 2 小题,每小题 13 分,满分 26 分)15.(2018广西桂林)如图,点 A、 D、 C、 F 在同一条
6、直线上, AD=CF,AB=DE,BC=EF.(1)求证: ABC DEF;(2)若 A=55, B=88,求 F 的度数 .(1)证明 AD=CF ,AD+CD=CF+CD ,即 AC=DF,则在 ABC 和 DEF 中, ABC DEF(SSS).AC=DF,AB=DE,BC=EF,(2)解 在 ABC 中, A=55, B=88, A+ B+ C=180, ACB=180 A B=37. ABC DEF(SSS), F= ACB=37.16.8(2018浙江杭州)如图,在 ABC 中, AB=AC,AD 为 BC 边上的中线, DE AB 于点 E.(1)求证: BDE CAD;(2)若
7、 AB=13,BC=10,求线段 DE 的长 .(1)证明 AB=AC , ABC= ACB;AD 是 BC 边上中线,BD=CD ,AD BC,又 DE AB, DEB= ADC,又 ABC= ACB, BDE CAD.(2)解 BC= 10,BD= BC=5,12在 Rt ABD 中,有 AD2+BD2=AB2,AD= =12.132-52 BDE CAD, ,即 ,BDCA=DEAD 513=DE12DE= .6013四、(本大题共 2 小题,每小题 13 分,满分 26 分)17.(2018黑龙江哈尔滨)如图,方格纸中每个小正方形的边长均为 1,线段 AB 的两个端点均在小正方形的顶点
8、上 .(1)在图中画出以线段 AB 为一边的矩形 ABCD(不是正方形),且点 C 和点 D 均在小正方形的顶点上;(2)在图中画出以线段 AB 为一腰,底边长为 2 的等腰三角形 ABE,点 E 在小正方形的顶点上 .连接2CE,请直接写出线段 CE 的长 .解 (1)矩形 ABCD 如图中所示 .9(2) ABE 如图中所示 . CE=418.(2018海南)如图,某数学兴趣小组为测量一棵古树 BH 和教学楼 CG 的高,先在 A 处用高 1.5 米的测角仪测得古树顶端 H 的仰角 HDE 为 45,此时教学楼顶端 G 恰好在视线 DH 上,再向前走 7 米到达 B 处,又测得教学楼顶端
9、G 的仰角 GEF 为 60,点 A,B,C 三点在同一水平线上 .(1)计算古树 BH 的高;(2)计算教学楼 CG 的高 .(参考数据: 1 .4, 1 .7)2 3解 (1)在 Rt DEH 中, DEH=90, HDE=45,HE=DE= 7 米 .BH=HE+BE= 7+1.5=8.5 米 .(2)设 EF=x 米,在 Rt GEF 中, GFE=90, GEF=60,GF=EF tan60= x.3在 Rt GDF 中, GFD=90, GDF=45,DF=GF. 7+x= x.3将 1 .7 代入上式,解得 x=10.GF= x=17.3 3CG=GF+FC= 18.5 米 .答
10、:古树高为 8.5 米,教学楼高为 18.5 米 .五、(本大题共 2 小题,每小题 19 分,满分 38 分)19.(2018山东东营)(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:如图 1,在 ABC 中,点O 在线段 BC 上, BAO=30, OAC=75,AO=3 ,BOCO= 1 3,求 AB 的长 .3经过社团成员讨论发现,过点 B 作 BD AC,交 AO 的延长线于点 D,通过构造 ABD 就可以解决问题(如图 2).请回答: ADB= ,AB= . (2)请参考以上解决思路,解决问题:如图 3,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点O,AC AD,AO
11、=3 , ABC= ACB=75,BOOD= 1 3,求 DC 的长 .310解 (1)BD AC, ADB= OAC=75. BOD= COA, BOD COA, .ODOA=OBOC=13又 AO= 3 ,OD= AO= ,313 3AD=AO+OD= 4 .3 BAD=30, ADB=75, ABD=180- BAD- ADB=75= ADB,AB=AD= 4 .3(2)过点 B 作 BE AD 交 AC 于点 E,如图所示 .AC AD,BE AD, DAC= BEA=90. AOD= EOB, AOD EOB, .BODO=EOAO=BEDABOOD= 1 3, .EOAO=BEDA
12、=13AO= 3 ,EO= ,AE= 4 .3 3 3 ABC= ACB=75, BAC=30,AB=AC,AB= 2BE.在 Rt AEB 中, BE2+AE2=AB2,即(4 )2+BE2=(2BE)2,3解得 BE=4,AB=AC= 8,AD=12.在 Rt CAD 中, AC2+AD2=CD2,即 82+122=CD2,解得: CD=4 .1320.(2018江苏连云港)在数学兴趣小组活动中,小亮进行数学探究活动 . ABC 是边长为 2 的等边三角形, E 是 AC 上一点,小亮以 BE 为边向 BE 的右侧作等边三角形 BEF,连接 CF.11(1)如图 1,当点 E 在线段 AC
13、 上时, EF、 BC 相交于点 D,小亮发现有两个三角形全等,请你找出来,并证明 .(2)当点 E 在线段 AC 上运动时,点 F 也随着运动,若四边形 ABFC 的面积为 ,求 AE 的长 .74 3(3)如图 2,当点 E 在 AC 的延长线上运动时, CF、 BE 相交于点 D,请你探求 ECD 的面积 S1与 DBF的面积 S2之间的数量关系,并说明理由 .(4)如图 2,当 ECD 的面积 S1= 时,求 AE 的长 .36解 (1)发现点 E 沿边 AC 从点 A 向点 C 运动过程中,始终有 ABE CBF.由题图 1 知, ABC 与 EBF 都是等边三角形,所以 AB=CB
14、,BE=BF,又 CBF= ABE=60- CBE,所以 ABE CBF.(2)由(1)知点 E 在运动过程中始终有 ABE CBF,S 四边形 BECF=S BCF+S BCE,S 四边形 BECF=S ABC. ABC 的边长为 2,则 S ABC= ,3所以四边形 BECF 的面积为 ,3又四边形 ABFC 的面积是 ,734所以 S ABE= ,在 ABE 中,因为 A=60,所以边 AB 上的高为 AEsin60,334则 S ABE= ABAEsin60= 2 AE= ,则 AE= .12 12 32 334 32(3)S2-S1= .3由题图 2 知, ABC 与 EBF 都是等
15、边三角形,所以 AB=CB,BE=BF,又 CBF= ABE=60+ CBE,所以 ABE CBF,S ABE=S CBF,S FDB=S ECD+S ABC,则 S FDB-S ECD=S ABC= ,则 S2-S1= .3 3(4)由(3)知 S2-S1= ,即 S FDB-S ECD= ,3 3由 S ECD= ,得 S BDF= ,因 ABE CBF,36 736所以 AE=CF, BAE= BCF=60.又 BAE= ABC=60,得 ABC= BCF,所以 CF AB,则 BDF 的高是 ,3则 DF= ,设 CE=x,则 2+x=CD+DF=CD+ ,所以 CD=x- ,73 73 13在 ABE 中,由 CD AB 得, ,CDAB=CEAE12即 ,x-132 = xx+2化简得 3x2-x-2=0,所以 x=1 或 x=- (舍),23即 CE=1,所以 AE=3. 导学号 16734158
