1、- 1 -第十九章 一 次 函 数19.1 函 数 19.1.1 变量与函数【教学目标】知识与技能:1.掌握常量和变量、自变量和函数的基本概念 .2.了解函数值的概念,能用解析式表示函数关系 .会确定函数自变量的取值范围 .过程与方法:结合实例,了解常量、变量的意义,体会“变化与对应”的思想 .通过动手实践与探索,让学生参与变量发现的过程,以提高分析问题和解决问题的能力 .情感态度与价值观:引导学生探索实际问题中的数量关系,培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情 .在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心 .【重点难点】重点:了解常量与变量的含义 .理解函数的有关
2、概念,能用解析式表示函数关系 . 确定自变量的取值范围 .难点:理解函数的有关概念,能用解析式表示函数关系 .会确定自变量的取值范围 .【教学过程】一、创设情境,导入新课:1.在学习与生活中,经常要研究一些数量关系,先看下面的问题 .如图是某地一天内的气温变化图 .看图回答:(1)这天的 6 时、10 时和 14 时的气温分别为多少?任意给出这天中的某一时刻,说出这一时刻的气温 .(2)这一天中,最高气温是多少?最低气温是多少?(3)这一天中,什么时段的气温在逐渐升高?什么时段的气温在逐渐降低?从图中我们可以看到,随着时间 t(时)的变化,相应地气温 T()也随之变化.那么在生活中是否还有其他
3、类似的数量关系呢?- 2 -2.五一假期,李想和朋友从学校门口出发,骑自行车去沙河游玩,假设他们匀速行驶,每分钟骑 200 米,骑车的总路程为 s 米,骑车的时间为 t 分钟 .填一填:t(分) 1 2 5 10 15 s(米) 问题:(1)在这个行程问题中,我们所研究的对象有几个量?(2)几个所研究的对象中,哪些是变化的量,哪些是固定不变的量?它们之间存在什么样的关系?这一节我们就来探究这一问题 .二、探究归纳活动 1:变量与常量1.出示问题,师生探究有如下几个变化过程,请找出各变化过程中的量,并填表:(教材 P71 四个问题)研究对象 变化的量 固定不变的量 存在的关系路程,时间,速度路程
4、,时间 速度 s=60t票价,张数,票房收入张数,收入 票价 y=10x面积,半径, 面积,半径 S= r2周长,边长,邻边长边长,邻边长 周长 y=5-x上述运动变化过程中出现的数量,你认为可以怎样分类?(师生活动:教师引导学生填表,并分析问题中出现的量,发现其中有些量的数值是变化的,分析问题中的量并分类,领会“变量”、“常量”的含义 .发现在同一个变化过程中,始终保持不变的量为常量,而数值发生变化的量为变量 .并根据发现自己试着下定义 .)2.形成概念(1)- 3 -(2)定义:在一个变化过程中,数值发生变化的量,称为变量,数值始终不变的量称为常量 .活动 2:函数的概念1.问题:在前面的
5、每个问题和实验中,是否各有两个变量?同一个问题中的变量之间有什么联系?师生分析得出:上面的每个问题和实验中的两个变量互相联系 .当其中一个变量取定一个值时,另一个变量就有唯一确定的值 .2.思考:分组讨论教科书“思考”中的两个问题 .注:使学生加深对各种表示函数关系的表达方式的印象 .3.归纳:一般来说,在一个变化过程中,如果有两个变量 x 与 y,并且对于 x 的每一个确定的值, y 都有唯一确定的值与其对应,那么,我们就说 x 是自变量, y 是 x 的函数 .如果当 x=a 时, y=b,那么, b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值 .例如在问题 1 中,时间 t 是自变量,里程 s
6、是 t 的函数 .t=1 时,其函数值 s 为 60,t=2 时,其函数值 s 为 120.同样,在心电图中,时间 x 是自变量,心脏电流 y 是 x 的函数;在人口数统计表中,年份 x 是自变量,人口数y 是 x 的函数 .当 x=1999 时,函数值 y=12.52.活动 3:例题讲解 【例 1】 读下面这段有关“龟兔赛跑”的寓言故事,并指出所涉及的量中,哪些是常量,哪些是变量 .一次乌龟与兔子举行 500 m 赛跑,比赛开始不久,兔子就遥遥领先 .当兔子以20 m/min 的速度跑了 10 min 时,往回一看,乌龟远远地落在后面呢!兔子心想:“我就是睡一觉,你乌龟也追不上我,我为何不在
7、此美美地睡上一觉呢?”可是,当骄傲的兔子正做着胜利者的美梦时,勤勉的乌龟却从它身边悄悄爬过,并以10 m/min 的速度匀速爬向终点 .40 min 后,兔子梦醒了,而此时乌龟刚好到达终点 .兔子悔之晚矣,等它再以 30 m/min 的速度跑向终点时,它比乌龟足足晚了10 min.分析:在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量;数值始终不变的量称为常量 .解:500 m、乌龟的速度 10 m/min 等在整个变化过程中是常量,兔子的速度是变量 .总结:“常量”与“变量”:“常量”是数值始终不变的量,一般是用具体数表示的量;“变量”是数值发生变化的量,变量是可以变化的:(1)可以取不同的数值
8、,(2)一般用字母表示 .- 4 -【例 2】 我们知道,海拔高度每上升 1 km,温度下降 6 .某时刻,益阳地面温度为 20 ,设高出地面 x km 处的温度为 y .(1)写出 y 与 x 之间的函数解析式 .(2)已知益阳碧云峰高出地面约 500 m,求这时山顶的温度大约是多少?(3)此刻,有一架飞机飞过益阳上空,若机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34 ,求飞机离地面的高度为多少千米?分析:(1)根据题意,按照等量关系:高出地面 x km 处的温度=地面温度-6 高出地面的距离;列出函数解析式 .(2)把给出的自变量高出地面的距离 0.5 km 代入函数解析式求得 .(3)把给出的函数
9、值高出地面 x km 处的温度-34 代入函数解析式求得 x.解:(1)由题意得, y 与 x 之间的函数解析式 y=20-6x(x0) .(2)由题意得 x=0.5 km, y=20-60.5=17()答:这时山顶的温度大约是 17 .(3)由题意得 y=-34 时,-34=20-6 x,解得 x=9 km.答:飞机离地面的高度为 9 km.总结:求函数值的方法:就是将自变量 x 的值代入解析式,求代数式的值 .【例 3】 函数 y= 自变量 x 的取值范围是( )-1-3A.x1 且 x3 B.x1C.x3 D.x1 且 x3分析:求自变量取值范围时,要考虑两个方面:一是被开方数非负;二是
10、分式的分母不为零,通过建立不等式组解决问题 .解:选 A.根据题意可知: x-10 且 x-30,解得 x1 且 x3 .总结:确定自变量取值范围的方法(1)整式:其自变量的取值范围是全体实数 .(2)分式:其自变量的取值范围是使得分母不为 0 的实数 .(3)二次根式:其自变量的取值范围是使得被开方数为非负的实数 .(4)实际问题:其自变量的取值必须使实际问题有意义 .三、交流反思- 5 -这节课我们学习了变量与常量、函数的概念,函数自变量的取值范围的确定方法 .四、检测反馈1.在三角形面积公式 S= ah,a=2 cm 中,下列说法正确的是 ( )12A.S,a 是变量, h 是常量12B
11、.S,h 是变量, 是常量12C.S,h 是变量, a 是常量12D.S,h,a 是变量, 是常量122.函数 y= +3 中自变量 x 的取值范围是 ( )-1A.x1 B.x 1 C.x1 D.x13.下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量 x 和 y,其中 y 不是 x 的函数的选项是 ( )A.y:正方形的面积, x:这个正方形的周长B.y:某班学生的身高, x:这个班学生的学号C.y:圆的面积, x:这个圆的直径D.y:一个正数的平方根, x:这个正数4.对于圆的面积公式 S= R2,下列说法中,正确的为 ( )A. 是自变量 B.R2是自变量C.R 是自变量 D. R2是自变
12、量5.函数 y= 中的自变量 x 的取值范围是 ( )+1A.x0 B.x-1C.x0 D.x0 且 x-16.根据如图所示程序计算函数值,若输入的 x 的值为 ,则输出的函数值为( )52- 6 -A. B. C. D.32 25 425 2547.一支演唱队第一排有 20 人,后面每排比前排多 1 人,则第 n 排的人数 s 与 n 的函数解析式为 _. 8.一个小球从静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到了小球滚动的距离 s(m)与时间 t(s)的数据如下表:时间 t(s) 1 2 3 4 距离 s(m) 2 8 18 32 (1)这一变化过程中的自变量是 _. (2)写出用 t
13、 表示 s 的关系是 _. (3)求第 6 秒时,小球滚动的距离为 _m. (4)小球滚动 200 m 用的时间为 _. 五、布置作业教科书第 81 页习题 19.1 第 1,2,3,4,5 题六、板书设计第十九章 一次函数19.1 函数19.1.1 变量与函数一、变量与常量、函数的概念1.常量与变量 .2.函数的概念 .二、函数自变量的取值范围的确定三、例题讲解 四、板演练习七、教学反思本节课学习了常量与变量,函数的概念及函数自变量的取值范围的确定,关于变量与常量概念:要通过实例引导学生分析运动变化过程中出现的数量关系,它们都刻画了某些变化规律 .这里出现了各种各样- 7 -的量,值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量,有些是数值始终不变的量,总结得出并通过实例练习巩固 .关于函数概念的教学,通过实例引导学生分析总结得出,并明确表示函数关系的方法通常有三种:解析法 .列表法 .图象法 .关于函数自变量的取值范围的教学,通过实例引导学生分析得出:求函数自变量取值范围的两个依据:(1)要使函数的解析式有意义 .函数的解析式是整式时,自变量可取全体实数;函数的解析式分母中含有字母时,自变量的取值应使分母0;函数的解析式是二次根式时,自变量的取值应使被开方数0 .(2)对于反映实际问题的函数关系,应使实际问题有意义 .
