1、1第四章 三 角 形1.应用三角形的三边关系的方法技巧(1)已知三角形的两边长求第三边的范围,解答这类问题的关键是求两边之和、两边之差,第三边大于两边之差小于两边之和.【例】若三角形的两边长分别为 6 cm,9 cm,则其第三边的长可能为 ( )A.2 cm B.3 cmC.7 cm D.16 cm【标准解答】选 C.设第三边长为 xcm.由三角形三边关系定理得 9-69能构成三角形;C.8+1520能构成三角形;D.8+915能构成三角形.(3)在解决三角形中线段比较大小的问题时,我们经常会用到三角形的“三边关系定理”来解决问题,它是我们初中阶段经常用于比较线段大小的重要依据.【例】如图,点
2、 P 是ABC 内任意一点,试说明 PB+PCCD,将ABC 沿 AD 剪开,拼成如图 2 的四边形ABDC.11(1)四边形 ABDC具有什么特点?(2)请同学们在图 3 中,用尺规作一个以 MN,NP 为邻边的四边形 MNPQ,使四边形 MNPQ 具有上述特点(要求:写出作法,但不要求证明).12跟踪训练答案解析第四章 三 角 形1.应用三角形的三边关系的方法技巧【跟踪训练】1.【解析】选 B.如果满足较小的两条线段之和大于最长的线段,那么这三条线段就能组成三角形.因为1+1=2,1+45.2.【解析】选 C.设第三边长为 x,则由三角形三边关系定理得 5-2x5+2,即 3x7.故选 C
3、.3.【解析】选 C.设他所找的这根木棍长为 x,由题意得:3-2x3+2,1x5,x 为整数,x=2,3,4.4.【解析】各边长度都是整数、最大边长为 8,三边长可以为:1,8,8;2,7,8;2,8,8;3,6,8;3,7,8;3,8,8;4,5,8;4,6,8;4,7,8;4,8,8;5,5,8;5,6,8;5,7,8;5,8,8;6,6,8;6,7,8;6,8,8;7,7,8;7,8,8;8,8,8;故各边长度都是整数、最大边长为 8 的三角形共有 20 个.答案:205.【解析】由中线性质,可得 AG=2GD,则SBGF =SCGE = SABG = SABD12 1223= SAB
4、C = 12=2,122312 16阴影部分的面积为 4.答案:42.求一个角的度数的方法【跟踪训练】131.【解析】选 A.如图,1=60,2=45,=180-45-60=75.2.【解析】选 C.ABCD,DCE=A=34,DEC=90,D=90-DCE=90-34=56.3.【解析】选 C.A=60,ABC=42,ACB=180-A-ABC=78.B,C 的平分线为 BE,CD,FBC= ABC=21,12FCB= ACB=39,12BFC=180-FBC-FCB=120.4.【解析】选 B.EFAC,EFB=C=60,DFAB,DFC=B=45,EFD=180-60-45=75.5.【
5、解析】ACD=A+B,A=80,ACD=150,B=70.答案:706.【解析】直线 l1 l2,ABC 1,ABC 2,ABC 3的底边 AB 上的高相等,ABC 1,ABC 2,ABC 3这 3 个三角形同底,等高,ABC 1,ABC 2,ABC 3这些三角形的面积相等.14即 S1=S2=S3.3.确定全等三角形的对应边、对应角的方法【跟踪训练】【解析】选 C.由于1=2,B=D,所以点 C 与点 E,点 B 与点 D 是对应点,故应表示为ABCADE,所以选 C.4.全等三角形【跟踪训练】1.【解析】选 C.A、添加 CB=CD,根据 SSS,能判定ABCADC,故 A 选项不符合题意
6、;B、添加BAC=DAC,根据 SAS,能判定ABCADC,故 B 选项不符合题意;C、添加BCA=DCA 时,不能判定ABCADC,故 C 选项符合题意;D、添加B=D=90,根据 HL,能判定ABCADC,故 D 选项不符合题意;故选 C.2.【解析】ABDE,ABC=DEF,BE=CF,BC=EF,AB=DE,ABCDEF,DF=AC=6.答案:63.【解析】在ABF 和ACE 中, A=,=,=,ABFACE(SAS),ABF=ACE(全等三角形的对应角相等),BF=CE(全等三角形的对应边相等),AB=AC,AE=AF,BE=CF,在BEP 和CFP 中, =,=,=,BEPCFP(
7、AAS),PB=PC,BF=CE,PE=PF,图中相等的线段为 PE=PF,BE=CF.154.【证明】(1)ABCD,AEC=ECD,BED=EDC,CE=DE,ECD=EDC,AEC=BED.(2)E 是 AB 的中点,AE=BE,在AEC 和BED 中, A=,=,=,AECBED(SAS),AC=BD.5.【证明】(1)在四边形 ABCD 中,A=BCD=90,B+ADC=180.又ADC+EDC=180,ABC=EDC.(2)连接 AC.在ABC 和EDC 中 B=,=,=,ABCEDC.6.【证明】AEBD,EAC=ACB,AB=AC,B=ACB,B=EAC,在ABD 和CAE 中, =,=,=,ABDCAE,AD=CE.5.尺规作图16【跟踪训练】1.【解析】已知:线段 a,b 和.求作:ABC,使 BC=a,AC=b,C=(也可以使任意两边分别等于 a 和 b,夹角为 ).2.【解析】(1)四边形 ABDC中,AB=DC,B=C(或四边形 ABDC中,一组对边相等,一组对角相等).(2)作法:延长 NP;以点 M 为圆心,MN 为半径画弧,交 NP 的延长线于点 G;以点 P 为圆心,MN 为半径画弧,以点 M 为圆心,PG 为半径画弧,两弧交于点 Q;连接 MQ,PQ;四边形 MNPQ 是满足条件的四边形.17
