1、12.4 基本不等式及其应用最新考纲 考情考向分析掌握基本不等式 (a， b0)及其应aba b2用.理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值常与函数、解析几何、不等式相结合考查，加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识常在解答题中考查，难度为中档.1基本不等式： aba b2(1)基本不等式成立的条件： a0， b0.(2)等号成立的条件：当且仅当 a b时取等号2几个重要的不等式(1)a2 b22 ab(a， bR)(2) 2( a， b同号)ba ab(3)ab 2 (a， bR)(a b2 )(4) 2 (a， bR)a2 b22 (a b2 )以上不等式等号成立
2、的条件均为 a b.3算术平均数与几何平均数设 a0， b0，则 a， b的算术平均数为 ，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为两个a b2 ab正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知 x0， y0，则(1)如果积 xy是定值 p，那么当且仅当 x y时， x y有最小值 2 .(简记：积定和最小)p(2)如果和 x y是定值 p，那么当且仅当 x y时， xy有最大值 .(简记：和定积最大)p242概念方法微思考1若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示 不一定若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无
3、最大值2函数 y x 的最小值是 2吗？1x提示 不是因为函数 y x 的定义域是 x|x0，当 x0且 y0”是“ 2”的充要条件( )xy yx(3)(a b)24 ab(a， bR)( )(4)若 a0，则 a3 的最小值为 2 .( )1a2 a(5)不等式 a2 b22 ab与 有相同的成立条件( )a b2 ab(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项( )题组二 教材改编2P100A 组 T1设 x0， y0，且 x y18，则 xy的最大值为( )A80B77C81D82答案 C解析 x0， y0， ，x y2 xy即 xy 281，当且仅当 x y9 时，( xy)max
4、81.(x y2 )3P100A 组 T2若把总长为 20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.答案 25解析 设矩形的一边为 xm，面积为 ym2则另一边为 (202 x)(10 x)m,00”是“ x 2 成立”的( )1xA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 C解析 当 x0时， x 2 2.1x x1x因为 x， 同号，所以若 x 2，则 x0， 0，所以“ x0”是“ x 2 成立”的充要条1x 1x 1x 1x件，故选 C.5若正数 x， y满足 3x y5 xy，则 4x3 y的最小值是( )A2B3C4D5答案 D解析 由
5、3x y5 xy，得 5，3x yxy 3y 1x所以 4x3 y(4 x3 y)15(3y 1x)15(4 9 3yx 12xy) (492 )5，15 36当且仅当 ，即 y2 x时，等号成立，3yx 12xy故 4x3 y的最小值为 5.故选 D.6(2018温州市适应性考试)已知 2a4 b2( a， bR)，则 a2 b的最大值为_答案 0解析 因为 22 a4 b2 ，当且仅当 a b0 时等号成立，所以 a2 b0，即2a 2ba2 b的最大值为 0.题型一 利用基本不等式求最值4命题点 1 配凑法例 1(1)已知 00时， x (a0)的最小值为 3，则实数 a的值为_ax 1
6、答案 4解析 因为当 x0， a0时， x x1 12 1，当且仅当 x1 时，ax 1 ax 1 a ax 1等号成立，又 x (a0)的最小值为 3，所以 2 13，解得 a4.ax 1 a命题点 2 常数代换法例 2(2018浙江部分重点中学调研)已知 a0， b0，且满足 a2 b2.若不等式 abt( t2)a b1 恒成立，则实数 t的取值范围是_答案 ( ，94解析 因为对于任意的 a0， b0， a2 b2，不等式 abt( t2) a b1 恒成立，即 1a t恒成立因为 1 ，当且仅2b 1 1a 2b 1 (1a 2b 1)(a4 b 12 ) 54 b 12a a2b
7、1 54 94当 ，即 a b1 ， b 时，取到最小值，所以 t .b 12a a2b 1 43 13 94命题点 3 消元法例 3已知正实数 a， b满足 a2 b40，则 u ( )2a 3ba bA有最大值 B有最小值145 145C有最小值 3 D有最大值 3答案 B解析 a2 b40， b a24， a b a2 a4.5又 a， b0， ，aa b aa2 a 4 ，aa b aa2 a 4 u 3 32a 3ba b aa b aa2 a 43 3 ，1a 4a 112 a4a 1 145当且仅当 a2， b8 时取等号故选 B.思维升华 (1)前提：“一正” “二定” “三相
8、等” (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法跟踪训练 1(1)(2018杭州高级中学高考仿真测试)若正数 x， y满足 x22 xy10，则2x y的最小值是( )A. B. C. D.22 2 32 3答案 D解析 由 x22 xy10，得 y ，所以 2x y2 x x 12x x2 12x x2 32 12x 12 (3x 1x) ，当且仅当 3x ，即 x 时，等号成立，此时 y ，符合题意，所以3x1x 3 1x 33 332x y的最小值为 ，故选 D
9、.3(2)(2018浙江绍兴一中模拟)已知 x， y0，且 x y ，则 的最小值是1x 12y 194 3x 716y_答案 14解析 因为 x y ，所以 x y x y 1x 12y 194 3x 716y 3x 716y 1x 12y 194 4x 116y ，当且仅当 x ， y ，即 x2， y 时，取等号194 92 194 14 4x 116y 14题型二 基本不等式的综合应用命题点 1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题6例 4在 ABC中，点 P满足 2 ，过点 P的直线与 AB， AC所在直线分别交于点 M， N，若BP PC m ， n (m0， n0)，则 m2 n的
10、最小值为( )AM AB AN AC A3B4C. D.83 103答案 A解析 AP AB BP AB 23(AC AB ) ，13AB 23AC 13mAM 23nAN M， P， N三点共线， 1，13m 23n m2 n( m2 n)(13m 23n) 13 43 2n3m 2m3n 253 2n3m2m3n 3，53 43当且仅当 m n1 时等号成立命题点 2 求参数值或取值范围例 5(2018杭州七校联考)设 x， y是正实数，若不等式 a 恒x4x y yx 4y xx 4y y4x y成立，则实数 a的值是_答案 25解析 令 t 0，则 yx x4x y yx 4y 14
11、yxyx1 4yx 14 t t1 4t 14 t 14 16t 14 ，当且仅当 t1，即4 16t 4 t4 t4 16t 14 15t16 68t 16t2 14 1516t 16t 68 14 15100 14 257x y时，取等号，所以 a .又25 1 11xx 4y y4x y 11 4yxyx4 yx 11 4t t4 t 11 4t 44 t 4 t 4 16t1 4t4 t1 1 ，当且仅当 t1，即 x y时，取等号，所以 a .15t4 17t 4t2 154t 4t 17 1525 25 25综上， a .25跟踪训练 2(2018金华名校统练)已知正实数 x， y
12、满足 x y0， x y20，若m 恒成立，则实数 m的取值范围是_2x 3y 1x y答案 ( ，3 224 解析 2x 3y 1x y ( 2x 3y 1x y) 44 ( 2x 3y 1x y) (2x 2y4 ) (2x 3y 1x y) x 3y y x4 143 2x yx 3y x 3yx y ，14(3 2 2x yx 3yx 3yx y) 3 224当且仅当 x y2， 时取等号，2x yx 3y x 3yx y此时 x2 1， y32 ，符合题意，2 2所以 的最小值为 ，即 m .2x 3y 1x y 3 224 3 224利用基本不等式求解实际问题数学建模是对现实问题进
13、行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题例某厂家拟在 2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x万件与年促销费用 m万元( m0)满足 x3 (k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品km 18的年销售量只能是 1万件已知 2019年生产该产品的固定投入为 8万元每生产 1万件该产品需要再投入 16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将
14、 2019年该产品的利润 y万元表示为年促销费用 m万元的函数；(2)该厂家 2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解 (1)由题意知，当 m0 时， x1，13 k，解得 k2， x3 ，2m 1每万件产品的销售价格为 1.5 (万元)，8 16xx2019 年的利润 y1.5 x 816 x m8 16xx48 x m48 m(32m 1) 29( m0)16m 1 m 1(2) m0 时， ( m1)2 8，16m 1 16 y82921，当且仅当 m1，16m 1即 m3(万元)时，ymax21(万元)故该厂家 2019年的促销费用投入 3万元时，厂家的利润最大为 21万
15、元素养提升 利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值1函数 f(x) 的最小值为( )x2 4|x|A3B4C6D8答案 B解析 f(x) | x| 2 4，x2 4|x| 4|x| 49当且仅当 x2 时，等号成立，故选 B.2若 x0， y0，则“ x2 y2 ”的一个充分不必要条件是( )2xyA x y B x2 yC x2 且 y1 D x y或 y1答案 C解析 x0， y0， x2 y2 ，当且仅当 x2 y时取等号2xy故“ x2 且 y1”是“ x2 y2 ”的充分不必要条件故选 C.2xy3已知正数 a，
16、b满足 a b1，则 的最小值为( )4a 1bA. B3C5D953答案 D解析 由题意知，正数 a， b满足 a b1，则 (a b)4a 1b (4a 1b)41 52 9，4ba ab 4baab当且仅当 ，即 a ， b 时等号成立，4ba ab 23 13所以 的最小值为 9，故选 D.4a 1b4.几何原本卷 2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点 F在半圆 O上，点 C在直径 AB上，且 OF AB，设AC a， BC b，则该图形可以完成的无
17、字证明为( )A. (a0， b0)a b2 abB a2 b22 (a0， b0)abC. (a0， b0)2aba b abD. (a0， b0)a b2 a2 b22答案 D10解析 由 AC a， BC b，可得圆 O的半径 r ，a b2又 OC OB BC b ，a b2 a b2则 FC2 OC2 OF2 ，a b24 a b24 a2 b22再根据题图知 FO FC，即 ，当且仅当 a b时取等号故选 D.a b2 a2 b225(2018杭州模拟)若实数 x， y， z满足 2x2 y2 x y,2x2 y2 z2 x y z，则 z的最大值为( )A2log 23 B2lo
18、g 23C. Dlog 2343答案 A解析 因为 2x y2 x2 y2 2 (当且仅当 x y时取等号)，所以 2x y4.2x2y 2x y又 2x2 y2 z2 x y z，所以 2x y2 z2 x y2z，所以 2z 1 ，由2x y2x y 1 12x y 12x y4 得 2z的最大值为 ，从而 z的最大值为 2log 23.436(2018嘉兴市教学测试)已知 x y 8( x0， y0)，则 x y的最小值为( )1x 4yA5 B9C4 D103 26答案 B解析 由题意可知( x y)2( x y) 58( x y) ，由基本不等式可知(1x 4y 8) (yx 4xy
19、) 2 4(当且仅当 y2 x时取等号)，令 t x y(t0)，则 t258 t4，即yx 4xy yx4xyt28 t9( t9)( t1)0，得 t9，从而当 x3， y6 时， x y取得最小值，最小值为 9，故选 B.7.(2019浙江教育绿色评价联盟适应性考试)如图，在 ABC中，点 D， E是线段 BC上两个动点，且 x y ，则 的最小值为( )AD AE AB AC 1x 4yA. B2C. D.32 52 92答案 D11解析 设 m n ， ，AD AB AC AE AB AC B， D， E， C共线， m n1， 1， x y ，AD AE AB AC (m )AB
20、(n )AC 则 x y m n 2， ，当且仅当 x ， y 时，等号成1x 4y 12(1x 4y)(x y) 12(5 yx 4xy) 12(5 2yx4xy) 92 23 43立故 的最小值为 ，故选 D.1x 4y 928(2018湖州五校模拟)已知 x23 xy2 y21( x， yR)，则 x2 y2的最小值为( )A. 6 B. 610 10C2 6 D2 610 10答案 D解析 方法一 x23 xy2 y2( x y)(x2 y)1，可设 x y t， x2 y (t0)，1t x2 t ， y t ，代入所求式子得1t 1tx2 y2 2 25 t2 62 6，当且仅当
21、5t2 时等号成立，(2t1t) (t 1t) 2t2 10 2t2 x2 y2的最小值为 2 6.10方法二 设 x2 y2 t2， x tcos ， y tsin ，代入已知等式得，t2cos2 3 t2sin cos 2 t2sin2 1， cos 2 3sin cos 2sin 2 1 sin2 (3sin2 cos2 )1t2 32 1 cos22 32 12 sin(2 ) ，其中 sin ，cos .32 12 10 3 102 1010 31010 t2 2 6，23 10 10 x2 y2的最小值为 2 6.109(2018绍兴市适应性考试)已知正数 x， y满足 2x y2
22、，则当 x_时， y1x取得最小值为_答案 2 222 2解析 因为 x， y为正数，则 2x y2 y22 x000，2mn 2mn 2mn 2mn则 t22 t6，解得 t2 或 t6，又 t0， t6，即 6， mn18，当且仅当12 2mn2m n6 时，等号成立，故 mn的最小值为 18.12(2018绍兴市上虞区质检)若实数 x， y， z满足 x2 y3 z1， x24 y29 z21，则z的最小值是_答案 19解析 因为 19 z2( x2 y)22 x2y( x2 y)22 2，又 x2 y13 z，则(x 2y2 )19 z2 (13 z)2，解得 z ，即 z的最小值为
23、.12 19 13 1913(2018浙江知名重点中学考前热身联考)已知实数 x， y满足 x2 y3 xy，且对任意的实数 x(2，)， y(1，)，不等式( x y3) 2 a(x y3)10 恒成立，则实数 a的取值范围是( )A. B(，2 ( ，21510 513C2 ，) D.5 21510， )答案 A解析 因为 x(2，)， y(1，)，所以 x y30，所以不等式( x y3)2 a(x y3)10 可转化为( x y3) a.令 t x y3， t0，则 f(t)1x y 3 t a，且函数 f(t)在区间1，)上单调递增1t方法一 等式 x2 y3 xy可化为( x2)(
24、 y1)5，令 m x2， n y1，则m0， n0，且 mn5，则 t m n2 2 ，当且仅当 m n，即 x y1，即mn 5x2 ， y1 时等号成立，故 f(t) f(2 )2 ，所以 a .5 5 5 5125 21510 21510方法二 x2 y3 xy可化为 y1 (x2)，故直线 x y3 t0 与函数 y15x 2(x2)的图象有公共点，当两者相切时是临界位置，此时 y 1，得5x 2 5x 22x2 ， y1 ，此时， t2 ，数形(图略)结合可知当 t2 时，符合题意，故5 5 5 5f(t) f(2 )2 ，所以 a .5 5125 21510 2151014对任意
25、实数 x1， y ，不等式 1 恒成立，则实数 a的最大值为( )12 x2a22y 1 4y2a2x 1A2B4C. D2142 2答案 D解析 依题意得 a2 .x22y 1 4y2x 1令 x1 m0,2y1 n0，则 2 8，x22y 1 4y2x 1 m 12n n 12m 2m2n 2n2m 4mn 4nm 4mn4nm即 8，x22y 1 4y2x 1当且仅当 m n1 时取等号，因此 的最小值是 8，x22y 1 4y2x 1从而 a28，2 a2 ，且 a0，2 2故实数 a的最大值是 2 .21415(2018宁波模拟)已知 x， y均为非负实数，且 x y1，则 4x24
26、 y2(1 x y)2的取值范围为( )A. B1,423， 4C2,4 D2,9答案 A解析 因为 x0， y0，所以 x2 y2( x y)2，则 4x24 y2(1 x y)x y2224( x2 y2)1( x y)24( x y)21( x y)25( x y)22( x y)1，又因为0 x y1，所以 4x24 y2(1 x y)25( x y)22( x y)14，当且仅当 xy0 且x y1，即Error!或Error! 时，等号成立；另一方面 4x24 y2(1 x y)24( x2 y2)1( x y)22( x y)21( x y)23( x y)22( x y)1，又
27、因为 0 x y1，所以 4x24 y2(1 x y)23( x y)22( x y)1 ，当且仅当 x y且 x y ，即23 13x y 时，等号成立综上所述，4 x24 y2(1 x y)2 ，故选 A.16 23， 416(2018杭州学军中学模拟)若 x， yR 满足 2sin2(x y1) ，x 12 y 12 2xyx y 1则 xy的最小值为_答案 2216解析 2sin 2(x y1) x 12 y 12 2xyx y 1 x2 2x 1 y2 2y 1 2xyx y 1 x y1 ，又因为 2sin2(x y 1)0,2，x y 12 1x y 1 1x y 1x y1 2 或 x y1 2，所以 x y1 2，此时Error!1x y 1 1x y 1 1x y 1即Error! 则 2x1 k， kZ，解得 x ， kZ，则2 4 12 k2xy x2 2， kZ，所以当 k1 时， xy 2取得最小值 .(4 12 k2) (4 12 k2) 221615
