1、1规律性专题1.按一定规律排列的一列数： ，1，1， ， ， ， ，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为12 91111131317_2.观察下列等式：3 13，3 29，3 327，3 481，3 5243，3 6729，.试猜想，3 2016的个位数字是_3.古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，它有一定的规律性若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为 x2，第 n 个三角形数记为 xn，则 xnx n1 _4.观察下列等式：第 1 个等式： a 1 1，第 2 个等式：a 2 ，11 2 2 12 3 3 2第 3 个等式：a 3 2 ，第 4 个等式：
2、a 4 2，13 2 3 12 5 5按上述规律，回答以下问题：(1)请写出第 n 个等式：a n_；(2)a1a 2a 3a n_5.观察下列等式：1234n n(n1)；1213610 n(n1) n(n1)(n2)12 16141020 n(n1)(n2) n(n1)(n2)(n3); 16 124则有：151535 n(n1)(n2)(n3)_1246.如图，正方形 ABCD 的边长为 2，其面积标记为 S1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 S2，按照此规律继续下去，则 S9的值为( )A. ( )6 B. ( )7 C.
3、 ( )6 D. ( )712 12 22 227.将一些相同的“”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中“”的个数，若第 n 个“龟图”中有245 个“” ，则 n_8.如图，ABC 的面积为 1，第一次操作：分别延长 AB，BC，CA 至点 A1，B 1，C 1，使A1BAB，B 1CBC，C 1ACA，顺次连接 A1，B 1，C 1，得到A 1B1C1，第二次操作，分别延长 A1B1，B 1C1，C 1A1至点2A2，B 2，C 2，使 A2B1A 1B1，B 2C1B 1C1，C 2A1C 1A1，顺次连接 A2，B 2，C 2，得到A 2B2C2，按此规律，要使得到的三角形的面
4、积超过 2016，最少经过_次操作9.如图，MON60，作边长为 1 的正六边形 A1B1C1D1E1F1，边 A1B1、F 1E1分别在射线 OM、ON 上，边 C1D1所在的直线分别交 OM、ON 于点 A2、F 2，以 A2F2为边作正六边形 A2B2C2D2E2F2，边 C2D2所在的直线分别交 OM、ON 于点A3、F 3，再以 A3F3为边作正六边形 A3B3C3D3E3F3，依此规律，经第 n 次作图后，点 Bn到 ON 的距离是_10.如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为 1 个单位长，P 1，P 2，P 3，均在格点上，其顺序按图中“”方向排列如：P 1(0，0)
5、，P 2(0，1)，P 3(1，1)，P 4(1，1)，P 5(1，1)，P 6(1，2)，根据这个规律，点 P2016的坐标为_11.如图，在平面直角坐标系中，边长为 1 的正方形 OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线 OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形 OB1B2C2的对角线 OB2为边作正方形 OB2B3C3，依次类推，则正方形 OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是_12.如图，点 A1的坐标为(1，0)，A 2在 y 轴的正半轴上，且A 1A2O30，过点 A2作 A2A3A 1A2，垂足为 A2，交 x轴于点 A3；过点 A3作 A3A4A 2A
6、3，垂足为 A3，交 y 轴于点 A4；过点 A4作 A4A5A 3A4，垂足为 A4，交 x 轴于点 A5；过点 A5作 A5A6A 4A5，垂足为 A5，交 y 轴于点 A6，按此规律进行下去，则点 A2016的纵坐标为_313.如图，在平面直角坐标系中，矩形 AOCB 的两边 OA、OC 分别在 x 轴和 y 轴上，且 OA2，OC1.在第二象限内，将矩形 AOCB 以原点 O 为位似中心放大为原来的 倍，得到矩形 A1OC1B1，再将矩形 A1OC1B1以原点 O 为位似中心放大32倍，得到矩形 A2OC2B2，依此规律，得到的矩形 AnOCnBn的对角线交点的坐标为_3214.如图，
7、在平面直角坐标系中，A 1A2A3，A 3A4A5，A 5A6A7，A 7A8A9，都是等边三角形，且点A1，A 3，A 5，A 7，A 9的坐标分别为 A1(3，0)，A 3(1，0)，A 5(4，0)，A 7(0，0)，A 9(5，0)，依据图形所反映的规律，则 A100的坐标为_15.如图，在平面直角坐标系中，将ABO 绕点 B 顺时针旋转到A 1BO1的位置，使点 A 的对应点 A1落在直线y x 上，再将A 1BO1绕点 A1顺时针旋转到A 1B1O2的位置，使点 O1的对应点 O2落在直线 y x 上，依次进行33 33下去. 若点 A 的坐标是(0，1)，点 B 的坐标是( ，1
8、)，则点 A8的横坐标是_34参考答案1. 1 【解析】将原来的一列数变形为 ， ， ， ，通过观察可以得出分子依次为从小到大排列的连123355 91111131317续奇数，分母是依次从小到大排列的质数，故方框内填 ，故答案为 1.772. 1 【解析】从前几个 3 的幂次方结果来看，它的个位数字依次是 3，9，7，1，第 5 个数跟第一个数的个位数字相同，于是 3 的整数次幂是每四个数一个循环，20164504，于是 32016的个位数字与 34的个位数字相同，即为 1.3. (n 1)2或 n2 2n 1 【解析】x 1x 21342 2，x 2x 33693 2，x 3x 46101
9、64 2，x 4x 51015255 2，x 5x 61521366 2，x nx n1 (n1) 2n 22n1.4. ； 1 【解析】1n n 1 n 1 n n 1a1 1，a 2 ，a 3 ，a n ，将上面 n 个式11 2 2 12 3 3 2 13 4 4 3 1n n 1 n 1 n子左右相加得：a 1a 2a 3a n 1.n 15. n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4) 【解析】观察所给等式可以发现，第一个等式的右边系数为 1 ，因式1120 12 12为 n(n1)；第二个等式的右边系数为 ，因式为 n(n1)(n2)；第三个等式的右边系数为 ，因16 12 13
10、124 16 14式为 n(n1)(n2)(n3)，所以第四个等式的右边系数为 ，因式为 n(n1)(n2)(n3)(n4)，结124 15 1120果为 n(n1)(n2)(n3)(n4)11206. A 【解析 】由题意得： S12 2( )2 ， S2( )2( )1 ， S3(1) 2( )0， S4( )2( )1， S9( )12 2 12 12 12 12 1293 ( )6.故选 A.127. 16 【解析】根据题意得：第 1 个图形中小圆的个数为 5，第 2 个图形中小圆的个数为 7，第 3 个图形中小圆的个数为 11，得出第 n 个图形中小圆的个数为 n(n1)5.据此可以
11、求出“龟图”中有 245 个“”时 n 的值方法：第 1 个图形有：5 个，第 2 个图形有：2(21)57 个，第 3 个图形有：3(31)511个，第 4 个图形有：4(41)517 个，据此得出：第 n 个图形有：n(n1)5 个，则可得方程n(n1)5245，解得 n116，n 215(不合题意，舍去)故答案为：16.方法：设 yan 2bnc，根据题意得 ，解得 ，yn 2n5.当 y245 时，可得：n 2n5245.a b c 54a 2b c 79a 3b c 11) a 1b 1c 5)8. 四 【解析】ABC 与A 1BB1的底相等(ABA 1B)，高为 12(BB 12B
12、C)，故面积比为 12，S ABC1，SA 1BB12.同理可得，SC 1B1C2，SAA 1C12，SA 1B1C1SC 1B1CSAA 1C1SA 1B1BS 5ABC22217，同理可证：SA 2B2C27SA 1B1C149，第三次操作后的面积为 749343，第四次操作后的面积为 73432401.故按此规律，要使得到的三角形的面积超过 2016，最少经过四次操作9. 3n1 【解析】由题可知，MON60，不妨设 Bn到 ON 的距离为 hn，正六边形 A1B1C1D1E1F1的边长为31，则 A1B11，易知A 1OF1为等边三角形，A 1B1OA 11，OB 12，则 h12 ，
13、又32 3OA2A 2F2A 2B23，OB 26，则 h26 3 ，同理可求：OB 318，则 h318 9 ，依此可求：32 3 32 3OBn23 n1 ，则 hn23 n1 3 n1 ，B n到 ON 的距离 hn3 n1 .32 3 310. (504，504) 【解析】由图象可知，P 1，P 4，P 8，P 12，在同一条直线 yx(x0)上，可观察到当 n为 4 的倍数时，P n的坐标为( ， )，点 P2016的坐标为( ， )，即(504，504)n4 n4 20164 2016411. (21008，0) 【解析】点 B 的位置依次落在第一象限、y 轴正半轴、第二象限、x
14、轴负半轴、第三象限、y 轴负半轴、第四象限、x 轴正半轴，每 8 次一循环.20168252，所以点 B2016落在 x 轴正半轴，故 B2016的纵坐标是 0；OB n是正方形的对角线，OB 1 ，OB 22( )2，OB 32 ( )3，所以 OB2016( )20162 1008，所以2 2 2 2 2点 B2016的坐标为(2 1008，0)12. 3 1007 【解析】A 1(1，0)，A 1A2O30，A 2(0， )，A 3A2A 1A2，A 3A2O60，3 3A 2A3O30，A 3(3，0)，同理：A 4(0，3 )，A 5(9，0)，A 6(0，9 )，A 7(27，0)
15、，A 8(0，27 )，3 3 3，即：A 2(0， )，A 4(0，3 )，A 6(0，9 )，A 8(0，27 )，列表如下：3 3 3 3A2 (3) 03 (22)20A4 (3) 13 (42)21A6 (3) 23 (62)22A8 (3) 33 (82)23A2016 (3) n3 (20162)2nn1007，A 2016的纵坐标是3 1007 .313. ( ， ) 【解析】在矩形 OABC 中，OA2，OC1，A(2，0)，C(0，1)，对角线的交点为3n2n 3n2n 1(1， )，将矩形 OABC 以原点 O 为位似中心，放大为原来的 倍，矩形 A1OC1B1对角线的交
16、点为( ， )，即12 32 32 34( ， )，继续放大为原来的 倍，矩形 A2OC2B2对角线的交点为( ， )，即( ， )，依次类32 12 32 32 94 98 3222 12 3222推，矩形 AnOCnBn对角线的交点为( ， )3n2n 3n2n 114. ( ， ) 【解析】继续排列图形如下，观察发现，A 1、A 5、A 9、A 4n3 在点(2，0)的右侧，52 5132A3、A 7、A 11、A 4n1 在点(2，0)的左侧，A 2、A 6、A 10、A 4n2 在第一象限，A 4、A 8、A 12、A 4n在第四象限，A 100在第四象限，进一步观察发现：A 4、A
17、 8、A 12、A4 n的横坐标都为 ，A 4n所在等边三角形边长为 2n1，可526求得 A100所在等边三角形边长为 225151，进一步可求点 A100的纵坐标为( 51) ，从而解得32 5132A100的坐标为( ， )52 513215. 6 6 【解析】由 A 点的坐标得 OA1，由 B 点的坐标得 OB2，则 AB ，由图象得直线 OB 与 x 轴的正3 3方向的夹角为 30，于是 A1的横坐标为：OA 1cos30(2 ) ；A 2的横坐标为：OO 2cos30332(2 1) ；A 3的横坐标为：OA 3cos30(2 12 ) ；A 4的横坐标为：332 3 3 32(2 12 1) ； ，于是 A8的横坐标为：(2 12 12 12 1)3 332 3 3 3 3 6 6.32 3
