1、- 1 -第 4 节匀变速直线运动的速度与位移的关系1.匀 变 速 直 线 运 动 的 速 度 位 移 关 系 式 ： v2 v02 2ax。2公式 v2 v022 ax，在不涉及时间 t 时，解决问题更方便。3匀变速直线运动某段位移中点位置的瞬时速度v 。x2v02 v224在匀变速直线运动中，某段过程中间时刻的瞬时速度等于该过程的平均速度，还等于该过程初、末速度的平均值，即 v 。t2vv0 v25在匀变速直线运动中，连续相等时间内的位移差为 x aT2。匀变速直线运动的速度与位移关系1关系式： v2 v022 ax。2推导：由匀变速直线运动的速度公式： v v0 at 和位移公式： x
2、v0t at2消去时12间即得。3若 v00，速度与位移的关系为： v22 ax。合作探究议一议(1)应用 v2 v022 ax 分析匀变速直线运动有何优势？提示：因公式 v2 v022 ax 不涉及物体运动的时间，故在不要求计算时间时，应用该式分析匀变速直线运动较简便，特别是求解刹车问题中的刹车距离时比较简便。(2)建造滑梯时，若已知小孩在滑梯上下滑的加速度和在滑梯底端的安全速度，如何设计出滑梯的长度？提示：因为 v 和 a 已知且小孩初速度为零，根据 v2 v022 ax 可知 x ，要想保证小v22a- 2 -孩安全，则滑梯长度 x 满足 x 。v22a速度位移公式的理解及应用1适用条件
3、：匀变速直线运动。2 v2 v022 ax 为矢量式， x、 v0、 a 都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度 v0的方向为正方向。(1)匀加速直线运动， a 取正值；匀减速直线运动， a 取负值。(2)位移与正方向相同取正值；位移与正方向相反，取负值。1 A、 B、 C 三点在同一条直线上，某物体自 A 点从静止开始做匀加速直线运动，经过 B点时速度为 v，到 C 点时速度为 2v，则 AB 和 BC 两段距离大小之比是( )A14 B13C12 D11解析：选 B 根据公式 v2 v022 ax，可得 AB 两段距离为： x1 ，v22aBC 段的距离为： x2 ，故 x1
4、x213，B 正确。 2v 2 v22a 3v22a2滑块以某一初速度从斜面底端冲上斜面做匀减速直线运动，到达斜面顶端时的速度为零。已知滑块通过斜面中点时的速度为 v，则滑块的初速度为( )A. v B( 1) v2 12 2C. v D. v212解析：选 C 运用逆向思维，设斜面的长度为 2x，由 v2 v022 ax 得： v22 ax，v02 v22 ax，解得初速度为 v，C 正确。23长 100 m 的火车以速度 v 做匀速直线运动，从车头距桥头 200 m 的地方开始以 1 m/s2的加速度做匀减速直线运动，减速到列车头刚上桥头时立即做匀速直线运动，整列火车匀速通过桥的时间为 2
5、5 s，桥长为 150 m，求火车原来做匀速直线运动的速度 v。解析：火车匀速过桥时的速度 v m/s10 m/s，火车开始减速时有xt 150 10025v 2 v22 ax，所以 v m/s10 m/s，即火车v 2 2ax 102 2 1 200 5- 3 -原来做匀速直线运动的速度 v 为 10 m/s。5答案：10 m/s5平均速度公式的应用1平均速度的一般表达式 。vxt2匀变速直线运动中，某段过程的平均速度等于初、末速度的平均值，即 (v0 v)。v12证明：如图所示为匀变速直线运动的 vt 图像，则 t 时间内的位移为 x (v0 v)t，故12平均速度为 (v0 v)。vxt
6、 123匀变速直线运动中，某段过程中间时刻的瞬时速度等于该过程的平均速度，即 v (v0 v)。t2v12证明：如图所示，对 0 ，有： v v0 a ；t2 t2t2对 t 有： v v a ；由两式可得 v (v0 v) 。t2 t2t2 t212 v特别提醒 适用于任意运动，而 和 v 只适用于匀变速直线vxt v v0 v2 v t2运动。典例 一滑雪运动员从 85 m 长的山坡上匀加速滑下，初速度是 1.8 m/s，末速度是5.0 m/s，滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间？解析 方法一 利用速度公式和位移公式求解由 v v0 at 和 x v0t at2，12- 4 -代入数据解得
7、 a0.128 m/s 2， t25 s。方法二 利用位移与速度的关系式和速度公式求解由 v2 v022 ax 得a 0.128 m/s 2v2 v022x由 v v0 at 得 t 25 s。v v0a方法三 利用平均速度公式求解由 x t 得 t s25 s。v0 v2 2xv0 v 2851.8 5答案 25 s解题时巧选公式的基本方法(1)如果题目中无位移 x，也不需求位移，一般选用速度公式 v v0 at；(2)如果题目中无末速度 v，也不需求末速度，一般选用位移公式 x v0t at2；12(3)如果题中无运动时间 t，也不需要求运动时间，一般选用导出公式 v2 v022 ax；(
8、4)如果题目中没有加速度 a，也不涉及加速度的问题，用 计算比较vxt v0 v2方便。1物体做匀减速直线运动，速度由 v 减到零所需时间为 t，则 t 时间内物体运动的距离为( )A. B2 vtvt2C vt D不能确定解析：选 A 物体做匀减速直线运动过程中的平均速度 ，则 t 时间内物体运动的距vv2离 x t 。故选 A。vvt22一小球从斜面顶端由静止开始滚下，经 4 s 匀加速运动到达斜面底端，加速度的大小为 a6 m/s 2。求：(1)到达斜面底端时的速度；- 5 -(2)斜面长度；(3)整个过程中的平均速度；(4)运动到斜面中点时的速度。解析：(1) v at24 m/s。(
9、2)x at248 m。12(3) 12 m/s。vxt(4)v 中 22 a v 中 12 m/s。x2 ax 2答案：(1)24 m/s (2)48 m (3)12 m/s (4)12 m/s2重要推论 x aT2的应用1推导：以初速度 v0做匀加速直线运动的物体为例时间 T 内的位移： x1 v0T aT212时间 2T 内的位移： x v02T a(2T)212第 2 个时间 T 内的位移： x2 x x1 v0T aT232第 2 个和第 1 个时间 T 内的位移差为： x x2 x1 aT2进一步推得： x3 x2 x4 x3 xn xn1 aT22推论描述：做匀变速直线运动的物体
10、，在连续相邻的相等的时间 T 内的位移之差为一恒定值，即 x aT2。3应用：一是用于判断物体是否是做匀变速直线运动；二是用于计算匀变速运动的加速度。典例 一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内通过的位移分别是 24 m 和 64 m，每一个时间间隔为 4 s，求物体的初速度、末速度及加速度。思路点拨 画出该物体的运动过程如图所示，物体由 A 经 B 到 C，其中 B 是中间时刻。根据题目要求可选用不同方法进行求解。- 6 -解析 方法一：基本公式法由位移公式得 x1 vAT aT2， x2 vA2T a(2T)2 ， vC vA a2T，12 12 (vAT 12aT2)将 x1
11、24 m， x264 m， T4 s 代入以上各式，联立解得 a2.5 m/s 2， vA1 m/s， vC21 m/s。方法二：平均速度公式法连续两段时间 T 内的平均速度分别为1 m/s6 m/s， 2 m/s16 m/s。vx1T 244 v x2T 644由于 B 是 A、 C 的中间时刻，则 1 ， 2 ，vvA vB2 v vB vC2又 vB m/s11 m/s。vA vC2 v1 v22 6 162解得 vA1 m/s， vC21 m/s，其加速度 a m/s22.5 m/s 2。vC vA2T 21 124方法三：位移差公式法由 x aT2可得 a m/s22.5 m/s 2
12、； xT2 64 2442又 x1 vAT aT2， vC vA a2T，解得 vA1 m/s， vC21 m/s。12答案 1 m/s 21 m/s 2.5 m/s 2“一题多解、优中选优”运动学问题一般具有多种分析方法，在解题时应培养自己用多种方法进行分析及解答的能力，找出最优解法，以便快速解题。 1一列做匀加速直线运动的火车，从某时刻开始计时，第 1 min 内火车前进了 240 m，第 6 min 内火车前进了 1 140 m，则该火车的加速度为( )A0.01 m/s 2 B0.03 m/s 2C0.05 m/s 2 D0.1 m/s 2解析：选 C 对于匀变速直线运动有 x aT2。此题中 T60 s， x1240 m， x61 140 m，所以 a 0.05 m/s 2。故 C 正确。x6 x15T22.一质点沿 AD 直线做匀加速运动，如图所示，测得它通过 AB、 BC、 CD 三段的时间均为- 7 -t，且位移 AC L1， BD L2，求质点的加速度。解析：设 AB x1、 BC x2、 CD x3，则 x2 x1 at2， x3 x2 at2，两式相加得 x3 x12 at2，由图可知 L2 L1( x3 x2)( x2 x1) x3 x1，则 a 。L2 L12t2答案：L2 L12t2
