1、1第二章 相交线与平行线1.相交线(1)对顶角与邻补角:对顶角:a.要点记忆:两个角有公共顶点;两个角的两边互为反向延长线.b.性质:对顶角相等.c.易错点:对顶角是两个角处于一种特殊的位置关系,相等的角是两个角的大小比较,是两个角的度量关系,这两个是不同范畴的概念,对顶角的大小相等,但相等的角不一定是对顶角邻补角:a.性质:邻补角互补.b.易错点:邻补角是位置特殊的互补的角.邻补角是互补的角,但互补的角不一定是邻补角.【例】如图,直线 AB 和 CD 相交于点 O,若AOD=134,则AOC 的度数为 ( )A.134 B.144 C.46 D.32【标准解答】选 C.AOD+AOC=180
2、,AOC=180-134=46.1.下列图形中,1 与2 不是对顶角的有 ( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个2.如图,直线 AB,CD 相交于点 O,OA 平分EOC,EOCEOD=23,则BOD= ( )A.30 B.36 C.45 D.723.如图,直线 AB,CD,EF 相交于点 O,则1+2+3 的度数等于 ( )2A.90 B.150 C.180 D.210(2)垂直:定义:两条直线相交成直角,那么这两条直线互相垂直.互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.垂直是相交的特例,两条线段垂直(或两条射线垂直)指它们所在的直线垂直,所以有时作垂线时要延长线段(或射线).表示方法
3、:两条直线互相垂直,可表示为 ab 于点 O 或表示为:ABCD 于点 O.【例】如图,直线 AB 与直线 CD 相交于点 O,MOAB,垂足为 O,已知AOD=136,则COM 的度数为( )A.36 B.44 C.46 D.54【标准解答】选 C.AOD=136,BOC=136,MOOB,MOB=90,COM=BOC-MOB=136-90=46.1.如图,直线 AB,CD 相交于点 O,EOCD 于点 O,AOE=36,则BOD= ( )A.36 B.44 C.50 D.542.如图,直线 AB 与直线 CD 相交于点 O,E 是COB 内一点,且 OEAB,AOC=35,则EOD 的度数
4、是 ( )3A.155 B.145 C.135 D.1253.如图,直线 AB 与直线 CD 相交于点 O,OEAB,OF 平分AOC,若BOD=70.则EOF 的度数为 ( )A.115 B.125 C.135 D.1454.如图,直线 AB,CD 相交于点 O,OE 平分BOC,COF=90.(1)若BOE=70,求AOF 的度数.(2)若BODBOE=12,求AOF 的度数.5.直线 AB 与 CD 相交于点 O,AOM=90.(1)如图 1,若 OC 平分AOM,求AOD 的度数;(2)如图 2,若BOC=4NOB,且 OM 平分NOC,求MON 的度数.42.平行线的性质与判定(1)
5、平行线的性质:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;如果两条直线都和已知直线平行,那么这两条直线也互相平行;两直线平行内错角相等同位角相等同旁内角互 补 (2)与平行有关的辅助线的作法:两条平行线之间有折线,那么辅助线一般是过折线的节点做平行线,下面是常见的折线问题.折线在两条平行线内部折线在平行线外部(3)利用内错角、同位角相等或同旁内角互补判定两直线平行,一定要分清哪一条是截线,哪两条是被截线;两条直线平行的判定和性质叙述文字也几乎一样,只不过文字的叙述顺序颠倒了,这个颠倒正是它们的本质区别,不能混淆.【例】直线 a,b,c,d 的位置如图所示,如果1=58,2=58,3=70,那么
6、4 等于 ( )5A.58 B.70C.110 D.116【标准解答】选 C.1=2=58,ab,3+5=180,即5=180-3=180-70=110,4=5=110.1.如图,直线 ACBD,AO,BO 分别是BAC,ABD 的平分线,那么BAO 与ABO 之间的大小关系一定为 ( )A.互余 B.相等 C.互补 D.不等2.如图,ABCD,CB 平分ABD,若C=40,则D 的度数为 ( )A.90 B.100 C.110 D.1203.下列图形中,由1=2 能得到 ABCD 的是 ( )4.如图,ABCD,1=58,FG 平分EFD,则FGB 的度数等于 ( )6A.122 B.151
7、 C.116 D.975.以下四种沿 AB 折叠的方法中,不一定能判定纸带两条边线 a,b 互相平行的是 ( )A.如图 1,展开后,测得1=2B.如图 2,展开后,测得1=2,且3=4C.如图 3,测得1=2D.如图 4,展开后,再沿 CD 折叠,两条折痕的交点为 O,测得 OA=OB,OC=OD6.如图,已知 ABDE,ABC=70,CDE=140,则BCD 的值为 ( )A.20 B.30 C.40 D.707.如图,下列说法错误的是 ( )A.若 ab,bc,则 acB.若1=2,则 acC.若3=2,则 bcD.若3+5=180,则 ac8.如图,点 A,C,F,B 在同一直线上,C
8、D 平分ECB,FGCD,若ECA 为 度,则GFB 为 度(用关于 的代数式表示).79.如图,直线 l1 l2,=,1=40,则2= .10.如图,直线 ABCD,BC 平分ABD,1=65,求2 的度数.8跟踪训练答案解析1.相交线【跟踪训练】1.【解析】选 C.根据对顶角的定义可知:图中只有第二个是对顶角,其他都不是.2.【解析】选 B.EOCEOD=23,EOC=180 =72,22+3OA 平分EOC,AOC= EOC= 72=36,12 12BOD=AOC=36.3.【解析】选 C.如图,4=1,2+3+4=180,1+2+3=180.【跟踪训练】1.【解析】选 D.EOCD,E
9、OD=90,又AOE+EOD+BOD=180,AOE=36,BOD=54.2.【解析】选 D.AOC=35,BOD=35,EOAB,EOB=90,EOD=EOB+BOD=90+35=125.93.【解析】选 B.由 OEAB,得AOE=90.由对顶角相等,得AOC=BOD=70,由 OF 平分AOC,得AOF= AOC=35,由角的和差公式,得EOF=AOF+12AOE=35+90=125.4.【解析】(1)OE 平分BOC,BOE=70,BOC=2BOE=140,AOC=180-140=40,又COF=90,AOF=90-40=50.(2)BODBOE=12,OE 平分BOC,BODBOEE
10、OC=122,BOD=36,AOC=36,又COF=90,AOF=90-36=54.5.【解析】(1)AOM=90,OC 平分AOM,AOC= AOM= 90=45,12 12AOC+AOD=180,AOD=180-AOC=180-45=135,即AOD 的度数为 135.(2)BOC=4NOB设NOB=x,BOC=4x,CON=COB-BON=4x-x=3x,OM 平分CON,COM=MON= CON= x,12 32BOM= x+x=90,x=36,32MON= x= 36=54,32 3210即MON 的度数为 54.2.平行线的性质与判定【跟踪训练】1.【解析】选 A.ACBD,CAB
11、+DBA=180.AO,BO 分别是BAC,ABD 的平分线,BAO= CAB,ABO= DBA,12 12BAO+ABO= CAB+ DBA=90.12 122.【解析】选 B.ABCD,ABC=C=40,又CB 平分ABD,ABD=2ABC=80,又ABCD,ABD+D=180,D=100.3.【解析】选 B.B 中1 与2 是内错角,1=2,根据内错角相等两直线平行,可推出 ABCD.4.【解析】选 B.ABCD,1=58,EFD=58,又FG 平分EFD,GFD= EFD=29,12ABCD,FGB+GFD=180,FGB=151.5.【解析】选 C.选项 A 中1=2 时,根据内错角
12、相等两直线平行,可知 ab,选项 B 中,1=2,且3=4,且1+2=180,且3+4=180,所以1=2=90,且3=4=90,所以 ab,选项 D 中连接 AD,BC,OA=OB,OC=OD,故四边形 ADBC 是平行四边形,所以 ab,选项 C 中,1=2,不能确定 a,b 平行.6.【解析】选 B.11延长 ED 交 BC 于点 F,ABDE,ABC=70,BFE=B=70,CDE=140,FDC=180-140=40,C=BFE-FDC=70-40=30.7.【解析】选 C.A、若 ab,bc,则 ac,利用了平行公理,正确;B、若1=2,则 ac,利用了内错角相等,两直线平行,正确;C、3=2,不能判断 bc,错误;D、若3+5=180,则 ac,利用同旁内角互补,两直线平行,正确.8.【解析】ECA= 度,ECB=(180-)度.CD 平分ECB,DCB= = 度.1802 (902)FGCD,GFB=DCB= 度.(902)答案: (902)9.【解析】如图,延长 AB 交 l2于点 C, l1 l2,3=1=40,=,ACDE,2=180-3=180-40=140.答案:14010.【解析】ABCD,ABC=1=65,12ABD+BDC=180BC 平分ABD,ABD=2ABC=130,BDC=180-ABD=50,2=BDC=50.
