1、1上海市松江区 2019 届高三数学上学期期末质量监控试题一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 设集合 ， ，则 |1Ax|03xBAB2. 若复数 满足 ，则 z(34i)iz|z3. 已知函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，且点yf xya(,1)yx在函数 的图像上，则实数 (4,2)P()x4. 已知等差数列 的前 项和为 ，则 na10314710a5. 若增广矩阵为 的线性方程组无解，则实数 的值为 2mm6. 已知双曲线标准方程为 ，则其焦点到渐近线的距离为 13xy7. 若向量 ， 满足 ，且 ， ，则向量 与
2、 夹角为 ab()7b|3a|2bab8. 在 中，内角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，若 ，ABCBCc22()6，3则 的面积 9. 若 ，则 图像上关于原点 对称的点共有 对|lg(1)|0()sinxf()yfxO10. 已知 、 、 是单位圆上三个互不相同的点，若 ，则 的最小ABC|=|ABCAB值是 11. 已知向量 ， 是平面 内的一组基向量， 为 内的定点，对于 内任意一点 ，1e2OP当 时，则称有序实数对 为点 的广义坐标，若点 、 的广义坐标12OPxy (,)xyPAB分别为 、 ，对于下列命题：1(,)2(,) 线段 、 的中点的广义坐标为 ；AB1212(,)
3、xy A、 两点间的距离为 ；12) 向量 平行于向量 的充要条件是 ；O121xy 向量 垂直于向量 的充要条件是 .B0其中的真命题是 （请写出所有真命题的序号）212. 已知函数 的定义域为 ，且 和 对任意的()fxR()1fx()(1)4fxf都成立，若当 时， 的值域为 ，则当 时，函数xR0,1,20,的值域为 ()f二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 过点 且与直线 垂直的直线方程是（ ）0,12xyA. B. C. D. 2xy1020xy210xy14. 若 ， ，则 是 的（ ）条件ababxyyA. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充
4、要 D. 既非充分又非必要15. 将函数 的图像向下平移 个单位，得到 的图像，若()2sin(3)4fx1()gx，其中 ，则 的最大值为（ ）12()9g12,0,x2xA. B. C. D. 753116. 对于平面上点 和曲线 ，任取 上一点 ，若线段 的长度存在最小值，则称该PCQP值为点 到曲线 的距离，记作 ，若曲线 是边长为 的等边三角形，则点集(,)dPC6所表示的图形的面积为（ ）|(,)1DdA. B. C. D. 3636363三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 已知向量 ， .(3sin,1)ax(cos,1)bx（1）
5、若 ，求 的值；bt2（2）若 ，求函数 的最小正周期及当 时的最大值.()fx()f 0,2x18. 已知函数 （常数 ）2()1xfaaR（1）讨论函数 的奇偶性，并说明理由；（2）当 为奇函数时，若对任意的 ，都有 成立，求 的最大值.()fx2,3x()2xmf319. 某科技创新公司投资 万元研发了一款网络产品，产品上线第 个月的收入为 万40 140元，预计在今后若干个月内，该产品每月的收入平均比上一月增长 ，同时，该产品第50%1个月的维护费支出为 万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加 万元.1（1）分别求出第 个月该产品的收入和维护费支出，并判断第 个月该产品的收入是否
6、足6 6够支付第 个月的维护费支出？（2）从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？（总支出包括维护费支出和研发投资支出）20. 已知曲线 上的任意一点到两定点 、 的距离之和为 ，直线 交曲1(,0)F2(,)2l线 于 、 两点， 为坐标原点.ABO（1）求曲线 的方程；（2）若 不过点 且不平行于坐标轴，记线段 的中点为 ，求证：直线 的斜率l ABMO与 的斜率的乘积为定值；（3）若 ，求 面积的取值范围.AB421. 对于给定数列 ，若数列 满足：对任意 ，都有 ，nanbn*N1()0nnab则称数列 是数列 的“相伴数列”.nb（1）若 ，且数列 是 的“相伴数列”，试写出 的
7、一个通项公式，cnanc并说明理由；（2）设 ，证明：不存在等差数列 ，使得数列 是 的“相伴数列”；1nanbnba（3）设 ， （其中 ），若 是 的“相伴数列”，试分析实1n1nbq0n数 、 的取值应满足的条件.bq5参考答案一. 填空题1. 2. 3. 4. (1,3)12125. 6. 7. 8. 639. 10. 11. 12. 412 102,12令 ，则有 ，即1tx()4ftt4(2)(ftf当 时， ，又 ，0,1,1,f,)t即当 时， 的值域为2x()fx当 时， 的值域为,4 )(42()()()1()( xffxffxff 当 时， 的值域为 ， 时， 的值域为
8、，2,4xf4,16,()f61,2依此类推可知，当 时， 的值域为 ，,2kf2,k当 时， 的值域为0,1()fx0,又， ，当 时， ，()fxf,1x10(),fx 102,综上，当 时，函数 )(f的值域为 102,.二. 选择题13. A 14. B 15. A 16. D三、解答题17解：（1）由 得, ， 2 分/abr3sincox6 4 分3tanx 6 分2t1（2） 8 分2()3sincosfxbxxr10 分311sin()6函数 的最小正周期为 12 分)(f 2T当 时，2,0x76x当 ，即 时， 14 分max3()()62ff18解：（1）若 为奇函数，必
9、有 得 ，2)(f 011a分当 时， ，a21xxf2()()xxf f当且仅当 时， 为奇函数 4 分)(又 ， ，对任意实数 ，都有2(1)3f 43faa(1)ff 不可能是偶函数 6 分x（2）由条件可得： 恒成立， 8 分22()1)()3xxxxmf记 ，则由 得 ， 10 分1xt2,35,9t此时函数 在 上单调递增， 12 分()gtt所以 的最小值是 ， 13 分1()5所以 ，即 的最大值是 14 分125m219解：记产品从第一个月起，每个月的收入为数列 ，每个月的维护费支出为数列na，nb则 ， 4 分1340()2na05(1)bn(1) 第 6 个月的收入为：
10、万元，6340.752a第 6 个月的维护费为： 万元，6 分(6)3第 6 个月的收入还不足以支付第 6 个月的维护费 7 分(2)到第 个月，该产品的总收入为 9 分n1280()nnnS该产品的总支出为 11 分2()105047542nT7由题意知，只需 ，即 12 分0nST2351()6)0nn由计算器解得满足上述不等式的最小正整数 n=10. 从第 10 个月起，该产品的总收入首次超过总支出 14 分注：9210351()8.4,9639.752670420. 解：（1）由题意知曲线 是以原点为中心，长轴在 轴上的椭圆， 1 分x设其标准方程为 ，则有 ，21xyab2,1ac所
11、以 ， 4 分22bc2（2）证明：设直线 的方程为 ， 5 分l(0,)ykxb设 120(,)(,)(,)AxyBM则由 可得 ，即2k2222(1)40kxb ， 8 分1224bxk1202xb，0 2bykk， 9 分02OMx直线 的斜率与 的斜率的乘积= 为定值 10 分l 12OMk（3）解法一：设 12(,)(,)AxyB则由 知， ，即 ， 11 分011xy221xy12 分2 212AOBS因 、 两点在椭圆上，有即 也即 212xy21xy221()()4xy得 13 分212115xyx21AOBS又由 得221xy22 22211 11()()4xyxx 15 分
12、22112()43x214098 16 分21,3AOBSx解法二：当直线 、 分别与坐标轴重合时，易知 的面积 ，11 分AOB2AOBS当直线 、 的斜率均存在且不为零时，设直线 、 的方程为： 、 ykx， 点 ，1yxk12(,)(,)AyBx由 可得 ，2k ，代入 得 12 分21xkyx221ky同理可得 ，22k 13 分()1AOBS令 ， ，21tk,)t则 14 分2 22119()()4AOBttt由 知 15 分1,)t,32AOBS综上可知， 16 分,21 解：（1） ， 2 分(1)nnc此时， 1211()()()()0nnnnabaa 所以 是数列 的“相伴
13、数列” 4 分n注：答案不唯一， 只需是正负相间的数列n（2）证明，假设存在等差数列 是 的“相伴数列” ，则有 5 分nb1b若 ，则由 得 ， 1b12()3023又由 得 2(3)5b5又因为 是等差数列，所以 ，得 ，与矛盾 7 分n13262同理，当 ，则由 得 ，1()b又由 得23()03又因为 是等差数列，所以 ，得 ，与矛盾 9 分nb1223b所以，不存在等差数列 ，使得数列 是 的“相伴数列” 10 分nna（3）由于 ，易知 且 ， 1ab当 时， ，由于对任意 ，都有 ，*N01nnb9故只需 ， 12 分210kab*()kN由于 ，所以当 时， ， q,nnknabq012故只需当 时， ，*, k即 对 恒成立，得 ； 13 分bk2 当 时，10， ，与 矛盾，不符合题意； 14 分1a220aq021ba当 时， ，1当 时， ，*,Nknnknqb2故只需当 时， ，nk12即 对 恒成立，得 ； 15 分q12*当 时， ，则 ，0b1a22abq下证只需 ： 若 ，则 ，2当 时， ，*,1Nknnkn02当 时， ，nkkk abbq 122121符合题意 17 分综上所述，实数 的取值应满足的条件为：、或 18 分2,1b， ,0q10
