1、1枣庄八中东校 12 月份月考高三试题理科数学第卷（60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.在复平面上满足条件 的复数 z 所对应的点的轨迹是( )A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 圆【答案】C【解析】设 （ ） ，由 ，得 ，所以 ，即点 到两点 和 的距离和为 ，所以复数在复平面上对应点的轨迹为线段，故选 C.2.若集合 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】应选 C分析：由集合 A 和 B 的取值范围，找出它们的公共部分，就得到集合 AB解答：解：A=x|-1x1，B= y|y0ABx
2、|-1x1 y|y0=“x|0x1“ 故答案为：C点评：本题考查交集的运算，解题时要认真审题，注意公式的合理运用3.某同学用收集到的 6 组数据对 (其中 )制作成如图所示的散点图(点旁的(xi,yi) i=1,2,3,4,5,6数据为该点坐标)，并由最小二乘法计算得到回归直线 l 的方程为 ，相关系数为y=bx+ar现给出以下 3 个结论：( )2r0；直线 l 恰好过点 D 1；其中正确结论是bA. B. C. D. 【答案】A【解析】由图可知这些点分布在一条斜率大于零的直线附近，所以为正相关，即相关系数 r0；因为 所以回归直线的方程必过点 ，即x=0+1+2+3+5+76 =3,y=1
3、.5+2+2.3+3+5+4.26 =3, (x,y)=(3,3)直线恰好过点 ；D因为直线斜率接近于 AD 斜率，而 ，所以错误，kAD=31.53 =120)A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等【答案】C【解析】曲线 可得： ，曲线 可得：a2=25,b2=9c2=16x225t+y29t=1(t0)由此可得只有其离心率时相等的a2=25t,b2=9tc2=16t9.设 ，其中 ，则函数 内的零fn(x)=1+x+x2+xn(x0) nN,n2 Gn(x)=fn(x)2在 (12n,1)点个数是( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 与 n 有关【答案】B
4、【解析】【分析】5先利用导数判断 在 上单调递增，再利用零点存在定理可得结果.f(x) (0,+)【详解】由 ，fn(x)=1+2x+3x2+4x3+.+nxn10知 在 上单调递增，f(x) (0,+)，Gn(12)=fn(12)2=1(12)n+11122=2(12)n2=(12)n0(n2)根据零点存在定理可得 在 零点的个数只有 个，故选 B.Gn(x)=fn(x)2 (12n,1) 1【点睛】判断函数 零点个数的常用方法：(1) 直接法： 令 则方程实根的个数y=f(x) f(x)=0,就是函数零点的个；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间 上是连续不断的曲线，a,b且 再结合函
5、数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数f(a)f(b)b0)椭圆的右焦点，则椭圆 C 的离心率为( )6A. B. 32 423C. D. 312 31【答案】D【解析】依题意，以 为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点和 两点得到一矩AB A,B形，直线 的倾斜角为 ，所以矩形的宽为，长为 .根据椭圆的定义有 ，y=3x23 3c c+ 3c=2a故 .e=ca= 23+1= 31点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查椭圆的几何性质和圆的几何性质，还考查了椭圆的对称性.解题的关键是判断两个焦点与 两点所组成的四边形为矩形，再A,B结合直线 的倾斜
6、角，和椭圆的定义，可求得关于 的一个方程，将方程化为离心率y=3x a,c即可求得离心率.12.在空间直角坐标系 中， O 为原点，平面 内有一平面图形 由曲线 轴Oxyz xOz z= 4x2与 x围成，将该图形按空间向量 进行平移，平移过程中平面图形 所划过a=(xa,ya,za)=(0,2,2) 的空间构成一个三维空间几何体，该几何体的体积为( )A. B. C. D. 4 42 8 82【答案】A【解析】【分析】根据题意得到所划过的空间构成的是以半径为 2 的半圆为上下底面，高为 2 的斜圆柱，再由祖暅定理得到结果.【详解】平面图形 是以 O 为圆心， 2 为半径的半圆，将该圆按照空间
7、向量进行平移，所划过的空间构成的是以半径为 2 的半圆为上下底面，高a=(xa,ya,za)=(0,2,-2)为 2 的斜圆柱，由祖暅原理，斜圆柱体积计算方法和直圆柱的计算方法相同，V=(2)222=4.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了立体图形的体积的计算，以及学生的空间想像能力，也涉及祖暅原理的应用，题目中等难度.7第卷（90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.若 满足约束条件 目标函数 的最小值为 2，则 a= _.x,yx+y1,x+2y2,xa, z=2x+3y【答案】 1【解析】【分析】结合前两个不等式可知 ，作出可行域的大致形状，化目标函数
8、为斜截式直线方程，数a0形结合可知当 过区域内的点 A 时，直线在 轴上的截距最小，联立方程组求出点y=23x+z3 y坐标和的值.A【详解】作出约束条件的可行域，如图所示，结合前两个不等式可知 ；a0目标函数 ，转化成直线 ，当截距 取最小值目标函数对应最小值 .Z=2x+3y y=23x+z3 z3 2由图可知，当直线 过点 A 时取得最小截距.y=23x+z3联立方程组 ，解得x+y=1x=a2=2x+3y x=1y=0a=1故答案为 1.【点睛】本题主要考查线性规划的含参问题，数形结合是解决问题的关键.目标函数 型线性规划问题解题步骤（含参问题求参数也适用）：z=ax+by（1）确定可
9、行区域 （2）将 转化为 ，求 z 的值，可看做求直线 ，在 y 轴上截距z=ax+by y=-abx+zb y=abx+zb的最值。zb（3）将 平移，观察截距 最大（小）值对应的位置，联立方程组求点坐标。 y=abx zb8（4）将该点坐标代入目标函数，计算 Z。14.数列 的前 49 项和为_.1，11+2， 11+2+3， ， 11+2+3+n,(nN)【答案】4925【解析】【分析】由等差数列求和公式得到 的通项，再裂项求和即可 .an【详解】令 ， ，an=11+2+3+.+n 1+2+3+.+n=n(n+1)2 ，an=2n(n+1)=2n2n+1 ，a1+a2+.+a49=(2
10、1)+(123)+(2324)+.+(249250)=4925故答案为： .4925【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的:已知 和 的关系，求 表达式，一般是写出 做差得通项，但是这种方法Sn an an Sn1需要检验 n=1 时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。15.把座位编号为 1，2，3，4，5 的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为_(用数字作答)【答案】96【解析】试题分析：根据题意，先将票分为符合题意要求的 4 份；可以转
11、化为将 1、2、3、4、5 这六个数用 3 个板子隔开，分为四部分且不存在三连号的问题，用插空法易得其情况数目，再将分好的 4 份对应到 4 个人，由排列知识可得其情况数目，由分步计数原理，计算可得答案解：先将票分为符合条件的 4 份；由题意，4 人分 5 张票，且每人至少一张，至多两张，则三人一张，1 人 2 张，且分得的票必须是连号，相当于将 1、2、3、4、5 这五个数用 3 个板子隔开，分为四部分且不存在三连号；易得在 4 个空位插 3 个板子，共有 C43=4种情况，再对应到 4 个人，有 A44=24 种情况；则共有 424=96 种情况；故答案为 96考点：排列、组合的应用9点评
12、：本题考查排列、组合的应用，注意将分票的问题转化为将 1、2、3、4、5 这五个数用 3 个板子隔开，分为四部分的问题，用插空法解决问题16.设函数 ，则函数 的各极大值之和为_f(x)=ex(sinxcosx)(0x2015) f(x)【答案】e(1-e2014)1-e2【解析】【分析】对函数求导得到函数的单调性，进而得到函数的极大值点和极大值，再由等比数列求和公式得到结果.【详解】 .当 时， 递增，f(x)=2exsinx x(2k,2k+) f(x)0,f(x) 时， 递减，x(2k+,2k,2) f(x)b a,b【答案】() () a=2,b= 3【解析】【分析】10（）根据向量的
13、点积运算的坐标表示得到函数表达式，由周期公式得到结果；（）由三角函数值得到角 C 的值，再由余弦定理得到 结合 可求值.a2+b2=7 ab=23【详解】 （） f(x)= m n =(2cos2x , 3)( 1 , sin2x )=2cos2x+ 3sin2x.故最小正周期=cos2x+1+ 3sin2x=2sin(2x+6)+1 T=22=(） ， ， f(C)=2sin(2C+6)+1=3 sin(2C+6)=1C 是三角形内角， 即： 2C+6=2 C=6.即： cosC=b2+a2-c22ab =32 a2+b2=7将 代入可得： ，解之得： 或 4,ab=23 a2+12a2=7
14、 a2=3， ,a= 3或 2 b=2或 3ab, a=2,b= 3【点睛】这个题目考查了向量的点积运算，三角函数的两角和正弦公式的应用，也考查了余弦定理解三角形的应用. 在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果ab b2 a2边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答。18.如图，四棱锥 底面为正方形，已知 ， ，点 为线P-ABCD PD平 面 ABCD PD=A
15、D M段 上任意一点（不含端点） ，点 在线段 上，且 PA N BD PM=DN（1）求证： ；直 线 MN平 面 PCD（2）若 为线段 中点，求直线 与平面 所成的角的余弦值M PA PB AMN【答案】 （1）详见解析（2）223【解析】11试题分析：（1）延长 ，交 于点 ，只需证明 MN/PG,通过 可证明AN CD G GDNABN，从而证明 MN/PG。 （2）由于 ，以 为 轴建立空AMNAPG DADCDP DA,DC,DP x,y,z间直角坐标系,利用线面角的向量公式解题。试题解析：（）延长 ，交 于点 ，由相似知 ，AN CD GANNG=BNND=AMMP平面 ， 平
16、面 ，则直线 /平面 ；MN PCD PG PCD MN PCD（）由于 ，以 为 轴建立空间直角坐标系 ,DADCDP DA,DC,DP x,y,z设 ，则 ， ， ， ， A(1,0,0) B(1,1,0) C(0,1,0) P(0,0,1) M(12,0,12) N(12,12,0)则 ，平面 的法向量为 ，PB=(1,1,-1) AMN m=(1,1,1)则向量 与 的夹角为，则 ，则 与平面 夹角的余弦值为 .PB m cos=13 PB AMN 22319.在数列 中， .an a1=0,an+1=3an+4n(1)若存在常数 ，使得 是公比为 3 的等比数列，求 的值；， an+
17、n+ ， (2)对于（1）中的 ，记 ，求数列 的前 项和 .， cn=(n+)(an+n+) cn n Sn【答案】(1) (2) =2,=1 Sn=n3n+1【解析】【分析】（1）根据题意 是公比为 3 的等比数列，故可求 ，结合an+n+ an+1=3an+2n+2-，对应系数相等即可；（2）结合第一问得到 ，之后错位相减an+1=3an+4n cn=(2n+1)3n即可得到结果.【详解】 （1）由题意， ，an+1+(n+1)+=3(an+n+)即 .an+1=3an+2n+2-又 ，所以 .an+1=3an+4n 2=4,2-=0解得 =2,=1（2）由（l）知，若设 ， 是首项为
18、3，且公比为 3 的等比数列，bn=an+n+ bn故 ，即 ，故bn=33n-1=3n an+2n+1=3n an=3n-2n-112所以 .cn=(2n+1)3nSn=331+532+733+.+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n3Sn=332+533+734+.+(2n-1)3n-1+(2n-1)3n+(2n+1)3n+1-得 2Sn=-331-232-233-.-23n+(2n+1)3n+1=-9-232-3n31-3 +(2n+1)3n+1=2n3n+1故 Sn=n3n+1【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的:已知 和 的关系，
19、求 表达式，一般是写出 做差得通项，但是这种方法Sn an an Sn1需要检验 n=1 时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。20.某车间将 10 名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为 10(1)求出 m，n 的值；(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差 和 ，并由此分析两组技s2甲 s2乙工的加工水平；【答案】(1) (2) ， ，甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定m=3,n=8 s2甲 =5.2s2乙 =2一些【解析】【分
20、析】(1)根据平均数的概念和数值得到参数值即可；（2）根据公式求出两组的方差，结合第一问求得的平均值可做出判断.【详解】 （1）根据题意可知：13x甲 =(7+8+10+12+10+m)=10.x乙 =(9+n+10+11+12)=10 m=3,n=8（2） ，s2甲 =15(7-10)2+(8-10)2+(10-10)2+(12-10)2+(13-10)2=5.2.s2乙 =15(8-10)2+(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(12-10)2=2 x甲 =x乙 ,s2甲 s2乙甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些.【点睛】这个题目考查了茎叶图的应用，以及茎叶图中平均值
21、的求法，方差公式的应用，以及利用数据对样本做出评价。方差可以说明整体数据的波动程度，体现数据的平稳性，平均数能体现整体水平的高低.21.已知 为椭圆 上三个不同的点， 为坐标原点，且 为 的重心A,B,C E：x22+y2=1 O O ABC(1)如果直线 、 的斜率都存在，求证是 为定值；AB OC kABkOC(2)试判断 的面积是否为定值，如果是就求出这个定值，否则请说明理由ABC【答案】 （1） （2） kABkOC=12 364【解析】【分析】（1）设出直线方程，联立椭圆方程，根据韦达定理表示出两个坐标间的关系，由斜率公式表示出两条直线的斜率，乘积判断是否为定值。（2）根据弦长公式，
22、求得 AB 长度，由点到直线距离公式求得高，再用面积公式判断是否为定值。【详解】 （1）设直线 ，代入 得：AB:y=kx+mx22+y2=1 (1+2k2)x2+4kmx+2(m2-1)=0设 ，A(x1,y1),B(x2,y2)14则 ；x1+x2=-4km2k2+1,x1x2=2(m2-1)2k2+1由 得：=16m2k2-8(1+2k2)(m2-1)0 m20)当 时， ， 单调递增；15当时 ， ， 单调递减；故函数的单调增区间为 .（2） ， ，因为 ， 是 的两个极值点，故 ， 是方程 的两个根，由韦达定理可知：， ，可知 ，又 ，令 ，可证在 递减，由 ，从而可证 .所以 .令 ， ，所以 单调减，故 ，所以 ，即 .
