1、1第二十九章 投影与视图1.利用投影性质解决问题的方法:三角形相似利用对应线段成比例得到关系式,根据关系式列方程解方程,求出问题的答案【例】如图所示,某班上体育课,甲、乙两名同学分别站在 C,D 的位置时,乙的影子恰好在甲的影子里边,已知甲身高 1.8 米,乙身高 1.5 米,甲的影长是 6 米,则甲、乙同学相距 米.【标准解答】由题意得,ADEACB,所以 = ,AC=6 米,BC=1.8 米,DE=1.5 米,所以 AD=5 米,AD所以 CD=6-5=1(米).答案:11.如图,某小区内有一条笔直的小路,路的正中间有一路灯,晚上小华由 A 处直走到 B 处,她在灯光照射下的影长 l 与行
2、走的路程 s 之间的变化关系用图象刻画出来,大致图象是 ( )2.在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示,其中木杆 AB=2m,它的影子 BC=1.6m,木杆 PQ 的影子有一部分落在了墙上,PM=1.2m,MN=0.8m,则木杆 PQ 的长度为 m.3.如图,在一面与地面垂直的围墙的同一侧有一根高 10 米的旗杆 AB 和一个高度未知的电线杆 CD,它们都与地面垂直.为了测得电线杆的高度,一个小组的同学进行了如下测量:某一时刻,在太阳光的照射下,旗杆落在围墙上的影子 EF 的长度为 2 米,落在地面上的影子 BF 的长为 10 米;而电线杆落在围墙上的影子 GH2的长度为 3 米,落在地
3、面上的影子 DH 的长为 5 米.依据这些数据,该小组的同学计算出了电线杆的高度.(1)该小组的同学在这里是利用 投影的有关知识进行计算的.(2)试计算出电线杆的高度,并写出计算的过程.2.由几何体画三视图的方法:画几何体的三视图,首先要辨别在某个方向看到几何体的形状,其次考虑所看到图形的大小,同时要确认是否看到几何体的轮廓线,看到的轮廓线用实线表示,看不到的轮廓线则画成虚线.【例】如图是由 4 个相同的小正方体组成的几何体,其俯视图为 ( )【标准解答】选 C.俯视图就是从立体图形的上面向下看所得到的视图.31.如图是由 6 个相同的小立方块搭成的几何体,这个几何体的左视图是 ( )2.有一
4、种圆柱体茶叶筒如图所示,则它的主视图是 ( )3.下列四个立体图形中,它们各自的三视图有两个相同,而另一个不同的是 ( )A. B. C. D.4.如图是一个六角螺栓,它的主视图和俯视图都正确的是 ( )43.由三视图描述几何体的方法:首先,观察物体的主视图,想象几何体的高度和长度;其次,从左视图中可以知道几何体的高度和宽度;从俯视图中可以清楚地了解几何体的长度和宽度;最后,结合这三个方面描述或画出几何体的形状和大小.【例】由四个相同的小正方体搭建了一个积木,它的三视图如图所示,则这个积木可能是 ( )【标准解答】选 A.从主视图和左视图看积木是上下两层,左右两排,前后两行.在俯视图上标出小正
5、方体的个数如图所示,则这个积木可能是 A 中所示积木.1.若一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是正方形,则这个几何体是 ( )A.正方体 B.圆锥 C.圆柱 D.球2.某几何体的三视图如图所示,这个几何体是 ( )A.圆锥 B.圆柱 C.三棱柱 D.三棱锥54.用三视图解决问题的方法:【例 1】如图是一个包装纸盒的三视图(单位:cm),则制作一个纸盒所需纸板的面积是 ( )A.75(1+ )cm2 B.75 cm23 (1+32)C.75(2+ )cm2 D.75 cm23 (2+32)【标准解答】选 C.由三种视图知,几何体为正六棱柱,底面正六边形的边长为 5cm,高为 5cm,所以侧面积
6、为556=150(cm2),底面两个正六边形的面积为 26 5 5=75 (cm2),所以全面积为 75(2+12 32 3)cm2,即为需要的纸板的面积.3【例 2】由若干个棱长为 1cm 的正方体堆积成的一个几何体,它的三视图如图,则这个几何体的表面积是 ( )A.15 cm2 B.18 cm2C.21 cm2 D.24 cm2【标准解答】选 B.根据三视图可得:共有 4 个正方体,共有 24 个面,挨着被遮住的面共有 6 个,总的立方体表面积遮住的面的面积=几何体的表面积,则 24-6=18(cm2),故选 B.61.某几何体由一些大小相同的小正方体组成,如图分别是它的主视图和俯视图,那
7、么要组成该几何体,至少需要多少个这样的小正方体 ( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 62.如图是一个几何体的三视图,根据图纸标注的数据,求得这个几何体的侧面积是 ( )A.12 B.15 C.24 D.303.如图,是由一些小立方块所搭几何体的三种视图,若在所搭几何体的基础上(不改变原几何体中小立方块的位置),继续添加相同的小立方块,以搭成一个大正方体,至少还需要 个小立方块.4.如图是一个长方体的三视图(单位:cm),根据图中数据计算这个长方体的体积是 cm 3.7跟踪训练答案解析1.利用投影性质解决问题的方法:【跟踪训练】1.【解析】选 C.根据投影的特点可知,越靠近光源,影长越短,
8、越远离光源,影长越长.2.【解析】过 N 点作 NDPQ 于 D, = ,BD又AB=2,BC=1.6,PM=DN=1.2,NM=0.8,QD= =1.5,PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3(m).A答案:2.33.【解析】(1)该小组的同学在这里是利用平行投影的有关知识进行计算的.答案:平行(2)过点 E 作 EMAB 于 M,过点 G 作 GNCD 于 N.则 MB=EF=2,ND=GH=3,ME=BF=10,NG=DH=5.所以 AM=10-2=8,由平行投影可知, = ,即 = ,AC810C35解得 CD=7,即电线杆的高度为 7 米.2.由几何体画三视图的方法:【
9、跟踪训练】1.【解析】选 A.从左面看易得第一层有 3 个正方形,第二层最左边有一个正方形.2.【解析】选 D.茶叶盒可以看作是一个圆柱体,圆柱从正面看是长方形.故选 D.3.【解析】选 D.球的三视图都是圆,正方体的三视图都是正方形,圆柱的主视图和左视图是长方形,俯视图是圆,圆锥的主视图和左视图是三角形,俯视图是带圆心的圆.所以三视图有两个相同,而另一个不同的是8.4.【解析】选 C.从正面看第一层中间是较长的矩形,两边是比较短的矩形,第二层是比较宽的矩形,从上面看外边是一个正六边形,里面是一个圆形.3.由三视图描述几何体的方法:【跟踪训练】1.【解析】选 A.主视图和左视图都是正方形,此几
10、何体为柱体,俯视图是一个正方形,此几何体为正方体.2.【解析】选 A.由主视图和左视图为三角形判断出是锥体,由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥.4.用三视图解决问题的方法:【跟踪训练】1.【解析】选 B.从俯视图可得最底层有 3 个小正方体,由主视图可得上面一层至少有 1 个小正方体,所以至少需要 4 个这样的小正方体.2.【解析】选 B.由三视图可知,该几何体是一个圆锥,且底面圆的直径是 6,母线长是 5,底面的周长是 23=6,侧面积为 56=15,故选择 B.123.【解析】由俯视图易得最底层有 7 个小立方体,第二层有 2 个小立方体,第三层有 1 个小立方体,那么共有 7+2+1=10 个几何体组成.若搭成一个大正方体,共需 444=64 个小立方体,所以还需 64-10=54 个小立方体,答案:544.【解析】该几何体的主视图以及左视图都是相同的矩形,俯视图也为一个矩形,可确定这个几何体是一个长方体,依题意可求出该几何体的体积为 324=24(cm3).答案:249
