1、3.1 函数及其表示,第三章 函数概念与基本初等函数,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.函数与映射,任意,唯一确定,非空数集,集合,知识梳理,ZHISHISHULI,任意,唯一确定,f：AB,2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做 ，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的 . (2)函数的三要素： 、 和 . (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有 、 和 .,定义域,函数值,值域,定义域,对应关
2、系,值域,解析法,图象法,列表法,3.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.,对应关系,并集,并集,请你概括一下求函数定义域的类型？,提示 (1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合； (2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合； (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合； (4)若f(x)x0，则定义域为x|x0； (5)指数函数
3、的底数大于0且不等于1；,【概念方法微思考】,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)对于函数f：AB，其值域就是集合B.( ) (2)函数f(x)x22x与g(t)t22t是同一函数.( ) (3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( ) (4)函数f(x)的图象与直线x1最多有一个交点.( ) (5)若AR，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从A到B的映射.( ) (6)分段函数是由两个或几个函数组成的.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,3,6),1,2,3,4,5,6,3.P25B组T1函数
4、yf(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是_；值域是_；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是_.,3,02,3,1,2,3,4,5,6,1,5,1,2)(4,5,题组三 易错自纠,4.已知f(x) 若f(a)2，则a的值为 A.2 B.1或2 C.1或2 D.1或2,1,2,3,4,5,6,解析 当a0时，2a22，解得a2； 当a0时，a232，解得a1. 综上，a的值为1或2.故选B.,5.已知函数f(x)x|x|，若f(x0)4，则x0的值为_.,2,解析 当x0时，f(x)x2，f(x0)4，,1,2,3,4,5,6,当x0时，f(x)x2，f(x0)4，,1，),1,2,
5、3,4,5,6,又因为yx26x7(x3)22， 所以ymin(43)22121. 所以其值域为1，).,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,解析 A中函数的定义域不是2,2， C中图象不表示函数， D中函数值域不是0,2，故选B.,1.若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图象可能是,题型一 函数的概念,自主演练,2.有以下判断：,对于，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数，故正确；,综上可知，正确的判断是.,函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数.
6、值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同).,题型二 函数的定义域问题,多维探究,(2)若函数yf(x)的定义域是0,2 018，则函数g(x) 的定义域是 A.1,2 017 B.1,1)(1,2 017 C.0,2 018 D.1,1)(1,2 018,解析 使函数f(x1)有意义，则0x12 018， 解得1x2 017， 故函数f(x1)的定义域为1，2 017.,解得1x1或1x2 017. 故函数g(x)的定义域为1,1)(1,2 017.,本例(2)中，若将
7、“函数yf(x)的定义域为0,2 018”，改为“函数f(x1)的定 义域为0,2 018，”则函数g(x) 的定义域为_.,2,1)(1,2 016,解析 由函数f(x1)的定义域为0,2 018. 得函数yf(x)的定义域为1,2 017，,所以函数g(x)的定义域为2,1)(1,2 016.,解析 要使函数的定义域为R，则mx24mx30恒成立， 当m0时，显然满足条件；,(2)若函数f(x) 的定义域为x|1x2，则ab的值为_.,解析 函数f(x)的定义域是不等式ax2abxb0的解集.不等式ax2abxb0的解集为x|1x2，,(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题
8、，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍. (2)求抽象函数的定义域 若yf(x)的定义域为(a，b)，则解不等式ag(x)b即可求出yf(g(x)的定义域； 若yf(g(x)的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域. (3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解.,(0,2,故所求函数的定义域为(0,2.,(2)已知函数yf(x21)的定义域为 ，则函数yf(x)的定义域为_.,1,2,yf(x)的定义域为1,2.,(3)若函数f(x) 的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是_.,0,4,解析 当m0时，f
9、(x)的定义域为一切实数；,得0m4， 综上，m的取值范围是0,4.,题型三 求函数解析式,师生共研,(2)若f(x)为二次函数且f(0)3，f(x2)f(x)4x2，则f(x)的解析式为_.,f(x)x2x3,解析 待定系数法：设f(x)ax2bxc(a0)， 又f(0)c3. 所以f(x)ax2bx3， 所以f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx3)4ax4a2b4x2.,所以所求函数的解析式为f(x)x2x3.,函数解析式的求法 (1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法 (2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注
10、意新元的取值范围 (3)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式 (4)消去法：已知f(x)与 或f(x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x),x21(x1),代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21. 故f(x)x21(x1).,即f(x)x21(x1).,(2)设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等实根，且f(x)2x2，则f(x)的解析式为f(x)_.,x22x1,解析 设f(x)ax2bxc(a0)， 则f(x)2axb2x2，
11、 所以a1，b2，f(x)x22xc. 又因为方程f(x)0有两个相等的实根， 所以44c0，c1， 故f(x)x22x1.,(3)函数f(x)满足方程2f(x)f(x)2x，则f(x)的解析式为_.,f(x)2x,解析 因为2f(x)f(x)2x， 将x换成x得2f(x)f(x)2x， 由消去f(x)，得3f(x)6x， 所以f(x)2x.,题型四 分段函数,命题点1 求分段函数的函数值例4 (2018台州期末)已知函数f(x) 则f(0)_，f(f(0)_.,解析 由题意得f(0)201， 则f(f(0)f(1)log310.,多维探究,1,0,命题点2 分段函数与方程、不等式问题 例5
12、(2018浙江十校联盟高考适应性考试)已知函数f(x) 若f(a)f(1)0，则实数a的值为_.,3,解析 方法一 当a0时，由f(a)f(1)0得2a20，无解. 当a0时，由f(a)f(1)0得a120，解得a3. 方法二 由题意知f(1)20，故由f(a)f(1)0， 结合指数函数的性质知a0，且f(a)a12，解得a3.,(1)分段函数的求值问题的解题思路 求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值； 求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验. (2)分段函
13、数与方程、不等式问题的求解思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来.,(1,3),解析 由题意知，f (1)213， f (f (1)f(3)326a， 若f (f(1)3a2， 则96a3a2， 即a22a30， 解得1a3.,3,课时作业,PART THREE,A.1,0)(0,1) B.1,0)(0,1 C.(1,0)(0,1 D.(1,0)(0,1),基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解得1x0或0x1. 所以原函数的定义域为(1,0)(0,1).,2.(2018浙江嘉兴一中月考)下列四组函数中，表示同一函数的
14、一组是 A.f(x)lg x2，g(x)2lg x,解析 A，B，C中函数的定义域不同，故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.已知函数f(x)的定义域为(1,0)，则函数f(2x1)的定义域为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 当x1时，f(x)x22(1，)；,综上可知，函数f(x)的值域为(1，).故选B.,6.(2018浙江知名重点
15、中学考前热身联考)设函数f(x) 若f(f(0)4，则b等于 A.2 B.1 C.2 D.1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 f(0)b，当b1， 即b1时，f(b)3b4，,即b1时，2b4，得b2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.如图，AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQAB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设APx(0x2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y，则函数yf(x)的大致图象是,1,2,3,4,
16、5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 观察可知阴影部分的面积y的变化情况为： (1)当0x1时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越快. (2)当1x2时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越慢. 分析四个答案中的图象，只有选项A符合条件，故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.(，3) B.(1，) C.(3,1) D.(，3)(1，),解得a3，故3a0；,解得a1，故0a1. 综上可得3a1.故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,x2x1(x1),即
17、f(x)x2x1(x1).,10.(2016浙江)设函数f(x)x33x21，已知a0，且f(x)f(a)(xb)(xa)2，xR，则实数a_，b_.,解析 由已知可得：f(x)f(a)x33x21a33a21x33x2a33a2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2,1,结合a0解得a2，b1.,11.定义新运算“”：当mn时，mnm；当mn时，mnn2.设函数f(x)(2x)x(4x)，x1,4，则函数f(x)的值域为_.,2,0(4,60,当x1,2时，f(x)2,0； 当x(2,4时，f(x)(4,60， 故当x1,4时，f(x)2,0(4
18、,60.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.(2018浙江名校新高考研究联盟四联)已知函数f(x) 若存在x1x2，使得f(x1)f(x2)，求x1f(x2)的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 函数f(x)的图象如图所示，若存在x1x2，使得f(x1)f(x2)，,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 由题意得f(0)max1，b， 若f(0)b，则b1
19、.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若f(x)的最小值为1，求ab的值. 解 解不等式|2x1|1，得x1或x0. 所以若f(x0)1，x00,1， 当x0,1时，要使f(x)的最小值为1， 只需ax2b的最小值为1， 因为a0，所以由函数yax2b的图象(图略)知ax2b在x1时取得最小值1，即ab1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.(2015浙江)存在函数f(x)满足：对于任意xR，都有 A.f(
20、sin 2x)sin x B.f(sin 2x)x2x C.f(x21)|x1| D.f(x22x)|x1|,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 在A中，令x0，得f(0)0；,在B中，令x0，得f(0)0；,在C中，令x1，得f(2)2； 令x1，得f(2)0，与函数的定义不符，故C错. 在D中，变形为f(|x1|21)|x1|，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,显然这个函数关系在定义域1，)上是成立的， 故选D.,16.(2018浙江名校(诸暨中学)联考)f(x)是定义在R上的函数，若f(1)50
21、4，对任意的xR，满足f(x4)f(x)2(x1)及f(x12)f(x)6(x5)，求 的值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 f(x4)f(x)2(x1)， f(x8)f(x4)2(x5)， f(x12)f(x8)2(x9)， 上述三个式子相加得到f(x12)f(x)6(x5)， 结合条件可知，f(x12)f(x)6(x5)， 于是f(2 017)f(1)f(2 017)f(2 005)f(2 005)f(1 993)f(1 993) f(1 981)f(13)f(1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
