1、16.3 平面向量的数量积最新考纲 考情考向分析1.理解平面向量数量积的概念及其几何意义2.掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系3.会用坐标表示平面向量的平行与垂直.主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模长以及判断两个平面向量的平行与垂直关系一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.1向量的夹角已知两个非零向量 a 和 b，作 a， b，则 AOB 就是向量 a 与 b 的夹角，向量夹角的OA OB 范围是0，2平面向量的数量积定义设两个非零向量 a， b 的夹角为 ，
2、则数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积，记作ab投影|a|cos 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，|b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影几何意义数量积 ab 等于 a 的长度| a|与 b 在 a 的方向上的投影| b|cos 的乘积3.向量数量积的运算律(1)ab ba.(2)( a)b (ab) a( b)(3)(a b)c ac bc.4平面向量数量积的有关结论已知非零向量 a( x1， y1)， b( x2， y2)， a 与 b 的夹角为 .2结论 几何表示 坐标表示模 |a| aa |a| x21 y21夹角 cos ab|a|b| cos x1x2 y1
3、y2x21 y21x2 y2a b 的充要条件 ab0 x1x2 y1y20|ab|与| a|b|的关系 |ab| a|b|x1x2 y1y2| x21 y21x2 y2概念方法微思考1 a 在 b 方向上的投影与 b 在 a 方向上的投影相同吗？提示 不相同因为 a 在 b 方向上的投影为| a|cos ，而 b 在 a 方向上的投影为| b|cos ，其中 为 a 与 b 的夹角2两个向量的数量积大于 0，则夹角一定为锐角吗？提示 不一定当夹角为 0时，数量积也大于 0.题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量(
4、)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量( )(3)由 ab0 可得 a0 或 b0.( )(4)(ab)c a(bc)( )(5)两个向量的夹角的范围是 .( )0， 2(6)若 ab0”是“ a 与 b 的夹角为锐角”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 B解析 根据向量数量积的定义式可知，若 ab0，则 a 与 b 的夹角为锐角或零角，若 a 与b 的夹角为锐角，则一定有 ab0，所以“ ab0”是“ a 与 b 的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选 B.2(2018台州调研)已知向量 a(2,1)， b(1,
5、3)，则向量 2a b 与 a 的夹角为( )A135B60C45D30答案 C解析 由题意可得 2a b2(2,1)(1,3)(3，1)，则|2 a b| ，32 12 10|a| ，22 12 5且(2 a b)a(3，1)(2,1)615，设所求向量的夹角为 ，由题意可得cos ，2a ba|2a b|a| 5105 22则向量 2a b 与 a 的夹角为 45.93已知向量 a， b 满足| a|1，| b|2，且 a b( ， )，则|2 a b|等于( )3 2A2 B. C. D22 17 15 5答案 A解析 根据题意，| a b| ，3 2 5则( a b)2 a2 b22
6、ab52 ab5，可得 ab0，结合| a|1，| b|2，可得(2 a b)24 a2 b24 ab448，则 2 ，故选 A.|2a b| 24(2018宁波质检)在 ABC 中，| | |， AB2， AC1， E， F 为 BC 的三等AB AC AB AC 分点，则 等于( )AE AF A. B. C. D.89 109 259 269答案 B解析 由| | |，化简得 0，又因为 AB 和 AC 为三角形的两条边，它AB AC AB AC AB AC 们的长不可能为 0，所以 AB 与 AC 垂直，所以 ABC 为直角三角形以 A 为原点，以 AC 所在直线为 x 轴，以 AB
7、所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(0,0)， B(0,2)， C(1,0)不妨令 E 为 BC 的靠近 C 的三等分点，则 E ， F ，(23， 23) (13， 43)所以 ， ，AE (23， 23) AF (13， 43)所以 .AE AF 23 13 23 43 1095已知两个单位向量 a 和 b 的夹角为 60，则向量 a b 在向量 a 方向上的投影为( )A1B1C D.12 12答案 D解析 由题意可得| a| b|1，且 ab| a|b|cos60 ，12a(a b) a2 ab1 ，12 1210则向量 a b 在向量 a 方向上的投影为 .故选
8、D.a ba|a| 121 126(2018温州“十五校联合体”联考)已知向量 a， b 的夹角为 ，| a b|6，| a b|2 ，则 的取值范围是( )3A0 B. 3 3 2C. D0 6 2 23答案 A解析 由| a b|6，得| a|22 ab| b|236，由| a b|2 ，3得| a|22 ab| b|212，由得| a|2| b|224，且 ab6，从而有 cos ，ab|a|b| 2ab|a|2 |b|2 12又 0 ，故 0 . 37若平面向量 a， b 满足 b7，| a| ，| b|2，则向量 a 与 b 的夹角为(a b) 3_答案 6解析 ( a b)b ab
9、 b27， ab7 b23.设向量 a 与 b 的夹角为 ，则 cos .ab|a|b| 323 32又 0 ， ， 6即向量 a 与 b 的夹角为 . 68已知 a( ，2 )， b(3 ，2)，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则 的取值范围是_答案 ( ， 43) (0， 13) (13， )11解析 a 与 b 的夹角为锐角，则 ab0 且 a 与 b 不共线，则Error!解得 ，所以 的取值范围是43 13 13 .( ， 43) (0， 13) (13， )9(2018浙江名校协作体试题)已知在 ABC 中， AB3， BC ， AC2，且 O 是 ABC7的外心，则 _， _.A
10、O AC AO BC 答案 2 52解析 因为 O 是 ABC 的外心，所以向量 在向量 上的投影 1，向量 在向量AO AC AO AC |AC | AO 上的投影为 ，所以 2， ，所以 2AB AO AB |AB | 32 AO AC AO AB 92 AO BC AO AC AO AB .92 5210(2018温州市高考适应性测试)若向量 a， b 满足( a b)2 b2| a|3，且| b|2，则a 在 b 方向上的投影的取值范围是_答案 32， 0)解析 由( a b)2 b2| a|3，得( a b)2 b2| a|22 ab| b|2| b|292 ab3，解得 ab3，又
11、因为| b|2，则向量 a 在向量 b 方向上的投影为 .ab|b| 32， 0)11已知| a|4，| b|3，( 2a3 b)(2a b)61.(1)求 a 与 b 的夹角 ；(2)求| a b|；(3)若 a， b，求 ABC 的面积AB BC 解 (1)因为(2 a3 b)(2a b)61，所以 4|a|24 ab3| b|261.又| a|4，| b|3，所以 644 ab2761，所以 ab6，所以 cos .ab|a|b| 643 1212又 0 ，所以 .23(2)|a b|2( a b)2| a|22 ab| b|24 22(6)3 213，所以| a b| .13(3)因为
12、 与 的夹角 ，AB BC 23所以 ABC .23 3又| | a|4，| | b|3，AB BC 所以 S ABC | | |sin ABC12AB BC 43 3 .12 32 312已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，求 ( )的最小PA PB PC 值解 方法一 设 BC 的中点为 D， AD 的中点为 E，则有 2 ，PB PC PD 则 ( )2 PA PB PC PA PD 2( )( )PE EA PE EA 2( 2 2)PE EA 而 2 2 ，AE (32) 34当 P 与 E 重合时， 2有最小值 0，PE 故此时 ( )取最小值，
13、PA PB PC 最小值为2 22 .EA 34 3213方法二 以 AB 所在直线为 x 轴， AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则 A(1,0)， B(1,0)， C(0， )，3设 P(x， y)，取 BC 的中点 D，则 D .(12， 32)( )2 PA PB PC PA PD 2(1 x， y)(12 x， 32 y)2 x 1(x 12) y(y 32)2 .(x 14)2 (y 34)2 34因此，当 x ， y 时，14 34( )取最小值，为 2 .PA PB PC ( 34) 3213(2018浙江名校联盟联考)已知在 ABC 中， AB4， AC2， AC
14、BC， D 为 AB 的中点，点 P 满足 ，则 ( )的最小值为( )AP 1aAC a 1aAD PA PB PC A2B C D289 258 72答案 C解析 由 知点 P 在直线 CD 上，以点 C 为坐标原点， CB 所在直线为 x 轴，AP 1aAC a 1aAD CA 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,2)， B(2 ，0)， C(0,0)， D(3， 1)，直线 CD 的方程为 y x， 333设 P ，则 ，(x，33x) PA ( x， 2 33x)14 ， ，PB (23 x， 33x) PC ( x， 33x) ，PB PC (23 2x，
15、233x) ( ) x(2 2 x) x2 xPA PB PC 3 23 433 x2 x 2 ，83 1033 83(x 538) 258当 x 时， ( )取得最小值 .538 PA PB PC 25814(2018杭州质检)记 M 的最大值和最小值分别为 Mmax和 Mmin.若平面向量 a， b， c 满足|a| b| ab c(a2 b2 c)2.则( )A| a c|max3 72B| a c|max3 72C| a c|min3 72D| a c|min .3 72答案 A解析 由题意，建立平面直角坐标系(图略)，不妨取 a(2,0)， b(1， )，则3a2 b(4,2 )设
16、c( x， y)，3由 c(a2 b2 c)2 得( x1) 2 2 ，(y32) 34即 c 对应的点在以 为圆心， 为半径的圆上，(1，32) 32则| a c|max .故选 A.2 12 (0 32)2 32 3 7215已知 ， 是非零不共线的向量，设 ，定义点集 AError!，当OP OQ OM 1m 1OP mm 1OQ F1， F2 A 时，若对于任意的 m3，当 F1， F2不在直线 PQ 上时，不等式 k 恒成立，|F1F2 | |PQ |则实数 k 的最小值为_答案 3415解析 由 (m3)，OM 1m 1OP mm 1OQ 可得 P， Q， M 三点共线，且( m1
17、) m ，OM OP OQ 即 m m ，即 m ，所以 m，OM OM OP OQ QM MP PMQM由 AError! ，可得 cos PFM cos QFM，|FM | |FM |即 PFM QFM，则 FM 为 PFQ 的角平分线，由角平分线的性质定理可得 m，PFQF PMQM以 P 为坐标原点， PQ 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则 P ， Q(0， 0)， F(x， y)，(1 m， 0)于是 m，x2 y2(x 1 m)2 y2化简得 2 y2 2，(xm21 m) ( mm 1)故点 F(x， y)是以 为圆心， 为半径的圆要使得不等式 对 m3(m2m
18、 1， 0) mm 1 |F1F2 | k|PQ |恒成立，只需 2 k ，即 k mm 1 (m 1) 2mm2 1 2m 1m对 m3 恒成立， k .23 13 3416(2019嘉兴质检)已知| c|2，向量 b 满足 2|b c| bc.当 b， c 的夹角最大时，求|b|的值解 设 b， c，则 BOC 即向量 b， c 的夹角， b c .由 2|b c| bc，OB OC CB 可知 2| |2| |cos BOC，BC OB 从而 cos BOC 0.|BC |OB |若| |0，则 BOC0，不符合题意；BC 若| |0，则 BOC 为锐角，BC 16设 OB m， BC n，则 cos BOC ，在 OBC 中，nm由余弦定理可知 cos BOC ，OC2 OB2 BC22OCOB 4 m2 n24m所以 ，4 m2 n24m nm即 m2 n24 n4，从而 cos2 BOC n2m2 n2n2 4n 4 ，1 (2n 1)2 2所以当 n2 时，cos 2 BOC 取得最小值 ， BOC 取得最大值，为 ，此时| b| m12 42 .n2 4n 4 2
