1、1第 2 课时 导数与函数的极值、最值题型一 用导数求解函数极值问题命题点 1 根据函数图象判断极值例 1 设 f(x)是一个三次函数， f( x)为其导函数，如图所示的是 y xf( x)的图象的一部分，则 f(x)的极大值与极小值分别是( )A f(2)与 f(2) B f(1)与 f(1)C f(2)与 f(2) D f(1)与 f(1)答案 A解析 由图象知，当 x0；当22 时， f( x)0.所以 f(x)在区间(，2)上为增函数，在区间(2,2)上为减函数，在区间(2，)上为增函数，所以 f(x)的极大值与极小值分别是 f(2)与 f(2)命题点 2 求函数的极值例 2 设函数
2、f(x)ln( x1) a(x2 x)，其中 aR.讨论函数 f(x)极值点的个数，并说明理由解 f( x) a(2x1)1x 1 (x1)2ax2 ax a 1x 1令 g(x)2 ax2 ax a1， x(1，)当 a0 时， g(x)1，此时 f( x)0，函数 f(x)在(1，)上单调递增，无极值点当 a0 时， a28 a(1 a) a(9a8)a当 0 时， 0，89设方程 2ax2 ax a10 的两根为 x1， x2(x1 .12 14 14由 g(1)10，可得10， f( x)0，函数 f(x)单调递增；当 x( x1， x2)时， g(x)0， f( x)0，函数 f(x
3、)单调递增因此函数有两个极值点当 a0，由 g(1)10，可得 x10， f( x)0，函数 f(x)单调递增；当 x( x2，)时， g(x) 时，函数 f(x)有两个极值点89命题点 3 根据极值求参数例 3 (1)函数 f(x)e x mx21 在 x0 处的切线方程为_，若函数 f(x)有两个极值点，则实数 m 的取值范围为_答案 x y20 (e2， )解析 f( x)e x2 mx， f(0)1， f(0)2，所以函数 f(x)在 x0 处的切线方程为x y20.由题意可知， f( x)e x2 mx0 有两个根，即 2m 有两个根记 g(x)exx，则 g( x) ，在(，0)，
4、(0,1)上， g( x)0.exx exx 1x2所以当 x0 时， g(x)0 且在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以只需 2mg(1)e，故 m .e2(2)(2018金华十校期末考试)已知函数 f(x) x32 x2 ax1 在(1,1)上恰有一个极值点，则实数 a 的取值范围是_答案 1,7)3解析 由题意可知 f( x)3 x24 x a0 有两个不等根，其中一个在(1,1)上，另一个不在该区间上因为导函数 f( x)的对称轴是 x ，所以只能是一根在 上，另23 ( 23， 1)一根在(，1上，所以Error!解得1 a0， f(x)在 x1 处取到极小值故选 C.
5、(2)若函数 f(x) (12 a)x2ln x(a0)在区间 内有极大值，则 a 的取值范围是( )ax22 (12， 1)A. B(1，)(1e， )C(1,2) D(2，)答案 C解析 f( x) ax(12 a) (a0， x0)，若 f(x)在区间 内2x ax2 2a 1x 2x (12， 1)有极大值，4即 f( x)0 在 内有解，且 f( x)在区间 内先大于 0，再小于 0，(12， 1) (12， 1)则Error! 即Error!解得 10，由 ke，则 x a，则实数 a 的取值x22范围是_答案 ( ，72)解析 由题意知， f( x)3 x2 x2，令 f( x)
6、0，得 3x2 x20，解得 x1 或 x ，23又 f(1) ， f ， f(1) ， f(2)7，72 ( 23) 15727 112故 f(x)min ， a0)的导函数 y f( x)的两个零点为3 和 0.ax2 bx cex(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)的极小值为e 3，求 f(x)在区间5，)上的最大值解 (1) f( x)2ax bex ax2 bx cexex2 . ax2 2a bx b cex令 g(x) ax2(2 a b)x b c，因为 ex0，所以 y f( x)的零点就是 g(x) ax2(2 a b)x b c 的零点且 f( x)与 g(x
7、)符号相同又因为 a0，所以当30，即 f( x)0，6当 x0 时， g(x)5 f(0)，5e 5所以函数 f(x)在区间5，)上的最大值是 5e5.思维升华(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论(3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值跟踪训练 3 已知函数 f(x) ax32 x24 x5，当 x 时，函数 f(x)有极值，则函数 f(x)23在3,1上的最大值为_答案 13
8、解析 f( x)3 ax24 x4，由 f 0 可得 a1，经验证 f 为极值；(23) (23) f(x) x32 x24 x5， f( x)3 x24 x4.令 f( x)0，解得 x2 或 x .23当 x 变化时， f( x)， f(x)的取值及变化情况如表所示：x 3 (3，2) 2 ( 2， 23) 23 (23， 1) 1f( x) 0 0 f(x) 8 13 9527 47函数 f(x)在3,1上的最大值为 13.利用导数求函数的最值例(15 分)已知函数 f(x)ln x ax(aR)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 a0 时，求函数 f(x)在1,2上的最小值规范
9、解答 解 (1) f( x) a(x0)，1x当 a0 时， f( x) a0，即函数 f(x)的单调递增区间为(0，)3 分1x当 a0 时，令 f( x) a0，可得 x ，1x 1a当 00；1a 1 axx当 x 时， f( x) 0 时，函数 f(x)的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .7 分(0，1a) (1a， )(2)当 1，即 a1 时，函数 f(x)在1,2上是减函数，所以 f(x)的最小值是 f(2)1aln22 a.9 分当 2，即 00， f(x)为增函数，当 x10，解得 c 或 c0， b0)在 x1 处13 12取得极小值，则 的最小值为( )1a 4bA4B
10、5C9D10答案 C解析 由 f(x) ax3 bx2 x(a0， b0)，得 f( x) ax2 bx1，则 f(1)13 12 a b10， a b1， 1 (a b)1a 4b (1a 4b) (1a 4b)5 52 9，当且仅当 ，即 a ， b 时，等号成立，故选 C.ba 4ab ba4ab ba 4ab 13 23106已知函数 f(x) x3 ax2 bx a2在 x1 处有极值 10，则 f(2)等于( )A11 或 18 B11C18 D17 或 18答案 C解析 函数 f(x) x3 ax2 bx a2在 x1 处有极值 10， f(1)10，且 f(1)0，又f( x)
11、3 x22 ax b，Error! 解得Error!或Error!而当Error! 时，函数在 x1 处无极值，故舍去 f(x) x34 x211 x16， f(2)18.7(2018衢州质检)已知函数 f(x) x32 ax21 在 x1 处的切线的斜率为 1，则实数a_，此时函数 y f(x)在0,1上的最小值为_答案 12 2327解析 由题意得 f( x)3 x24 ax，则有 f(1)31 24 a11，解得 a ，所以12f(x) x3 x21，则 f( x)3 x22 x，当 x0,1时，由 f( x)3 x22 x0 得 0 时，e x0)的极大值是正数，极小值是负数，则 a
12、的取值范围是_答案 (22， )解析 f( x)3 x23 a23( x a)(x a)，由 f( x)0 得 x a，当 aa 或 x0，函数 f(x)单调递增， f(x)的极大值为 f( a)，极小值为 f(a) f( a) a33 a3 a0 且 f(a) a33 a3 a . a 的取值范围是 .22 (22， )10已知函数 f(x) x3 ax24 在 x2 处取得极值，若 m1,1，则 f(m)的最小值为_答案 4解析 f( x)3 x22 ax，由 f(x)在 x2 处取得极值知 f(2)0，即342 a20，故 a3.由此可得 f(x) x33 x24.f( x)3 x26
13、x，由此可得 f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，当 m1,1时， f(m)min f(0)4.11设函数 f(x) alnx bx2(x0)，若函数 f(x)在 x1 处与直线 y 相切12(1)求实数 a， b 的值；(2)求函数 f(x)在 上的最大值1e， e解 (1) f( x) 2 bx，ax函数 f(x)在 x1 处与直线 y 相切，12Error! 解得Error!(2)由(1)知， f(x)ln x x2，12f( x) x ，1x 1 x2x当 xe 时，令 f( x)0，得 x0 时， f(x)在1，e上单调递增，则 f(x)在1，e上的最大值为 f(
14、e) a.故当 a2 时， f(x)在1，e上的最大值为 a；当 a0，且 a1，则函数 f(x)( x a)2lnx( )A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值，又有极小值D既无极大值，又无极小值答案 C解析 由题意 f( x)2( x a)lnx ( x a) (x0)，由 f( x)0x a2x (2lnx 1 ax)得 x a 或 2lnx1 0，由函数 y2ln x 与 y 1( a0 且 a1)的图象知方程ax ax132lnx1 0 也有解 x x0，根据函数的单调性与极值的关系，当 01 时， x a 为函数 f(x)的极小值点，x x0为 f(x)的极大值点，故
15、函数 f(x)( x a)2lnx 既有极大值，也有极小值，故选 C.14(2018台州模拟)已知函数 f(x) aex2 x2 a，且 a1,2，设函数 f(x)在区间0，ln 2上的最小值为 m，则 m 的取值范围是_答案 2，2ln 2解析 g(a) f(x) a(ex2)2 x 是关于 a 的一次函数，当 x0，ln2)时，e x20)， f( x)ln x1 mex(x0)，由函数 f(x)有两个极值点可得 y m 和 g(x) 在(0，)上有两个交点，lnx 1exg( x) (x0)，令 h(x) ln x1，1x lnx 1ex 1x则 h( x) 0，函数 f(x)单调递增(
16、2)f( x) x(ex2 a)当 a0 时，e x2 a0.x(，0)时， f( x)0，函数 f(x)单调递增，x0 时，函数 f(x)取极小值 f(0)1.当 a0 时，令 f( x) x(ex2 a)0，解出 x10 或 x2ln(2 a)若 ln(2a)0，即 a ， f( x) x(ex1)0， xR，函数 f(x)单调递增，没有极值12若 ln(2a)0，即 a ，12x(，0)和 x(ln(2 a)，)时， f( x)0，函数 f(x)单调递增；x(0，ln(2 a)时， f( x)0，函数 f(x)单调递增；x(ln(2 a)，0)时， f( x) 时， f(x)有极大值1，极小值 2a(ln(2a)1) a(ln(2a)2；12当 00，即 0，所以 M(a)max f(a)， f(0)( a1)e a a3，1令 h(a)( a1)e a a31， h( a) a(ea3 a)，令 k(a)e a3 a，则当 a 时， k( a)e a3e30，则 h( a)0.(12， x0)当 a( x0，1)时， k(a)0， h(1)0，(12) 12e 78所以 h(a)0 在 上恒成立，(12， 116当 a1 时，等号成立，即 f(a) f(0)综上， M(a) f(a)( a1)e a a3.
