1、4.2 导数的应用,第四章 导数及其应用,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f(x) 0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x) 0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减.,知识梳理,ZHISHISHULI,2.函数的极值 (1)一般地，求函数yf(x)的极值的方法 解方程f(x)0，当f(x0)0时： 如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值； 如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值
2、的步骤 求f(x)； 求方程 的根； 考查f(x)在方程 的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 .,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,极大值,极小值,3.函数的最值 (1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值. (3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值
3、的步骤如下： 求函数yf(x)在(a，b)内的 ； 将函数yf(x)的各 与 处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.,f(a),f(b),f(a),f(b),极值,极值,端点,1.“f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f(x)0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？,提示 不正确，正确的说法是： 可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对任意x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零.,2.对于可导函数f(x)，“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的_条件.(填“充要”“
4、充分不必要”“必要不充分”),提示 必要不充分,【概念方法微思考】,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性. ( ) (2)函数的极大值一定大于其极小值.( ) (3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) (4)开区间上的单调连续函数无最值.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,7,8,题组二 教材改编,2.P32A组T4如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下面判断正确的是 A.在区间(2,1)上f(x)是增函数 B.在
5、区间(1,3)上f(x)是减函数 C.在区间(4,5)上f(x)是增函数 D.当x2时，f(x)取到极小值,1,2,3,4,5,解析 在(4,5)上f(x)0恒成立，f(x)是增函数.,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,当02时，f(x)0， x2为f(x)的极小值点.,4.P26练习T1函数f(x)x36x2的单调递减区间为_.,解析 f(x)3x212x3x(x4)， 由f(x)0，得0x4， 函数f(x)的单调递减区间为(0,4).,1,2,3,4,5,(0,4),6,7,8,5.P32A组T6函数yx2cos x在区间 上的最大值是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,6.P
6、30例5函数f(x) x34x4在0,3上的最大值与最小值分别为_.,得f(x)x24(x2)(x2)， 令f(x)0，得x2或x2； 令f(x)0，得2x2. 所以f(x)在(，2)，(2，)上单调递增；,1,2,3,4,5,6,7,8,题组三 易错自纠 7.(2007浙江)设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是,解析 当f(x)为增函数时，f(x)0； 当f(x)为减函数时，f(x)0.,1,2,3,4,5,6,7,8,8.(2011浙江)设函数f(x)ax2bxc (a，b，cR)，若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下
7、列图象不可能为yf(x)的图象是,1,2,3,4,5,7,8,6,解析 设h(x)f(x)ex， 则h(x)(2axb)ex(ax2bxc)ex(ax22axbxbc)ex. 由x1为函数h(x)的一个极值点， 得当x1时，ax22axbxbcca0， ca. f(x)ax2bxa. 若方程ax2bxa0有两根x1，x2，,1,2,3,4,5,7,8,6,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,第1课时 导数与函数的单调性,题型一 不含参数的函数的单调性,自主演练,2.已知函数f(x)xln x，则f(x) A.在(0，)上单调递增 B.在(0，)上单调递减,解析 因为函数f(x)xln x
8、的定义域为(0，)， 所以f(x)ln x1(x0)，,故选D.,3.已知定义在区间(，)上的函数f(x)xsin xcos x，则f(x)的单调递增区间是_.,解析 f(x)sin xxcos xsin xxcos x. 令f(x)xcos x0，,确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求f(x). (3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间. (4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.,题型二 含参数的函数的单调性,例1 已知函数f(x)x2eax1(a是常数)，求函数yf(x)的单调区间.,师生共研,解 根据题意可得，当a0
9、时，f(x)x21，函数在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减. 当a0时，f(x)2xeaxx2(a)eaxeax(ax22x). 因为eax0，,即f(x)0，函数yf(x)单调递减；,即f(x)0，函数yf(x)单调递增.,即f(x)0，函数yf(x)单调递增；,即f(x)0，函数yf(x)单调递减. 综上所述，当a0时，函数yf(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，0)；,(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.,跟踪训练1 已知函数f(x)ex(a
10、x22x2)(a0)，试讨论f(x)的单调性.,解 由题意得f(x)exax2(2a2)x(a0)，,当a1时，f(x)0在R上恒成立；,当a1时，f(x)在(，)上单调递增；,题型三 函数单调性的应用,命题点1 比较大小或解不等式,例2 (1)已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f(x)，当x0时，xf(x)f(x)0. 则a，b，c的大小关系是 A.bac B.acb C.abc D.cab,多维探究,又当x0时，xf(x)f(x)0， 所以g(x)0，即函数g(x)在区间(，0)内单调递减. 因为f(x)为R上的偶函数， 所以g(x)为(，0)(0，)上的奇函数， 所以函数g(x)在
11、区间(0，)内单调递减. 由0ln 2e3， 可得g(3)g(e)g(ln 2)，即cab，故选D.,(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)1，f(0)4，则不等式exf(x)ex3(其中e为自然对数的底数)的解集为 A.(0，) B.(，0)(3，) C.(，0)(0，) D.(3，),解析 令g(x)exf(x)ex， g(x)exf(x)exf(x)ex exf(x)f (x)1， f(x)f(x)1，g(x)0， yg(x)在定义域上单调递增， exf(x)ex3，g(x)3， g(0)3，g(x)g(0)，x0，故选A.,命题点2 根据函数单调性求参数,例3 已知函数f(
12、x)ln x，g(x) ax22x(a0). (1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；,所以a1. 又因为a0，所以a的取值范围为(1,0)(0，).,(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围.,解 因为h(x)在1,4上单调递减，,1.本例(2)中，若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递增，求a的取值范围.,解 因为h(x)在1,4上单调递增， 所以当x1,4时，h(x)0恒成立，,所以a1，即a的取值范围是(，1.,2.本例(2)中，若h(x)在1,4上存在单调递减区间，求a的取值范围.,解 h(x)在1,4上存在单调递减
13、区间， 则h(x)0在1,4上有解，,所以a1，又因为a0， 所以a的取值范围是(1,0)(0，).,根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解. (3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.,跟踪训练2 (1)(2018宁波模拟)已知三次函数f(x) x3(4m1)x2(15m22m7)x2在(，)上是增函数，则m的取值范围是 A
14、.m4 B.4m2 C.2m4 D.以上皆不正确,解析 由于函数在R上递增， 故导函数恒为非负数， 即f(x)x22(4m1)x15m22m70恒成立， 其判别式4(4m1)24(15m22m7)0， 解得2m4.,1,1,当a0时，g(t)|2t|2t单调递增，满足题意；,综上，实数a的取值范围为1,1.,含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能： 方程f(x)0是否有根；若f(x)0有根，求出根后判断其是否在定义域内；若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法.,思想方法,SIXIANGFANGFA,用分类讨论思想研究函数的单调性,例 已知函数g(
15、x)ln xax2(2a1)x，若a0，试讨论函数g(x)的单调性.,函数g(x)的定义域为(0，)，,由g(x)0，得01.,综上可得：当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增， 在(1，)上单调递减；,3,课时作业,PART THREE,1.函数f(x)x22ln x的单调递减区间是 A.(0,1) B.(1，) C.(，1) D.(1,1),当x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数.,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是 A.f(b)f(
16、c)f(d) B.f(b)f(a)f(e) C.f(c)f(b)f(a) D.f(c)f(e)f(d),解析 由题意得，当x(，c)时，f(x)0， 所以函数f(x)在(，c)上是增函数， 因为af(b)f(a)，故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.(2018台州调考)定义在R上的可导函数f(x)，已知y2f(x)的图象如图所示 ，则yf(x)的单调递增区间是,解析 据函数y2f(x)的图象可知， 当x2,2f(x)1f(x)0，且使f(x)0的点为有限个， 所以函数yf(x)在(，2上单调递增，故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,
17、9,10,11,12,13,14,15,16,A.0,1 B.1,2 C.(，1 D.(，2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意得f(x)ax2ax1，若函数f(x)的图象如D选项中的图象所示， 则f(x)0在R上恒成立，,5.定义在R上的函数yf(x)，满足f(3x)f(x)， f(x)3，则有 A.f(x1)f(x2) C.f(x1)f(x2) D.不确定,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因此据函数的单调性可得f
18、(x1)f(x2)，故选B.,6.(2018浙江名校协作体模拟)已知函数f(x)(2x1)exax23a(x0)为增函数，则a的取值范围是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 f(x)(2x1)exax23a在(0，)上是增函数， f(x)(2x1)ex2ax0在区间(0，)上恒成立，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.若函数f(x)x3bx2cxd的单调递减区间为(1,3)，则bc_.,12,解析 f(x)3x22bxc
19、， 由题意知，1x3是不等式3x22bxc0的解， 1,3是f(x)0的两个根， b3，c9，bc12.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,x|x1,即函数F(x)在R上单调递减.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,F(x2)1，即不等式的解集为x|x1.,9.已知函数f(x) x24x3ln x在区间t，t1上不单调，则t的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由f(x)0，得函数f(x)的两个极值点为1和3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t，t
20、1)内， 函数f(x)在区间t，t1上就不单调， 由t1t1或t3t1，得0t1或2t3.,(0,1)(2,3),10.已知函数f(x)ln x(xb)2(bR)在 上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.(2018湖州五中模拟)设函数f(x)xekx(k0). (1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 f(x)(1kx)ekx，f(
21、0)1，f(0)0， 曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为xy0.,(2)求函数f(x)的单调区间；,f(x)0，函数f(x)单调递减；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(3)若函数f(x)在区间(1,1)上单调递增，求k的取值范围.,综上可知，当函数f(x)在区间(1,1)上单调递增时， k的取值范围是1,0)(0,1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.已知函数f(x)aln xax3(aR). (1)求函数f(x)的单调区间；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1
22、3,14,15,16,解 函数f(x)的定义域为(0，)，,当a0时，f(x)的单调增区间为(0,1)， 单调减区间为(1，)； 当a0时，f(x)的单调增区间为(1，)，单调减区间为(0,1)； 当a0时，f(x)为常函数.,(2)若函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1,2，函数g(x)x3x2 在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,g(x)3x2(m4)x2. g(x)在区间(t,3
23、)上总不是单调函数， 即g(x)在区间(t,3)上有变号零点.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当g(t)0时， 即3t2(m4)t20对任意t1,2恒成立， 由于g(0)0，故只要g(1)0且g(2)0， 即m5且m9，即m9；,13.(2018杭州高级中学模拟)已知函数f(x)x3ax2bxc，g(x)为f(x)的导函数.若f(x)在(0,1)上单调递减，则下列结论正确的是 A.a23b有最小值3 B.a23b有最大值2 C.f(0)f(1)0 D.g(0)g(1)0,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14
24、,15,16,解析 由题意可得g(x)f(x)3x22axb. 因为f(x)在(0,1)上单调递减， 所以g(x)0在(0,1)上恒成立， 即g(0)0，g(1)0，所以g(0)g(1)0，故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.(2019杭州第二中学模拟)对于函数f(x)和g(x)，设xR|f(x)0，xR|g(x)0，若存在，使得|1，则称f(x)与g(x)互为“情侣函数”.若函数f(x)ex2x3与g(x)axln x互为“情侣函数”，则实数a的取值范围为,解析 令f(x)ex2x30，解得x2， 根据条件可得|2|1，解得13， 对
25、于函数g(x)axln x，当a0时，g(1)0，满足条件； 当a0时，要使得3，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.已知函数f(x)ax2ln x(其中a为非零常数)，x1，x2为两不相等正数，且满足f(x1)f(x2).若x1，x0，x2为等差数列，则 A.f(x0)0 B.f(x0)0 C.f(x0)0 D.f(x0)的正负与a的正负有关,解析 由f(x1)f(x2)得a(x2x1)(x2x1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以g(t)在(0，)上单调递增，而g(1)0， 所以当x2x1时，t1，所以g(t)0，故f(x0)0； 当x20. 综上可知，f(x0)0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.已知f(x)x3ax1，若f(x)在区间(2,2)上不单调，求a的取值范围.,解 f(x)x3ax1， f(x)3x2a. 由f(x)在区间(2,2)上不单调，知f(x)存在零点，a0.,f(x)在区间(2,2)上不单调，,
