1、12019 届重庆市第一中学高三 10 月月考数学（文）试题数学注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答
2、题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1已知集合 ， ，则=|11 =1,0,12 =A B C D1,0,12 12 1,12 2函数 的最小正周期为()=2+2A B C D4 2 23设 ，则“ ”是“函数 在定义域上为增函数”的 3 =logA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4已知实数 ，则下列不等式中成立的是0,A B(12)2C D +5已知 ，则 的值
3、为=3(2+) (+4)A B C D2 212 126存在实数 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范围是 2+1（1）求边 ；（2）如图，延长 至点 ，使 ，连接 ，点 为线段 中点，求 。 =22 18如图，三棱柱 中，侧面 是菱形，其对角线的交点为 ，且 ，111 11 =1.1（1）求证： 平面 ； 11（2）若 ，且 ，求三棱锥 的体积.1=2 1=1=60 119如图，已知圆 ，抛物线 的顶点为 ，准线的方程为 ，:2+(2)2=4 (0,0) =1为抛物线 上的动点，过点 作圆 的两条切线与 轴交于 .(0,0) ,（）求抛物线 的方程；（）若 ，求 面积 的最小值.04 20已
4、知函数 .()=（1）求函数 的极值；()（2）当 时，求证： .03 （2）证明： 时， 。()+(1)62019 届 重 庆 市 第 一 中 学高 三 10 月 月 考 数 学 （ 文 ） 试 题数 学 答 案参考答案1B【解析】【分析】首先求得结合 A，然后进行交集运算即可.【详解】求解分式不等式 可得： ，则 ，11 01由于“ ”是“ ”的充分不必要条件，3 1故“ ”是“函数 在定义域上为增函数”的充分不必要条件.3 =log本题选择 A 选项.【点睛】本题主要考查对数函数的性质，充分性与必要性的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4A【解析】【分析】由题意分别考查题
5、中的不等式是否成立即可.【详解】指数函数 在 上单调递减，由于 ，故 ，选项 A 中的不等式成立；()=(12) 0 (12)0 20 (,2)(2,+)本题选择 D 选项.【点睛】本题主要考查二次函数恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7C【解析】【分析】由题意利用递推关系裂项求解 的值即可.20【详解】由题意可得： ，1= 1(+1)=1 1+1则： 20=1+(21)+(32)+(2019).=1+(1213)+(1314)+(120121) =6142本题选择 C 选项.【点睛】本题主要考查数列的递推关系，累加法求通项等知识，意在考查学生的转化能
6、力和计算求解能力.8A【解析】由 . 27=8+5,6=5， 11=(1+11)112 =116=55故选：A.9D【解析】【分析】由题意首先确定函数的周期性，然后结合函数的性质求解函数值即可.【详解】我们有如下结论：若函数 是奇函数，且 是偶函数，则函数 是周期函数，它的一个周期 .() (+) () =4证明如下：函数 为奇函数，则 ，() ()=()是偶函数，则 ，据此可得：(+) (+)=(+)()=() =()+=()+ =(+2)=(2) =(3)+.=(3)+ =(+4)据此即可证得上述结论.据此结论可知题中所给函数的周期为 ，=8则 ， ， ，(8)=(0)=0 (9)=(1)
7、=2 (2019)=(3)=(1)=2据此可得： 4.(8)+(9)+(2019)=本题选择 D 选项.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10C【解析】【分析】由 得到 an=n，任意的 ，2=2,2+1=2+1() 恒成立等价于1+1+ 1+2+ 1+3+ 1+20，利用作差法求出1+1+ 1+2+ 1+3+ 1+2的最小值即可.（）= 1+1+ 1+2+ 1+3+ 1+2【详解】当 n=1 时， ，又 22=21+1+1 2=2， 1=1a n+12=2Sn+n+1，当 n2 时，a n2=2Sn1 +n，两式相减可得：a n+12
8、a n2=2an+1，a n+12=（a n+1） 2，数列a n是各项均为正数的数列，a n+1=an+1，即 an+1a n=1，显然 n=1 时，适合上式数列a n是等差数列，首项为 1，公差为 1a n=1+（n1）=n任意的 ， 恒成立，1+1+ 1+2+ 1+3+ 1+20即 恒成立1+1+ 1+2+ 1+3+ 1+2记（）= 1+1+ 1+2+ 1+3+ 1+（+1）（）=( 1+2+ 1+3+ 1+ 1+1+ 1+2)( 1+1+ 1+2+ 1+3+ 1+)，= 1+1+ 1+2 1+1= 12+1+ 12+2 22+2= 12+1 12+2 0 为单调增数列，即 的最小值为（
9、） （）（1）=12 ，即122 14故选：C【点睛】已知 求 的一般步骤：（1）当 时，由 求 的值；（2）当 时，由 =1 1=1 1 2，求得 的表达式；（3）检验 的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表=1 1示 ；（4）写出 的完整表达式. 11D【解析】【分析】首先分析函数 的性质，然后换元后分离参数求解实数 的取值范围即可.() 【详解】由函数 的解析式可得函数为偶函数，()当 时， ， ，0()=()=1由导函数研究函数的单调性可得，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，() (0,1) (1,+)且当 时， ，函数的最大值为 ，0()=0 (1)=1据此绘制函
10、数 的图象如图所示，()令 ，原问题等价于关于 的方程 在区间 上存在唯一的实数=() 2(+2)+2=0 (0,1)根；整理可得： ，令 ，则 ，=22+2+1 ()=22+2+1 (0 =4（2）如图， 为 中点， ， =故 ,12|=12|即=|=2【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18（1）见解析； （2） .1【解析】【分析】（1)由题意结合线面垂直的判断定理证明题中的结论
11、即可；（2）结合棱锥的特征转化顶点，利用 求解三棱锥的体积即可.1=1【详解】（1)四边形 是菱形， , ,11 11 1,1= 平面 ，又 平面 ， , 是 的中点，1 1 1 1 =11 ， ， 平面 .1 11= 11（2）菱形 的边长为 ，又 是等边三角形，则 .11 2 1=60,1 1=2由（1）知， ，又 是 的中点， ，1 1 1=又 是等边三角形，则 .在 中，1=60,1 =1=1=2 ，=22=322=3.1=1=131=131222120 3=1【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另
12、一条侧棱作为高来求体积19(1) .2=4(2)32.【解析】分析：（）根据抛物线的准线方程可得 ，故抛物线的方程可求出 .（）求出过 的圆的切线 的方程后可得 两点的横坐标，它们可用 及其(0,0) , , 0,0相应的斜率表示，因此 也与这三者相关.再利用圆心到直线的距离为半径得到斜率满足的方程，利用韦达定理和 消元后可用关于 的函数表示 ，求出该函数的最小值即可.20=40 0 详解：（）设抛物线 的方程为 ， 2=2(0)则 ， ，所以抛物线 的方程是 .2=1 =2 2=4（）设切线 ，即 ，0=(0) +00=0切线与 轴交点为 ，圆心到切线的 (00,0)距离为 ，化简得=|2+
13、00|2+1 =2 (204)2+20(20)+2040=0设两切线斜率分别为 ，则1,21+2=20(20)204 ,12=2040204,04=12|(001)(002)|0=12|12|12| 20=2020+204004 =22004= ，当且仅当 时取等号.2 1604+(04)+832 0=8所以切线与 轴围成的三角形面积 的最小值为 32. 点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过基本不等式或导数等求得.20（1） 时取得极小值 ，无极大值； （2）见解析.=1 (1)=1【解析】【分析】（1
14、）首先求得导函数，然后确定函数的单调性，据此求解函数的极值即可；（2）解法一：原问题等价于证明 ，构造函数 ，0,()=+1=+1由 得 ；由 得 。 ,()01 ,()0 ()0 00 故 在 上单调递增，在 上单调递减， ，()(,+) (0,)()()=11又因为 ，所以 ，即 ，所以 ，011 ()0 (1)=10 (0,+) ()0 ()(1,1) (0)0【解析】【分析】（1） 即为 分类讨论即可得到结果；(1)3 |+1|+|+2|3（2）利用三角绝对值不等式即可得到结果.【详解】（1） 即为 。当 时， ，得 ；(1)3 |+1|+|+2|3 3 3 1 2+33 0所以 时，实数 的取值范围为 。(1)3 |0（2）证明：()+(1)=|+|+|2+|+|1+|+|2+|=(|+|+|1+|)+(|2+|+|2+|)|+1|+|2+2|2+4=6【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
