1、1广西桂林市第十八中学 2018 届高三上学期第三次月考数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，故选：C2.已知 ,若 ,则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ， ，A=1,+),B=x|0x2a-1 AB= ，即 又 ，即 ，2a-11)=0.5A. B. C. D. 1 3 2 4【答案】A【解析】试题分析：正态分布曲线关于均值对称，故均值 ,选 A.a=1考点：正态分布与正态曲线.
2、4.已知 ，则 （ ）2sin(6+)=1 cos(232)=2A. B. C. D. 12 12 32 32【答案】B【解析】2sin(6+)=1,sin(6+)=12又 sin(6+)=cos2(6+)=cos(3)cos(232)=2cos2(3)1=12选 B5.下列程序框图中，输出的 的值是（ ）AA. B. C. D. 117 119 120 121【答案】B【解析】由程序框图知：A第一次循环后 211+2=13第二次循环后 311+22=15第三次循环后 411+23=17第九次循环后 1011+29 119不满足条件 ，跳出循环则输出的 为 i0) 2,23上恰好取得一次最大值
3、，则 的取值范围是（ ）0, A. B. C. D. (0,1 (0,34 1,+) 12,34【答案】D【解析】f(x)=4sinxsin2(x2+4)2sin2x=4sinx1cos(x+2)2 2+cos2x1=2sinx（1+sinx）+cos2x1=2sinx，是函数含原点的递增区间2，2又函数在 上递增， -2,23 2，22,23，得不等式组 ，得 又 22232 134， 0，0 34，4又函数在区间 上恰好取得一次最大值，0,根据正弦函数的性质可知 ，即函数在 处取得最大值，x=2k+2，kZ x=2k+2，kZ可得 00)，过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，
4、垂足为 N，则 的最大值为（）AFB=120|MN|AB|A. B. C. D. 4003 150 1503 6007【答案】D【解析】试题分析：如图所示，过 分别作准线的垂线 ，垂足分别为 ，设A,B AQ,BP Q,P，连接 ，由抛物线的定义，得 ，在梯形 中，|AF|=a,|BF|=b AF,BF |AF|=|AQ|,|BF|=|BP| ABPQ，由余弦定理得： ，整理2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b |AB|2=a2+b22abcos1200=a2+b2+ab得 ，因为 ，则 ，|AB|2=(a+b)2ab ab(a+b2)2即 ，所以 ，所以 ，故选 D|AB|234(a+b)
5、2 |AB|2|MN|234(a+b)214(a+b)2=3 |AB|MN| 36考点：抛物线的定义及其简单的几何性质【方法点晴】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、基本不等式求解最值、余弦定理等知识的应用，解答中由抛物线的定义和余弦定理得：，在利用基本不等式，得到 是解答本题的关键，着重考|AB|2=a2+b2+ab |AB|234(a+b)2查了学生分析问题和解答问题的能力及转化与化归思想的应用，属于中档试题12.已知数列 满足： 且 ，数列 与 的公共项从an a3=8 n,mN+,an+m=anam an log2a3n+2小到大排列成数列 ，则 （ ）bn
6、b109=A. B. C. D. 2218 2219 4109 4218【答案】B【解析】对任意 ，令 可得 ，则n,mN+,an+m=anam m=n=1 a2=a21a3=a2a1=a31,a3=8,a1=2对任意 ，都有 又 ， ，nN* an+1=a1an， a1=2 an+1=2an数列 是首项、公比均为 2 的等比数列，则 an an=22n1=2n设 .cn=log2a3n+2=log223n+2=3n+2下面证明数列 是等比数列bn证明： b1=8=a3=c2假设 ，则 ， 不bn cm ak 2k 3m+2=2k ak+1 2k+1 22k 2(3m+2) 3(2m+1)+1
7、是数列 中的项； 是数列 中的第cn ak+2 2k+2 42k 4(3m+2) 3(4m+2)+2 cn项4m+27从而 bn+1 c4m+2 ak+2 2k+2， bn+1bn 2k+22k 4所以 是首项为 8，公比为 4 的等比数列 bn bn=84n1=22n+1b109=22109+1=2219选 B【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，解题时要认真审题，注意等比数列性质的合理运用第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 满足不等式 ，则 的最大值为_x,y xy0x+y1x0 z=x+2y【答案】2【解析】作
8、出不等式组对应的平面区域如图：由 z=x+2y 得 y= x+ z，12 12平移直线 y= x+ z 由图象可知当直线 y= x+ z 经过点 A 时，直线 y= x+ z 的截距最大，12 12 12 12 12 12此时 z 最大，由 ，即 ，x=0x+y-1=0 x=0y=1 即 A（0，1） ，此时 z=0+2=2，故答案为：2点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函8数的最大值或最小值
9、会在可行域的端点或边界上取得.14. 的展开式中含 项的系数为_(用数字作答）(2x2+y)5 x4y3【答案】40【解析】的展开式的通项公式为(2x2+y)5Tr+1=Cr5(2x2)5ryr=Cr525rx102ryr令 ，得到 项的系数为 r=3 x4y3 C35253=104=4015.已知 为 的外心， 且 ，则O ABC |AB|=2,|AC|=4,AO=xAB+yAC(x,yR) x+4y=2_|OA|=【答案】2【解析】如图，分别取 AB，AC 中点 D，E，连接 OD，OE，AO，O 为ABC 的外心；ODAB，OEAC；由 得 ；AO=xAB+yAC AOAB=xAB2+y
10、ABACAOAC=xABAC+yAC2 ；2=4x+yABAC8=16y+xABAC x+4y=2；+得： ；(x+y)ABAC=24+得： ；8(x+y)+ABAC=8联立得， ；x+y=12解 得， ；x+4y=2x+y=12 x=0，y=129 ；AO=12AC |OA|=2故答案为：216.已知函数 ，若 ， ，则正数的取值范f(x)=x+alnx x1,x2(12,1)(x1x2) |f(x1)f(x2)|1x11x2|围是_【答案】 32,+)【解析】a0，f（x）=x+alnx， ,f(x)=1+axf（x）在 上单调递增，不妨设(12,1) x10， ，x1,x2(12,1)(
11、x1x2) |f(x1)-f(x2)|1x1-1x2|即 ， ，f(x2)-f(x1)1x1-1x2 f(x2)+1x2f(x1)+1x1即 在 上单调递增g(x)=f(x)+1x (12,1) ,即 ，又g(x)=1+ax-1x20 a1x-x 1x-x32故 a32三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知 是正项数列 的前 项和， .Sn an n a2=,Sn=a2n+12an+1(nN*)（1）证明：数列 是等差数列；an（2）当 时， ，求数列 的前 项和 .=2 bn=an2n(nN*) bn n Tn【答案】(1)详见
12、解析;(2) .Tn=2n+1n22n【解析】试题分析; （1）当 时，分别得到 ， 作差化简 ，可得 ，又n2 Sn Sn-1 an0 an+1-an=2当 时，可得 ，即可证明数列 是等差数列n=1 a1=2 an10（2）由（1）及 ，得 ， ，由错位相减法可得数列 的前 项和=2 an=n bn=n2n bn n Tn试题解析：（1）当 时，有n2 Sn=a2n+1-2an+1Sn-1=a2n-2an ，an=a2n+1-a2n-2an+1+2an (an+1-an)(an+1+an)=2(an+1+an)又 ，an0 an+1-an=2当 时，有n=1 S1=a22-2a2=22 ，
13、a1=2 a2-a1=2数列 是以 为首项， 为公差的等差数列an a1=2 d=2（2）由（1）及 ，得 ， ，=2 an=n bn=n2n则 ，Tn=121+222+323+n2n(*) 12Tn=122+223+n-12n+ n2n+1(*)(*)-(*):12Tn=121+122+123+12n- n2n+1=12(1-12n)1-12- n2n+1=1-12n- n2n+1 Tn=2-12n-1-n2n=2n+1-n-22n18.在某公司的职工食堂中，食堂每天以 3 元/个的价格从面包店购进面包，然后以 5 元/个的价格出售.如果当天卖不完，剩下的面包以 1 元/个的价格卖给饲料加工
14、厂.根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如图所示.食堂某天购进了 90 个面包，以 (个)(其中 )表示面包的需求量， （元）表示利润.x 60x110 T（1）根据直方图计算需求量的中位数；（2）估计利润 不少于 100 元的概率；T（3）在直方图的需求量分组中，以需求量落入该区间的频率作为需求量在该区间的概率，求 的数学期望.T【答案】(1)85 个;(2) ;(3)142.0.7511【解析】试题分析：（1）需求量的中位数 (个）80+902 =85（2）由题意可得 .T=4X-180(60X90)180(90b0) F1,F2 O两点，点 是椭圆 上的点，若 ， ，
15、且 的周长为 .M,N P C kPMkPN=14 F1NF1M=0 F1MN 4+23（1）求椭圆 的方程；C（2） 设椭圆在点 处的切线记为直线，点 在上的射影分别为 ，过 作的垂线P F1,F2,O A,B,D P交 轴于点 ，试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.x Q|F1A|OD|F2B|PQ|【答案】(1) ;(2)1.x24+y2=1【解析】试题分析; （1）设 ，则 ， ，设 ， M(m,n) N(-m,-n)m2a2+n2b2=1 P(x0,y0)，以及 ， ，由 ,由椭圆kAP=y-nx-m,kBP=y+nx+m kAMkBM=-14 a2=4b2(1)
16、 F1NF1M=0的定义可得 ，结合 ，综合 可得：2a+2c=4+23(2) a2=b2+c2(3) (1)(2)(3)，可得椭圆 的方程；a2=4,b2=1 C（2）由（1）知 ，直线的方程为： ，由此可得F1(- 3,0),F2( 3,0)x0x4+y0y=1.，又 ， 的方程为 ，可得|F1A|F2B|=1 PQl PQ y-y0=4y0x0(x-x0) Q(3x04,0)14则可得 ，又 ， .，故 .|PQ|=x02+16y024 |OD|= 41x02+16y02 |PQ|OD|=1 |F1A|OD|F2B|PQ| =1当直线平行于 轴时，易知 ，结论显然成立.x |F1A|=|
17、PQ|=|OD|=|F2B|=1综上，可知 为定值 1.|F1A|OD|F2B|PQ|试题解析：（1）设 ，则 ， ，设 ，由M(m,n) N(-m,-n)m2a2+n2b2=1 P(x0,y0)，kAP=y-nx-m,kBP=y+nx+m，将 代入 ，整体消元得：kPMkPN=y0-nx0-my0+nx0+m=y02-n2x02-m2(*) y02=b2-b2a2x02,n2=b2-b2a2m2 (*)，kAMkBM=-b2a2=-14 a2=4b2(1)由 ,且 ， ，F1NF1M=0 OM=ON OF1=12MN=c由椭圆的对称性知 ，OF1NOF2M有 ，则F1N=F2M F1N+F1
18、M+MN=F1N+F2M+2c=2a+2c=4+23(2) ，综合 可得：a2=b2+c2(3) (1)(2)(3) a2=4,b2=1椭圆 的方程为： . Cx24+y2=1（2）由（1）知 ，直线的方程为：F1(- 3,0),F2( 3,0)x0x4+y0y=1即： ，所以x0x+4y0y-4=0|F1A|=|- 3x0-4|x02+16y02= | 3x0+4|x02+16y02|F2B|=|- 3x0+4|x02+16y02= | 3x0-4|x02+16y02 .|F1A|F2B|= | 3x0+4|x02+16y02 | 3x0-4|x02+16y02=16-3x0216-3x02
19、=1 ， 的方程为 ，令 ，可得 ，PQl PQ y-y0=4y0x0(x-x0) y=0 x=3x04 Q(3x04,0)则|PQ|= (x0-3x04)2+y02= x0216+y02=x02+16y024又点 到直线的距离为 ， .O|OD|= 41x02+16y02 |PQ|OD|=x02+16y024 4x02+16y02=1 .|F1A|OD|F2B|PQ| =1当直线平行于 轴时，易知 ，结论显然成立.x |F1A|=|PQ|=|OD|=|F2B|=115综上， .|F1A|OD|F2B|PQ| =1【点睛】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，直线与圆的位置关
20、系，是解析几何的综合应用，难度较大21.已知函数 .f(x)=xklnx(k3)（1）当 时，证明: 有两个零点；k=3 f(x)（2）已知正数 满足 ，若 ,使得 ，试比较 与,() (1)(1)0 x0Rf()f=f(x0) +的大小.2x0【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】试题分析; （1）据题知 定义域为 ，求导得： ，由此可得函数的单调性，f(x) x0 f(x)=x-3x进而可得 ，发现 ； ，由零点存在定理可知 在 和fmin(x)=3-3ln30 f(e2)0 f(x) (1,3)各有 1 个零点.即 有两个零点.(3,e) f(x)（2）由 ，而f(x0)=f(
21、)-f()- =1+k(ln-ln)- f(+2)=1- 2k+作差 f(x0)-f(+2)= k-ln+2(-)+令 ，构造函数 ，讨论其单调性可知 .t= h(t)=lnt+2(1-t)1+t(t1) h(t)h(1)=0故 ，又根据 在 上是增函数， ，即 .f(x0)-f(+2)0) f(x)=1-3x=x-3x令 ，有 ；令 ，得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调f(x)0 x3 f(x)0 x=e2 f(e2)=e2-60故 在 和 各有 1 个零点. 有两个零点.f(x) (1,3) (3,e) f(x)（2）由 ，而f(x0)=f()-f()- =1+k(ln-ln)- f(
22、+2)=1- 2k+ f(x0)-f(+2)=k(ln-ln)- +2k+= k-ln+2(-)+16令 ，t= h(t)=lnt+2(1-t)1+t(t1)则 ，h(t)=1t+2-(t+1)-(1-t)(1+t)2 =(t-1)2t(1+t)0函数 在 上单调递增，故 .h(t) (1,+) h(t)h(1)=0 ，f(x0)-f(+2)= k-ln+2(-)+0 00 y=f(x)-g(x)即可.试题解析：（1）若 ，原不等式可化为 ，解得 ，即x-12 -2x-1-3x+25 x-45 -45x-12若 ，原不等式可化为 ，解得 ，即 ；-120所以 对任意 成立. a2|x-1|+|x+3| xR设 ，则 .则 在 是减函数，在 上是增函数， 所以，当时 ， 取得最小值 4，故 时，函数 的图象恒在函数 的上方，即实数的取值范围是 .点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向18
