1、1江西省宜春市 2019 届高三数学上学期期末统考试题 理（扫描版）2345宜春市 20182019 学年第一学期期末统考高三年级理科数学答案一.选择题（每小题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A B C A B B A C D A C D二.填空题（每小题 5 分，共 20 分）13. 1,7 14. 18 15. 16. 124,)三.解答题17. 解：（1）设等差数列公差为 ，d由题 ，34520,a得 .3=，.2 分 ，1d3+1nadn.3 分易得 2. .1nnS2(3)2.5 分（2）由（1）得 ()nSncS.21.7 分
2、1341nTn 21n10 分2118.解：（1） ，2()2sico3cssi(2)3fxxxx又 A 为锐角，所()in326Af，以 .3.6 分（2）2sini3sinaRAA，6.8 分所以 23bcbc ，.10 分所以13sin224SbcA（ bc时取等号） 故三角形面积最大值为34.12 分19. 解：（1）取 的中点为 ，连接 ， 为等边三角形， DO,PCPAD.底面 中，可得四边形 为矩形， ， POABCABCO平面 ， 平面 .又 ，所以0,/B.C6 分（2）由面 面 知， 平面 ， PAD,BCPOADPOACD两两垂直，直线 与平面 所成角为 ，即 ，由,O3
3、030，知 ，得 .分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的31,xyz正方向建立空间直角坐标系 ，则 OxyzP,1D， ， 1,0,10CB,0C 1,03,1,0C设平面 的法向量为 ， ，则 .P,nxyz yxz,n.8 分设平面 的法向量为 ， ，则 .DC,mxyz0 3yxz3,1m10 分, 二面角 的余弦值为 12427cos,nDPCB72分20.解:(1)江南 地区在梅雨季节时降雨量超过 的概率为 .Q350m50.3.10257.3 分所以 地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过 的概率为Q350m3256419)(41()323 CC（或 0.15625）. 6 分
4、(2)根据题意，总利润为 （元），其中 .0.m50,76,40所以随机变量 （万元）的分布列如下表27 35 31.2 22.4P0.2 0.4 0.3 0.1故总利润 （万元）的数学期望（万元）.270.35.4120.34.154.09362.41E因为 3128，所以老李来年应该种植乙品种草莓，可使总利润的期望更大. 12 分21.解：（1） ，22cab，解得 ，所以椭圆 的方程为： 24,8C；.4 分18xy（2）当直线 斜率存在时，设直线 方程： ，ll1ykx由 得 ， ，8 1xyk2460kxk22640设 ，12121, 6AxyBxk8分8假设存在定点 符合题意， ，
5、 ，0,QtPQABQABk 212121121212QABxytxxkxtxyttkx1212241063kt ktktx.10 分上式对任意实数 恒等于零， ，即 ， .k40t4t,Q当直线 斜率不存在时， 两点分别为椭圆的上下顶点 ，l,AB02显然此时 ，综上，存在定点 满足题PQ,意12 分22. 解：（1）切线的斜率 (1)kfa， ,解 ，得 .()fa()02fk2.4 分（2）解 ，得1()0fxa1xa当 时， ；当 时， ，0a()0f所以 在 处取得最大值 .()fx()ln1f，因为 ，所以 ， 在区间 有零点，110aea()fx1(,)a因为 在区间 单调递增，
6、所以 在区间 有唯一零点.()fx(,)()fx(0,由幂函数与对数函数单调性比较及 的单调性知， 在区间 有唯一零点，)fx(,)从而函数 有两个零点.()fx8 分9不妨设 ，作函数 ， ，120xa2()()Fxfxa20a则 ， ，()F21()()ffa所以 ，即 ， .10xa11()0fxf112()fxfa又 ，所以 .2()ff 2因为 ，所以 ，因为 在区间 单调递减，10x1,(,)xa()fx(,)所以 ， .2a12又 ， ，所以 .e12xe.12 分（法二：提示由 ，令 ，1122 12lnln xaxax12xt只需证 在 恒成立即可，其它解法酌情给分）.l()0t(,)t
