1、1广西壮族自治区田阳高中 2018-2019 学年高二 12 月月考数学（理）试题一、选择题：（共 12 题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.抛物线 的准线方程是A. B. C. D. 【答案】A【解析】抛物线方程即为 ，故准线方程为 选 A2.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A. 100,10 B. 200,10 C. 100,20 D. 200,20【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样
2、的定义建立比例关系即可得到结论【详解】由图 1 得样本容量为（3500+2000+4500）2%100002%200，抽取的高中生人数为 20002%40 人，则近视人数为 400.520 人，故选：D【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键23.将数 30012 转化为十进制数为（ ）A. 524 B. 774 C. 256 D. 260【答案】B【解析】试题分析： 故选 B30012（4）=2+14+344=2+4+768=774考点：排序问题与算法的多样性.4.一组数据的平均数是 4.8，方差是 3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上 60，得到一组新数
3、据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ）A. 55.2，3.6 B. 55.2，56.4 C. 64.8，63.6 D. 64.8，3.6【答案】D【解析】【分析】首先写出原来数据的平均数的公式和方差的公式，把数据都加上 以后，再表示出新数据60的平均数和方差的公式，两部分进行比较，即可得到结果.【详解】设这组数据分别为 ，x1,x2,xn由其平均数为 ，方差是 ，则有 ，4.8 3.6 x1=1n(x1+x2+xn)=4.8方差 ，S21=1n(x1x)2+(x2x)2+(xnx)2=3.6若将这组数据中每一个数据都加上 ，则数据为 ，60 x1+60,x2+60,xn+60则其平均数为
4、，x1=1n(x1+60)+(x2+60)+(xn+60)=4.8+60=64.8方差为 ，S22=1n(x1+6064.8)2+(x2+6064.8)2+(xn+6064.8)2=3.6故选 D.【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差公式的计算与应用，其中熟记数据的平均数和方差的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.5.下列结论错误的是 ( )A. 命题“若 p，则 q”与命题“若非 q，则非 p”互为逆否命题B. 对于一个命题的四种命题可能一个真命题也没有C. 命题“直棱柱的每个侧面都是矩形”为真3D. “若 am250 z=55考点：1.程序框图的应用.【此处有视频，请
5、去附件查看】8.双曲线 过点（ ，4） ，则它的渐近线方程为（ ）y2ax2=1 35A. B. C. D. y=2x y=12x y=4x y=14x【答案】A【解析】【分析】利用已知条件求出 a，然后求解双曲线的渐近线方程即可【详解】双曲线 过点（ ，4） ，y2a-x2=1 3可得 ，可得 a4，16a-3=1则该双曲线的渐近线方程为： y=2x故选： A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力9.如图，长方体 中， ， ， 分别是 的ABCDA1B1C1D1 AA1=AB=2 AD=1 E,F,G DD1,AB,CC1中点，则异面直线 与 所成角为（ ）A1E GFA. 3
6、0 B. 45 C. 60 D. 90【答案】D【解析】如图：连接 B1G，EGE，G 分别是 DD1，CC 1的中点，A 1B1EG，A 1B1=EG，四边形 A1B1GE 为平行四边形，A 1EB 1G，B 1GF 即为异面直线 A1E 与 GF 所成的角6在三角形 B1GF 中，B 1G= B1C12+CG2= 2+1= 3,B1F= B1B2+BF2= 4+1= 5B 1G2+FG2=B1F2B 1GF=90异面直线 A1E 与 GF 所成角为 90，故选 D10.两人约定在 2000 到 2100 之间相见，并且先到者必须等迟到者 40 分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在 2
7、000 至 2100 各时刻相见的可能性是相等的，则他们两人在约定时间内相见的概率为（ ） A. B. C. D. 89 23 49 19【答案】A【解析】【分析】由题意设事件 A 为“甲乙两人能会面” ，求出试验包含的所有事件，并且事件对应的集合表示的面积是 s1，再求出满足条件的事件，并且得到事件对应的集合表示的面积是 ，进89而根据几何概率模型的计算公式可得答案【详解】由题意知本题是一个几何概型，设事件 A 为“甲乙两人能会面” ，试验包含的所有事件是 （ x， y）| ，并且事件对应的集合表20x21，20y21示的面积是 s1，满足条件的事件是 A（ x， y）| ，| x y| 2
8、0x21，20y21 4060=23所以事件对应的集合表示的面积是 12 ，121313=89根据几何概型概率公式得到 P =89则两人在约定时间内能相见的概率是 89故选： B【点睛】本题考查了几何概型的定义与概率计算公式，而几何概率模型一般通过事件的长度、面积或者体积之比来求事件发生的概率，本题属于中档题，711.直线过椭圆： 的左焦点 和上顶点 ，与圆心在原点的圆交于 两点，x2a2+y2b2=1(ab0) F A P,Q若 ，则椭圆离心率为（ ）PF=3FQ,POQ=120A. B. C. D. 12 33 73 217【答案】D【解析】【分析】根据圆的性质结合 求出直线 的斜率，再根
9、据 的坐标得出直线PF=3FQ,POQ=120 PQ A,F的斜率，从而得出 的关系，进而求出椭圆的离心率.PQ b,c【详解】椭圆的焦点在 轴上， , x ab0，F(c,0),A(0,b)故直线 的方程为 ，即 ，FAxc+yb=1 bxcy+bc=0直线 （即 ）的斜率为 ， FA PQbc过 作的垂线 ，则 为 的中点，O OM MPQ，POQ=120,OPM=30，OMPM=tan30=33是 的中点，PF=3FQ,F MQ直线 的斜率 ， PQ k=tanMFO=OMMF=2OMPM=233，不妨令 ，bc=233 b=23t,c=3t则 ，a= b2+c2= 21t椭圆的离心率
10、，故选 D. e=ca=217【点睛】本题主要考查直线的斜率、圆的性质以及椭圆的离心率，属于难题.离心率的8求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出 ，从而求出;构造 的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的a,c a,c定义来求解.12.双曲线 与抛物线 相交于 两点,公共弦 恰好过C:x2a2y2b2=1(a 0,b 0) y2=2px(p 0)它们的公共焦点 ,则双曲线 的离心率为（ ）A. B. C. D. 2 1+ 2 22 2+ 2【答案】B【解析】试题分析：由抛物线和双曲线的对称性可知 垂直与 轴因为 过焦点 ,则可令AB x AB F
11、(p2,0)A(p2,p)因为抛物线和双曲线共焦点,则 ,所以 ,c=p2 A(c,2c)将 代入双曲线方程可得 ,则 ,x=c |y|=b2a 2c=b2a将 代入上式并整理可得 ,即 ,解得 ,b2=c2a2 c22aca2=0 e22e1=0 e=1 2因为 ,所以 故 B 正确e1 e=1+ 2考点：1 抛物线的定义;2 双曲线的离心率二填空题：（每小题 5 分，共 20 分）13.若向量=（4, 2，-4）, =（6, -3，2）,则 _b (2ab)(a+2b)=【答案】4【解析】【分析】由坐标运算可得 2 和 2 的坐标，进而可得其数量积 a-b a+ b【详解】 （4，2，4）
12、 ， （6，3，2） ， a= b=由向量的坐标运算可得 2 2（4，2，4）-（6，3，2）（2，7，10） ， a-b=2 （4，2，4）+2（6，3，2）（16，-4，0） a+ b= 62470 （10）4(2a-b)(a+2b)=19【点睛】本题考查空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题14.命题 p: ， ,若“非 p”为真命题，m 的取值范围为_x0R x20+mx0+20【答案】 (22,22)【解析】【分析】由题意知， x2+mx+2 0 恒成立，即 ，即可得到结果. ，0 x22(a1)x+a(a2)0取值范围【答案】 a32,2【解析】11【分析】根据一元二次不等式的解法
13、分别求出命题 p 和 q，由 p 是 q 的充分不必要条件，可知pq，从而求出 a 的范围.【详解】解 得 ，2x2-3x-20 x(-,-12)(2,+)解 得： ，x2-2(a-1)x+a(a-2)0 x(-,a-2a,+)若 p 是 q 的充分不必要条件，则 ，(-,-12)(2,+)(-,a-2a,+) ，解得：-12a-22a a32,2【点睛】本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式组的解法，是一道基础题；18.对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的
14、统计表和频率分布直方图如下：分组 频数 频率10，15） 10 0.2515，20） 25 n20，25） m p25，30） 2 0.05合计 M 112（1）求出表中 M， p 及图中 a 的值；（2）若该校高一学生有 360 人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间15，20）内的人数；（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人，请列举出所有基本事件，并求至多 1 人参加社区服务次数在区间20，25）内的概率【答案】 （1）0.125；（2）5；（3）710【解析】【分析】（1）由频率= ，能求出表中 M、p 及图中 a 的值 （2）由频数与频率的
15、统计表和频率分频 数总 数布直方图能求出参加社区服务的平均次数 （3）在样本中，处于20，25）内的人数为 3，可分别记为 A，B，C，处于25，30内的人数为 2，可分别记为 a，b，由此利用列举法能求出至少 1 人参加社区服务次数在区间20，25）内的概率【详解】 （1）由分组10，15）内的频数是 10，频率是 0.25 知， ，所以 M=40因为频数之和为 40，所以 因为 a 是对应分组15，20）的频率与组距的商，所以 （2）因为该校高三学生有 360 人，分组15，20）内的频率是 0.625，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 3600.625=225 人
16、 （3）这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 3+2=5 人设在区间20，25）内的人为a 1，a 2，a 3，在区间25，30）内的人为b 1，b 2则任选 2 人共有（a 1，a 2） ， （a 1，a 3） ， （a 1，b 1） ， （a 1，b 2） ， （a 2，a 3） ， （a 2，b 1） ， （a 2，b 2） ，（a 3，b 1） ， （a 3，b 2） ， （b 1，b 2）10 种情况， （9 分）而两人都在20，25）内共有（a 1，a 2） ， （a 1，a 3） ， （a 2，a 3）3 种情况，至多一人参加社区服务次数在区间20，25）内的概率
17、为 【点睛】本题考查频率分布表和频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用19.已知直线 与双曲线 l:y=kx+1 C:3x2y2=1（1）当 时，直线与双曲线 的一渐近线交于点 ，求点 到另一渐近线的距离；k= 3 C P P13（2）若直线与双曲线 交于 两点，若 ，求 的值C A,B |AB|=43 k【答案】 （1） ； （2） 或 .12 k= 2 k=66313【解析】【分析】（1）写出双曲线 渐近线方程，渐近线方程与直线方程联立可求得 ，利C:3x2y2=1 P(-36,12)用点到直线距离公式即可得结果；（2）直接联立直线与双曲线方
18、程，化为关于 的一元二x次方程，利用根与系数关系求得两交点 的横坐标的和与积，由弦长公式列方程求解即A,B可.【详解】 （1）双曲线 渐近线方程为C:3x2-y2=1 y= 3x由 得y= 3x+1y=- 3x P(- 36,12)则 到 的距离为 ；P y= 3x d=12- 3(-36)1+3 =12（2）联立方程组 ，消去 得y=kx+13x2-y2=1 y (3-k2)x2-2kx-2=0直线与双曲线有两个交点，解得 且 ， 3-k20=4k2+8(3-k2)0 k2b0)F1，F 2，离心率为 ，|F 1F2|= ，O 为坐标原点32 23（1）求椭圆 C 的方程；（2）设过点 P（
19、4，m）的直线 PA1，PA 2与椭圆分别交于点 M，N，其中 m0，求 的OMN面积 S 的最大值【答案】 （1） ； （2） .x24+y2=1 32【解析】【分析】（1）由离心率为 ，| F1F2|2 ，列式计算 a， b，即可得椭圆 C 的方程.32 3（2）将直线 PA1， PA1的方程： y ， y 分别与椭圆方程联立，得到 M、N 的=m6(x+2) =m2(x-2)坐标，可得直线 MN 过定点（1，0） ，故设 MN 的方程为： x ty+1，由 结合韦x=ty+1x2+4y2=4 17达定理，可得 OMN 的面积 S 2 ，再利用函数单调性即可求出面积最大值=t2+3t2+4
20、【详解】 （1）离心率为 ， ，32 |F1F2|=23 ， ， ，则 b=1ca=322c=23 a=2 c= 3椭圆 C 的方程的方程为：x24+y2=1（2）由（1）得 A1（-2，0） ，A 2（2，0） ，直线 PA1，PA 1的方程分别为： ，y=m6(x+2) y=m2(x-2)由 ，得y=m6(x+2)x24+y2=1 (9+m2)x2+4m2x+4m2-36=0 ，可得 ，-2+xM=-4m29+m2 xM=18-2m29+m2 yM=m6(xM+2)= 6m9+m2由 ，可得y=m2(x-2)x24+y2=1 (1+m2)x2-4mx+4m2-4=0 ，可得 ，2+xN=4
21、m21+m2 xN=2m2-21+m2 yN=m2(xN-2)=-2m1+m2，kMN=yM-yNxM-xN= 2m3-m2直线 MN 的方程为： ，y-2m1+m2= 2m3-m2(x-2m2-21+m2)y=2m3-m2(x-2m2-21+m2)- 2m1+m2= 2m3-m2(x-2m2-21+m2-3-m21+m2) = 2m3-m2(x-1)可得直线 MN 过定点（1，0） ，故设 MN 的方程为： x=ty+1由 得x=ty+1x24+y2=1 (t2+4)y2+2ty-3=0设 ， ，则 ，M(x1,y1) N(x2,y2) y1+y2=-2tt2+4 y1y2= -3t2+4 ，|y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2=4t2+3t2+4 的面积令 ，则18 ，且函数 在 递增，当 ，S 取得最大值 .【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，方程思想，转化思想，考查了运算能力，属于难题.
