1、1河北衡水金卷 20182019 年度高三第三次联合质量测评数学（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数 z 满足 ，则复数 z 在复平面内对应的点所在象限为A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】复数满足 ， ，则复数在复平面内对应的点 在第四象限，故选 D.2.已知全集 ，集合 为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简集合 A、B，利用补集与交集运算即可得到结果.【详解】因为 ，所以 或.x4,B=x|x23x4 2B. x,1),sinx+cosx 2
2、C. x1,+),sinx+cosx 2D. x(,1),sinx+cosx 2【答案】C【解析】2【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到结果.【详解】根据 的构成方法得， 为 .故选 C.p p x1,+),sinx+cosx 2【点睛】全称命题的一般形式是： ， ，其否定为 .存在性命题的一般xMp(x) xM,p(x)形式是 ， ，其否定为 .xMp(x) xM,p(x)4.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升” 其大意为“官府陆续派遣 1984 人前
3、往修筑堤坝，第一天派出 64 人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多 8 人，修筑堤坝的每人每天分发大米 3 升” ，在该问题中的 1984 人全部派遣到位需要的天数为A. 14 B. 16 C. 18 D. 20【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式及前 n 项和公式即可得到结果.【详解】根据题意设每天派出的人数组成数列 ，分析可得数列是首项 .公差为 8an a1=64的等差数列，设 1984 人全部派遣到位需要 n 天，则 .解na1+n(n1)2 8=64n+4n(n1)=1984得 n=16.故选 B.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式的应用，考查推理能
4、力与计算能力，属于基础题.5.如图所示，分别以正方形 ABCD 两邻边 AB、AD 为直径向正方形内做两个半圆，交于点O若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为A. B. 328 83C. D. +28 68【答案】C【解析】【分析】计算正方形与阴影的面积，根据面积概型公式得到答案.【详解】法一：设正方形的边长为 2.则这两个半圆的并集所在区域的面积为，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区城内的概率为 .故122(412)=2+1 2+14=+28选 C.法二：设正方形的边长为 2.过 O 作 OF 垂直于 AB， OE 垂直于 AD.则这两
5、个半圆的并集所在区域的面积为 ，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区域的概率为12+21412=1+2，故选 C.2+14=+28【点睛】解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.6.已知定义在 R 上的函数 满足：(1) ；(2) 为奇函数；(3)当f(x) f(x+2)=f(x) f
6、(x2)时， 图象连续且 恒成立，则 的大小关系正确的为x(1,1) f(x) f(x)0 f(152),f(4),f(112)A. B. f(112)f(4)f(152) f(4)f(112)f(152)C. D. f(152)f(4)f(112) f(152)f(112)f(4)【答案】C【解析】【分析】先明确函数 的周期性、奇偶性与单调性，把问题转化为在 上利用单调性比较大小f(x) (-1,1)的问题.【详解】因为 ，所以函数 是周期为 2 的周期函数.又由 为奇函数，所f(x+2)=f(x) f(x) f(x-2)以有 ，所以函数 为奇函数，又由当 时， 图f(-x+2)=-f(x-
7、2)f(-x)=-f(x) f(x) x(-1,1) f(x)4象连续，且 恒成立，得函数 在区间（-1，1）内单调递增，而f(x)0 f(x).所以 .故选 C.f(112)=f(6-12)=f(-12),f(-152)=f(12-8)=f(12),f(4)=f(0) f(-152)f(4)f(112)【点睛】本题综合考查了函数的图象与性质，涉及到周期性、单调性、对称性，利用单调性比较大小，解题关键如何把自变量转化到同一个单调区间上，属于中档题.7.一正方体被两平面截去部分后剩下几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. B. 8+43 12+43C. D. 8+83 18+83【答案
8、】B【解析】【分析】作出几何体的直观图，观察截去几何体的结构特征，代入数据计算【详解】由题中条件及三视图可知该几何体是由棱长为 2 的正方体被平面截去了两个三棱锥后剩下的几何体 ，如图所示，ABCDD1B1该几何体的表面三角形有 ， ， ， ， ， ，由对称性只ABB1 AB1D1 ADD1 CDD1 CB1D1 CBB1需计算 ， 的大小，因为 ， .所以该ABB1 AB1D1SABB1=1222=2 SAB1D1=34(22)2=23几何体的表面积为 .故选 B.(2+2+23)2+4=12+43【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体的直观图；2
9、、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，5然后再根据三视图进行调整.8.如图所示，边长为 2 的正方形 ABCD 中，E 为 BC 边中点，点 P 在对角线 BD 上运动，过点P 作 AE 的垂线，垂足为 F，当 最小时，AEEP FC=A. B. C. D. 23AB+34AD 34AB+23AD 45AB+35AD 35AB+45AD【答案】D【解析】【分析】由图易知向量 所成角为钝角,结合题意可知当 最小时，即为向量 在向量 方AE,EP AEEP EP AE向上的投影最小，确定点 P 的位置，从而得到结果.【详解】依题 ，由图易知向量 所成角为钝角，所以AEE
10、P=|AE|EP|cosAE,EP AE,EP，所以当 最小时，即为向量 在向量 方向上的投影最小，数形结合cosAE,EP0,t0) x,y别交于 M，N 点，过点 N 作圆 O 的切线交椭圆于 P，Q 两点，且 ，设椭圆的离心率PMMQ为 e，则 的值为e2A. B. C. D. 222 22 21 322【答案】A【解析】【分析】由两个焦点之间的距离为 2 可知 t=1，利用直角三角形斜边中心等于斜边的一半可得 Q 点的横坐标，从而建立了关于 a 的方程，即可得到 e 的方程 .8【详解】因为 两个焦点之间的距离为 2，所以 ，所以x2a2+t+y2a=1(a0,t0) 2(a+t)a=
11、2t=1，由 得 ，由已知得， ，所以 ，所以y=1x2a+1+y2a=1 x20=a21a OM2+ON2=x20 2=a21a，故选 A.e2=( 1a+1)2= 12+2=222【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a， c，代入公式 ；e=ca只需要根据一个条件得到关于 a， b， c 的齐次式，结合 b2 a2 c2转化为 a， c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)12.已知函数 ，两个等式：f(x)=Acos(x+)(
12、A0,0,|2)对任意的实数 均恒成立，且 上单调，则f(4+x)f(4x)=0,f(4x)+f(4+x)=0 x f(x)在 (0， 316)的最大值为A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】由函数 的图象关于直线 和点 对称可得： ，即f(x) x=4 (4,0) 4(4)=T4+kT2(kN)，结合选项检验 与 即可.=2k+1(kN) =3 =1【详解】因为两个等式： 对任意的实数 x 均恒成立，所f(4+x)f(xx)=0,f(4x)+f(4+x)=0以 的图象关于直线 和点 对称，所以 ，因为 ，所以f(x) x=4 (4,0) 4(4)=T4+kT2(kN
13、) T=2.因为 在 上单调，所以 ，所以 ，由选项知，只需=2k+1(kN) f(x) (0,316) 3160=316T2= 163要验证 .=31.当 时， ，因为 对任意的实数 x 均恒成立，所以=3 f(x)=Acos(3x+) f(4x)=f(4+x)，因为 ，所以 ，所以 ，可以验证 在34+=k+2(kZ) |2 =4 f(x)=Acos(3x4) f(x)上不单调，(0,316)92.当 时， ，因为 对任意的实数 x 均恒成立，所以=1 f(x)=Acos(x+) f(4x)=f(4+x)，因为 所以 所以 ，可以验证 在 上单4+=k+2(kZ) |2 =4 f(x)=A
14、cos(x+4) f(x) (0,316)调，所以 w=1.故选 A.【点睛】解决函数 综合性问题的注意点 f(x)=Asin(x+)（1）结合条件确定参数 的值，进而得到函数的解析式A,（2）解题时要将 看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质x+求解（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。13.若实数 满足约束条件 的最小值为_x,y2x+y+20,xy+10,2x+y+20,则 z=3x2y【答案】 3【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目
15、标函数得答案【详解】作出如图所示的可行域，则直线 经过点 A（-1，0）时取得最小值为-3.z=3x2y故答案为： -3【点睛】求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数10求出最值.14.二项式 的展开式中，设“所有二项式系数和”为 A， “所有项的系数(ax+bx)n(a0,b0)和”为 B， “常数项”值为 C，若 ，则含 的项为_A=B=256,C=70 x6【答案】 8x6【解析】【分析】由二
16、项式定理可知二项式系数和 ，所有项的系数和 ，结合常数项为 702n=256 (a+b)8=256可得 ，进而得到含 的项.a=b=1 x6【详解】依题得 ，所以 n=8，在 的展开式中令 x=1，则有 ，所2n=256 (ax+bx)n (a+b)8=256以 a+b=2，又因为 展开式的通项公式为 ，令(ax+bx)n Tr+1=Cr8(ax)8r(bx)r=Cr8(a)8rbrx82r.所以得到 （舍） ，当 时，由 得 .82r=0r=4 C48a4b4=70ab=1,ab=1 ab=1 a+b=2 a=b=1所以令 ，所以 ，故填 .82r=6r=1 T2=C18x6=8x6 8x6
17、【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 r1 项，再由特定项的特点求出 r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 r1 项，由特定项得出 r 值，最后求出其参数.15.已知圆 为圆外任意一点过点 P 作圆 C 的一条切线，C:(x2)2+(y3)2=2， 点 M(2， 1)， P切点为 N，设点 P 满足 时的轨迹为 E，若点 A 在圆 C 上运动，B 在轨迹 E 上运动，|PM|=|PN|则 的最小值为_|AB|【答案】115102【解析】【分析】由 得到动点 P 的轨迹为 ，从而问题转化为直线
18、与圆的位置关系问题.|PM|=|PN| 4x+2y3=0【详解】设点 ，所以 .P(x,y),M(2,1) |PC|= (x2)2+(y3)2.由 得|PN|= ( (x2)2+(y3)2)22 = (x2)2+(y3)22 |PM|=|PN|11.化简得 ，所以点 B 在直线 E 上运动，点 A(x+2)2+(y1)2= (x2)2+(y3)22 4x+2y3=0在圆 C 上运动，所以圆心 C 到直线 E 的距离为 ，所以 的最小值为 ，d=|8+63|16+4=11510 |AB| 11510- 2故答案为：11510- 2【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，轨迹方程的求法，解题关键明确
19、动点 P 的轨迹方程，利用点到直线距离公式即可解决问题.16.定义在 R 上的函数 满足 ，又当 时， 成立，若f(x) f(x)+f(x)=cosx x0 f(x)12，则实数 t 的取值范围为_f(t)f(2t)+22cos(t+4)【答案】 4,+)【解析】【分析】由 构建新函数 ，借助其单调性解抽象不等式即可.f(-x)+f(x)=cosx f1(x)=f(x)12cosx【详解】由 ，令 ，则f(x)+f(x)=cosx f1(x)=f(x)12cosx，所以 为奇函数.因为当f1(x)+f1(x)=f(x)12cosx(x)+f(x)12cosx=f(x)+f(x)cosx=0 f
20、1(x)时， 成立，所以当 时， 成立，所以 在 上单调x0 f(x)12 x0 f1(x)=f(x)+12sinx0 f1(x) (,0递增，所以 在 R 上单调递增.因为 ，f1(x) f(t)f(2t)+22cos(t+4)即为 ，f(t)12costf(2t)12cos(2t)所以 ，所以 ，所以 .f1(t)f1(2t) t2t t4故答案为： 4,+)【点睛】本题考查了利用导数研究函数的性质，解题关键结合条件合理构造新函数，借助新函数的单调性解抽象不等式，属于难题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23
21、题为选考题，考生根据要求作答。17.在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 .a,b,c且 a=362,A=60,C=45(1)求 c 的值；12(2)以 AB 为一边向外(与点 C 不在 AB 同侧)作一新的ABP，使得 ，求 面积APB=30 ABP的最大值【答案】 （1）3；（2）94(2+ 3)【解析】【分析】(1)利用正弦定理即可得到 c 的值；(2) 在 ABP 中，由余弦定理得，结合均值不等式可得 ，从而可得 面积9=|PA|2+|PB|2- 3|PA|PB| |PA|PB|9(2+ 3) ABP的最大值【详解】 （1）在 ABC 中，由正弦定理得asinA= csinC将
22、代人上式得a=362,A=60,C=45 362sin60= csin45c=3所以 c 的值为 3. （2）在 ABP 中，由余弦定理得 ，|AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA|PB|cos30所以 ， ）9=|PA|2+|PB|2- 3|PA|PB|由不等式的性质可知 .9=|PA|2+|PB|2- 3|PA|PB|(2- 3)|PA|PB|所以 ，|PA|PB|92-3=9(2+ 3)当且仅当 时取等号. |PA|=|PB|此时 SPAB=12|PA|PB|sin30.=14|PA|PB|94(2+ 3)所以 ABP 面积的最大值为号 。94(2+ 3)【点睛】解三角形的基本策略
23、一是利用正弦定理实现“边化角” ，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18.随着经济的发展，个人收入的提高自 2018 年 10 月 1 日起，个人所得税起征点和税率的调整调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除 5000 元后的余额为应纳税所得额依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：13(1)假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于 8000 元，记 表示总收入，y 表x示应纳的税，试写出调整前后 y 关于
24、的函数表达式；x(2)某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月 100 个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：先从收入在3000，5000)及5000，7000)的人群中按分层抽样抽取 7 人，再从中选 4 人作为新纳税法知识宣讲员，用 a 表示抽到作为宣讲员的收入在3000，5000)元的人数，b表示抽到作为宣讲员的收入在5000，7000)元的人数，随机变量 ，求 Z 的分布列与Z=|ab|数学期望；小李该月的工资、薪金等税前收入为 7500 元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1) 依照个
25、人所得税税率表，调整前后的计算方法表示调整前后 y 关于 的函数表达式；x(2) 由频数分布表可知 Z 的取值可能为 0，2，4，求出相应的概率值得到分布列与期望值，由于小李的工资、薪金等收入为 7500 元，按调整前起征点应纳个税为 295 元，按调整后起征点应纳个税为 75 元，从而得到结果.【详解】 （1）调整前 y 关于 x 的表达式为.y= 0,x3500(x-3500)0.03,x(3500,500045+(x-5000)0.1,x(5000,8000 调整后 y 关于 x 的表达式为14,y=0,x5000(x-5000)0.03,x(5000,8000 （2）由频数分布表可知从
26、3000，5000）及5000，7000）的人群中抽取 7 人，其中3000，5000）中占 3 人，5000，7000）的人中占 4 人，再从这 7 人中选 4 人，所以 Z 的取值可能为 0，2，4， （5 分），P(Z=0)=P(a=2,b=2)=C23C24C47=1835,P(Z=2)=P(a=1,b=3)+P(a=3,b=1)=C13C34+C33C14C47 =1635,P(Z=4)P(a=0,b=4)=C03C44C47=135所以其分布列为Z 0 2 4P 1835 1635 135所以 E(Z)=01835+21635+4135=3635由于小李的工资、薪金等收入为 750
27、0 元，按调整前起征点应纳个税为15003%+250010%=295 元； 按调整后起征点应纳个税为 25003%=75 元，比较两个纳税方案可知，按调整后起征点应纳个税少交 220 元，即个人的实际收入增加了 220 元，所以小李的实际收入增加了 220 元。【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率” ，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等） ，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是
28、“写分布列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值” ，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机15变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 XB(n，p)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)np)求得.19.如图所示，底面为菱形的直四棱柱 被过三点 的平面截去一个三A1B1C1D1ABCD C、 B1、 D1棱锥 (图一)得几何体 (图二)，E 为 的中点C1CB1D1 A1B1D1ABCD B1D1(1)点 F 为棱 上的动点，试问平面 与平面 是否垂直
29、?请说明理由；AA1 FB1D1 CEA1(2)设 ，当点 F 为 中点时，求锐二面角 的余弦值AB=2,BAD=60,AA1=4 AA1 FB1D1C【答案】 （1）见解析；（2）5133133【解析】【分析】(1)利用直四棱柱的几何特征可知 ， B1D1平面 CEA1，从而平面A1EB1D1 CEB1D1故平面 CEA1 ；(2) 分别以 所在直线为 轴的正方向，建立空间直角坐标FB1D1 OB,OC,OE x,y,z系，求出平面 与平面 F 的法向量，代入公式即可得到锐二面角 的余弦CB1D1 B1D1 F-B1D1-C值【详解】 （1）平面 平面 ，证明如下：FB1D1 CEA1连接
30、AC， BD 相交于点 O，因为底面 ABCD 为菱形，所以 AC BD，又因为直四棱柱上下底面全等，所以由 AC BD 得 ，A1EB1D1又因为 CB=CD， ，BB1=DD1所以 CB1=CD1.因为 E 为 B1D1的中点，所以 ，CEB1D116又 ，所以 B1D1平面 CEA1，CEA1E=E又因为 平面 ，B1D1 FB1D1所以平面 平面 CEA1.FB1D1（2）连接 OE，易知 OE平面 ABCD，所以 OB， OC， OE 两两互相垂直，所以分别以 所在直线为 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，OB,OC,OE x,y,z则 O（0，0，0） ， .（7 分）C(
31、0, 3,0),B1=(1,0,4),D1=(-1,0,4),F(0,- 3,2)设平面 的法向量为 ，则CB1D1 n1=(x1,y1,z1)，n1CB1=0,n1D1B1=0, (x1,y1,z1)(1,- 3,4)=0,(x1,y1,z1)(2,0,0)=0, 3y1=4z1x1=0 令 y1=4z1= 3,x1=0所以 .n1=(0,4, 3)同理设平面 F 的法向量为 ，则B1D1 n2=(x2,y2,z2)，n2FB1=0,n2D1B1=0, (x2,y2,z2)(1, 3,2)=0,(x2,y2,z2)(2,0,0)=0, 3y2=-2z2,x2=0, 令 .y2=2z2=- 3
32、,x2=0所以 ， n2=(0,2,- 3)所以|cosn1,n2|=|n1n2|n1|n2|,=|(0,4,3)(0,2,-3)|16+34+3 =513313317所以所求的锐二面角 的余弦值为F-B1D1-C5133133【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20.设抛物线 的焦点为 F，已知直线 与抛物线 C 交于 A，B 两点C： y2=4m
33、x(m0) xym=0(A，B 两点分别在 轴的上、下方)x(1)求证： ；AFBF=2+121(2)已知弦长 ，试求：过 A，B 两点，且与直线 相切的圆 D 的方程|AB|=8 x+y+3=0【答案】 （1）见解析；（2） 或(x-3-22)2+(y-2+22)2=32(x-3+22)2+(y-2-22)2=32【解析】【分析】(1) 由 与 得 ，解得 ，又y2=4mx x-y-m=0 y2-4my-4m2=0 y1=(2+22)m,y2=(2-22)m，从而得到结果；(2) 由弦长 及抛物线定义可得 m=1.圆心 D 在线段 AB 的中AFBF=y1-y2 |AB|=8垂线上，求出中垂
34、线方程，设出所求圆的圆心坐标为 ，借助点到线的距离公式可(x0,5-x0)得圆 D 的方程【详解】 （1）由 与 消去 x，得 ， y2=4mx x-y-m=0 y2-4my-4m2=0设 ，A(x1,y1),B(x2,y2)则 为方程 的两个不同的根，y1,y2 y2-4my-4m2=0所以 ，y1=(2+22)m,y2=(2-22)m因为 A， F， B 三点共线，所以AFBF=y1-y2=2+2222-2=2+12-1（2）因为 AB=8，所以 .(x1+m)+(x2+m)=8所以 ，(x1+x2)+2m=(y1+y2)+4m=4m+4m=818所以 m=1. 线段 AB 的中点坐标为（
35、3 m，2 m） ，即（3，2） ，所以线段 AB 的中垂线方程为 ， x+y-5=0因为所求的圆过 A， B 点，所以圆心 D 在直线 上，x+y-5=0设所求圆的圆心坐标为 ，(x0,5-x0)不难算得两条平行线 与x+y-5=0 x+y+3=0之间的距离 ，d=|-5-3|2 =42即 D 到直线 的距离 ，x+y+3=0 d=42由 D 到直线 的距离得 .x-y-1=0 |x0-(5-x0)-1|2 2=2(x0-3)2设圆 D 的半径为 R，则 ，R2=(AB2)2+2(x0-3)2=16+2(x0-3)2因为过点 A 与点 B 的圆与直线 相切，所以 ，x+y+3=0 d2=R2
36、所以 ， (42)2=16+2(x0-3)2解得 ，或 ，x0=3+22,y0=2-22 x0=3-22,y0=2+22所以所求圆的方程为 或 .(x-3-22)2+(y-2+22)2=32(x-3+22)2+(y-2-22)2=32【点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化21.已知函数 f(x)=ax2+1(1)若 ，证
37、明：当 ；a=1,g(x)=xf(x)xex x5时 ， g(x)0,h(x) a0的单调性，明确图象与 x 轴的交点情况即可.h(x)【详解】 （1）当 a=1 时. .g(x)=xf(x)-xex =x3ex.g(x)=3x2-x3ex =x2(3-x)ex因为 ，所以 ，x5 g(x)0,h(x)（ii）当 时， ，a0 h(x)=ax(x-2)ex当 时， ；当 时， .x(0,2) h(x)0所以 在 上单调递减，在 上单调递增.h(x) (0,2) (2,+)故 是 在 上的最小值h(2)=1-4ae2 h(x) 0,+)若 ，即 时， 在 上没有零点； h(2)0 ae24 h(
38、0)=1 h(x)由（1）知，当 时， ， x5 exx3因为 ，4ae252所以 .h(4a)=1-16a2e4a1-16a3(4a)31-14=340故 在（2，4 a）上有 1 个零点，因此 在 上有 2 个不同的零点。h(x) h(x) (0,+)综上， 在 上有 2 个不同的零点时， a 的取值范围是 .h(x) (0,+) (e24,+)法二：因为 ，h(x)=1-ax2ex所以 在 上零点的个数即为方程 在 上根的个数。h(x) (0,+)1a=x2ex (0,+)20令 .k=x2ex则 ，k(x)=2x-x2ex =x(2-x)ex令 得 x=2. k(x)=0当 时， ，当
39、 时， ，x(0,2) k(x)0 x(2,+) k(x)x2即当 时，x5 0一时，函数 h（x）在（0，+oo）上有 2 个不同的零点，故 在 上有 2 个不同的零点时， a 的取值范围是h(x) (0,+) (e24,+)【点睛】本题考查利用导数证明不等式与研究函数的零点个数.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理也可构造新函数然后利
40、用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.22.在直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 (t 为参数， )，以坐标原x=1+tcos,y=1+tsin 032 3,1【解析】【分析】(1) 求出函数 f（x）的分段函数的形式，通过讨论 x 的范围求出各个区间上的 x 的范围，取并集即可；(2) 等价于 ，求出-2+f(y)f(x)2+f(y) |f(x)-f(y)|2f(x)max-f(x)min2的最值即可.f(x)【详解】 （1）当 a=1 时， ，f(x)= 3,x-1,1-2x,-12 可得 的解集为f(x)32 （2）当 时，x,yR,-2+f(y)f(x)2+f(y)|f(x)-f(y)|2f(x)max-f(x)min2因为 ， 所以 .所以 ，所以 .所以 a 的取值范围是-3，-1【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝23对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.
