1、1几何探究专题1.已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 为正方形内一动点，若点 M 在 AB 上，且满足PBCPAM，延长 BP 交 AD 于点 N，连接 CM.(1)如图，若点 M 在线段 AB 上，求证：APBN；AMAN.(2)如图，在点 P 运动过程中，满足PBCPAM 的点 M 在 AB 的延长线上时，APBN 和 AMAN 是否成立(不需说明理由)?是否存在满足条件的点 P，使得 PC ？请说明理由122.已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB6 cm，BC8 cm.对角线 AC，BD 交于点 O，点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向匀速运动，速度为 1 cm/s；同时，点
2、 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1 cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接 PO 并延长，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QFAC，交 BD 于点 F.设运动时间为 t(s)(00)，平行四边形 A1B1C1D1的面积为m2 (m0)，试求A 1E1B1A 1D1B1的度数m8.已知 AC，EC 分别为四边形 ABCD 和 EFCG 的对角线，点 E 在ABC 内，CAECBE90.(1)如图，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为正方形时，连接 BF.求证：CAECBF；若 BE1，AE2，求 CE 的长；(2)如图，当四边形 ABCD 和 EFCG 均
3、为矩形，且 k 时，若 BE1，AE2，CE3，求 k 的值；ABBC EFFC(3)如图，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为菱形，且DABGEF45时，设 BEm，AEn，CEp，试探究m，n，p 三者之间满足的等量关系(直接写出结果，不必写出解答过程)6参考答案1. (1)证明：PBCPAM，PBCPAM.四边形 ABCD 是正方形，PBCPBACBA90，PAMPBA90，APN90，即 APBN，BPABAN90.ABPNBA，ABPNBA， ， .又PAMPBC， ，故 .又ABBC，PBAB PAAN ANAB PAPB PAPB AMBC ANAB AMBCAMAN；(2)解
4、：点 M 在 AB 的延长线上时，APBN 和 AMAN 仍然成立；不存在，理由如下：选择图，以 AB 为直径，作半圆 O，连接 OC，OP，BC1，OB ，OC .由知，APBN，点 P 一定在以点 O 为12 52圆心、半径长为 的半圆上(A，B 两点除外)如果存在点 P，那么 OPPCOC，则 PC . ，故不存12 5 12 5 12 12在满足条件的点 P，使得 PC .122. 解：(1)分三种情况：若 APAO，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，AC10，AOCO5，AP5，t5，若 APPOt，在矩形 ABCD 中，ADBC，PAOOCE，APOOEC，又OAOC，APOC
5、EO，POOEt.作 AGPE 交 BC 于点 G，则四边形 APEG 是平行四边形，AGPE2t，GEAPt.又ECAPt，BG82t.在 RtABG 中，根据勾股定理知 62(82t) 2(2t) 2，解得 t .若 OPAO5，则 t0 或 t8，不合题意，舍去综上可知，当 t5 或 t 时，AOP 是等腰三258 258角形(2)如图，作 OMBC，垂足是 M，作 ONCD，垂足是 N.则 OM AB3，ON BC4，S OEC CEOM t3 t，S 12 12 12 12 32OCD CDON 6412.QFAC，DFQDOC， ( )2，即 ( )2，S 12 12 S DFQS
6、 DOC DQDC S DFQ12 t6DFQ t2，S 四边形 OFQC12 t2，S 五边形 OECQFS 四边形 OFQCS OEC 12 t2 t，即13 13 13 32S t2 t12(0t6)(3)存在理由如下：要使 S 五边形 OECQF：S ACD 916，即( t2 t12)13 32 13 32( 68)916，解得 t13，t 21.5，两个解都符合题意，12存在两个 t 值，使 S 五边形 OECQFS ACD 916，此时 t13，t 21.5；(4)存在理由如下：如图，作 DIOP，垂足是 I，DJOC，垂足是 J，7作 AGPE 交 BC 于点 G.S OCD
7、OCDJ 5DJ，且由(2)知，S OCD 12，DJ .OD 平分12 12 245POC，DIOP，DJOC，DIDJ 4.8.AGPE，DPIDAG.ADBC，DAGAGB，DPI245AGB，RtABGRtDIP.由(1)知，在 RtABG 中，BG82t， ， ，IP (82t)在 RtDPI 中，根据勾股定理得( )2 (82t)ABDI BGIP 64.8 8 2tIP 45 245 452(8t) 2，解得 t .(t0 不合题意，舍去)112393. (1)解：BCCF；BCCDCF.【解法提示】BACDAF90，BADCAF，又ABAC，ADAF，ABDACF，ACFABC
8、45，ACB45，BCF90，即BCCF；ABDACF，BDCF，BCCDBD，BCCDCF.(2)解：结论仍然成立，不成立证明：BACDAF90，BADCAF，又ABAC，ADAF，ABDACF，ACFABD18045135，ACB45，BCF90，即 BCCF；结论为：BCCDCF.证明：ABDACF，BDCF，BCCDBD，BCCDCF.(3)解：如解图，过点 E 作 EMCF于 M，作 ENBD 于点 N，过点 A 作 AHBD 于点 H.ABAC2 ，2BC4，AH BC2，CD BC，CD1，BACDAF90，BADCAF，又12 14ABAC，ADAF，ABDACF，ACFABC
9、45，ACB45，BCF90，CNME，CMEN，AGCABC45，CGBC4，ADE90，ADHEDNEDNDEN90，ADHDEN，又AHCDNE90，ADDE，AHDDNE，DNAH2，ENDH3，CMEN3，MECN3，则 GMCGCM431，EG .EM2 GM2 104. (1)解：如图中，AB10，AC6，AD 是 BC 边上中线，由旋转性质知，BEAC6，ADDE.在ABE 中，106ME，BECFEF.5. (1)证明：ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60得到ADE，ABAD，BAD60，ABD 是等边三角形；证明：由得ABD 是等边三角形，ABBD，ABC 绕点 A 顺时
10、针方向旋转 60得到ADE，ACAE，BCDE，又ACBC，EAED，点 B，E 在 AD 的中垂线上，BE 是 AD 的中垂线，点 F 在BE 的延长线上，BFAD，AFDF；解：BE 的长为 3 4；38(2)解：BECE 的值为 13；6. 解：(1)由矩形性质与折叠可知，APOBCD90，CPODPADPADAP90，DAPCPO，OCPPDA， ( )2，即 ( )2，CP4，设 CDx，则S OCPS PDA CPDA 14 CP8DPx4，APABCDx，AP 2DP 2AD 2，x 2(x4) 28 2，解得 x10，故 CD10.(2)线段 EF 的长度始终不发生变化，为 2
11、 .57. 解：(1) .【解法提示】sin120 ，故这个平行四边形的变形度是 . (2) ，理由如下：233 32 233 1sin S1S2如图，设矩形的长和宽分别为 a，b，其变形后的平行四边形的高为 h，则 S1ab，S 2ah， sin ， ，又 ， . (3)由 AB2AEAD，可得hb S1S2 abah bh 1sin bh 1sin S1S2A1B A 1E1A1D1，即 .又B 1A1E1D 1A1B1，B 1A1E1D 1A1B1，A 1B1E1A 1D1B1，21A1B1A1D1 A1E1A1B1A 1D1B 1C1，A 1E1B1C 1B1E1，A 1E1B1A 1
12、D1B1C 1B1E1A 1B1E1A 1B1C1.由(2)结论 ，1sin S1S2可得 2，sinA 1B1C1 ，A 1B1C130，A 1E1B1A 1D1B130.(10 分)1sin A1B1C1 4m2m 128. (1)证明：ACEECB45，BCFECB45，ACEBCF，又四边形 ABCD 和 EFCG 是正方形， ，CAECBF. 解： ，AE2，BF ，ACBC CECF 2 AEBF ACBC 2 AE2 2由CAECBF 可得CAECBF，又CAECBE90，CBFCBE90，即EBF90，由CE22EF 22(BE 2BF 2)6，解得 CE . (2)解：连接 BF，如解图，同(1)证CAECBF，可得6EBF90， ，由 k，可得ACBC AEBF ABBC EFFCBCABAC1k ，CFEFEC1k ， ， ，EFk2 1 k2 1CEEF ACAB k2 1k AEBF ACBC k2 1 kCEk2 1，EF 2 ，BF ，BF 2 ，CE 2 EF2 (BE2BF 2)，3 2 (12 )，解得k2CE2k2 1 AEk2 1 AE2k2 1 k2 1k2 k2 1k2 k2 1k2 22k2 1k . (3)解：p 2n 2(2 )m2.104 29
