1、1专题检测（十四） 直线与圆A 组“633”考点落实练一、选择题1 “ab4”是“直线 2x ay10 与直线 bx2 y20 平行”的( )A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选 C 因为两直线平行，所以斜率相等，即 ，可得 ab4，又当2a b2a1， b4 时，满足 ab4，但是两直线重合，故选 C.2已知直线 l1过点(2,0)且倾斜角为 30，直线 l2过点(2,0)且与直线 l1垂直，则直线 l1与直线 l2的交点坐标为( )A(3， ) B(2， )3 3C(1， ) D.3 (1，32)解析：选 C 直线 l1的斜率 k1tan 30 ，因
2、为直线 l2与直线 l1垂直，所以直线33l2的斜率 k2 ，所以直线 l1的方程为 y (x2)，直线 l2的方程为1k1 3 33y (x2)，联立Error! 解得Error!即直线 l1与直线 l2的交点坐标为(1， )3 33已知圆 M： x2 y22 ay0( a0)截直线 x y0 所得线段的长度是 2 ，则圆 M 与2圆 N：( x1) 2( y1) 21 的位置关系是( )A内切 B相交C外切 D相离解析：选 B 圆 M： x2 y22 ay0( a0)可化为 x2( y a)2 a2，由题意， M(0， a)到直线 x y0 的距离 d ，所以 a2 2，解得 a2.所以圆
3、 M： x2( y2) 24，所以a2 a22两圆的圆心距为 ，半径和为 3，半径差为 1，故两圆相交24(2018全国卷)直线 x y20 分别与 x 轴， y 轴交于 A， B 两点，点 P 在圆(x2) 2 y22 上，则 ABP 面积的取值范围是( )A2,6 B4,8C ，3 D2 ，3 2 2 2 2解析：选 A 设圆( x2) 2 y22 的圆心为 C，半径为 r，点 P 到直线 x y20 的距离为 d，则圆心 C(2,0)， r ，22所以圆心 C 到直线 x y20 的距离为 2 ，|2 2|2 2可得 dmax2 r3 ， dmin2 r .2 2 2 2由已知条件可得|
4、 AB|2 ，2所以 ABP 面积的最大值为 |AB|dmax6，12 ABP 面积的最小值为 |AB|dmin2.12综上， ABP 面积的取值范围是2,65已知圆 O： x2 y24 上到直线 l： x y a 的距离等于 1 的点至少有 2 个，则实数a 的取值范围为( )A(3 ，3 )2 2B(，3 )(3 ，)2 2C(2 ，2 )2 2D3 ，3 2 2解析：选 A 由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为 2.因为圆 O 上到直线 l 的距离等于1 的点至少有 2 个，所以圆心到直线 l 的距离 d0， y1 y2 ， x1 x2 k(y1 y2)2 ，因为 2kk2 1 2k2
5、 1 OM ，故 M ，又点 M 在圆 C 上，故 4，OA OB ( 2k2 1， 2kk2 1) 4 k2 1 2 4k2 k2 1 2解得 k0.法二：由直线与圆相交于 A， B 两点， ，且点 M 在圆 C 上，得圆心OM OA OB C(0,0)到直线 x ky10 的距离为半径的一半，为 1，即 d 1，解得 k0.11 k2二、填空题37已知直线 l： x my30 与圆 C： x2 y24 相切，则 m_.解析：因为圆 C： x2 y24 的圆心为(0,0)，半径为 2，直线 l： x my30 与圆C： x2 y24 相切，所以 2 ，解得 m .31 m2 52答案：528
6、过点 C(3,4)作圆 x2 y25 的两条切线，切点分别为 A， B，则点 C 到直线 AB 的距离为_解析：以 OC 为直径的圆的方程为 2( y2) 2 2， AB 为圆 C 与圆(x32) (52)O： x2 y25 的公共弦，所以 AB 的方程为 x2 y2 5 ，化简得(x32)2 y 2 2 2543x4 y50，所以 C 到直线 AB 的距离 d 4.|33 44 5|32 42答案：49(2018贵阳适应性考试)已知直线 l： ax3 y120 与圆 M： x2 y24 y0 相交于 A， B 两点，且 AMB ，则实数 a_. 3解析：直线 l 的方程可变形为 y ax4，
7、所以直线 l 过定点13(0,4)，且该点在圆 M 上圆的方程可变形为 x2( y2) 24，所以圆心为 M(0，2)，半径为 2.如图，因为 AMB ，所以 AMB 是等 3边三角形，且边长为 2，高为 ，即圆心 M 到直线 l 的距离为 ，所3 3以 ，解得 a .| 6 12|a2 9 3 3答案： 3三、解答题10已知圆( x1) 2 y225，直线 ax y50 与圆相交于不同的两点 A， B.(1)求实数 a 的取值范围；(2)若弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(2,4)，求实数 a 的值解：(1)把直线 ax y50 代入圆的方程，消去 y 整理，得( a21) x22(5
8、a1) x10，由于直线 ax y50 交圆于 A， B 两点，故 4(5 a1) 24( a21)0，即 12a25 a0，解得 a 或 a0， b0)，即 bx ay ab0，xa yb由直线 l 与圆 O 相切，得 ，即 ，则| DE|2 a2 b22( a2 b2)| ab|b2 a2 2 1a2 1b2 124 8，当且仅当 a b2 时取等号，此时直线 l 的方程为(1a2 1b2) 2b2a2 2a2b2x y20.B 组大题专攻补短练1已知点 M(1,0)， N(1,0)，曲线 E 上任意一点到点 M 的距离均是到点 N 的距离的 倍3(1)求曲线 E 的方程；(2)已知 m0
9、，设直线 l1： x my10 交曲线 E 于 A， C 两点，直线l2： mx y m0 交曲线 E 于 B， D 两点当 CD 的斜率为1 时，求直线 CD 的方程解：(1)设曲线 E 上任意一点的坐标为( x， y)，由题意得 ， x 1 2 y2 3 x 1 2 y2整理得 x2 y24 x10，即( x2) 2 y23 为所求(2)由题意知 l1 l2，且两条直线均恒过点 N(1，0)设曲线 E 的圆心为 E，则 E(2,0)，设线段 CD 的中点为 P，连接 EP， ED， NP，则直线EP： y x2.设直线 CD： y x t，由Error! 解得点 P ，(t 22 ， t
10、22 )由圆的几何性质，知| NP| |CD| ，12 |ED|2 |EP|2而| NP|2 2 2，| ED|23，(t 22 1) (t 22 )|EP|2 2，(|2 t|2 )所以 2 23 ，整理得 t23 t0，(t2) (t 22 ) t 2 22解得 t0 或 t3，所以直线 CD 的方程为 y x 或 y x3.62在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线 l： y2 x4，设圆 C 的半径为 1，圆心 在 l 上(1)若圆心 C 也在直线 y x1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；(2)若圆 C 上存在点 M，使| MA|2| MO|，求圆心 C
11、的横坐标 a 的取值范围解：(1)因为圆心在直线 l： y2 x4 上，也在直线 y x1 上，所以解方程组Error!得圆心 C(3,2)，又因为圆的半径为 1，所以圆的方程为( x3) 2( y2) 21，又因为点 A(0,3)，显然过点 A，圆 C 的切线的斜率存在，设所求的切线方程为 y kx3，即 kx y30，所以 1，解得 k0 或 k ，|3k 2 3|k2 12 34所以所求切线方程为 y3 或 y x3，34即 y30 或 3x4 y120.(2)因为圆 C 的圆心在直线 l： y2 x4 上，所以设圆心 C 为( a,2a4)，又因为圆 C 的半径为 1，则圆 C 的方程
12、为( x a)2( y2 a4) 21.设 M(x， y)，又因为| MA|2| MO|，则有2 ，x2 y 3 2 x2 y2整理得 x2( y1) 24，其表示圆心为(0，1)，半径为 2 的圆，设为圆 D，所以点 M 既在圆 C 上，又在圆 D 上，即圆 C 与圆 D 有交点，所以 21 21，a2 2a 4 1 2解得 0 a ，125所以圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为 .0，1253在直角坐标系 xOy 中，曲线 y x2 mx2 与 x 轴交于 A， B 两点，点 C 的坐标为(0,1)，当 m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现 AC BC 的情况？说明理由；(2)证明过
13、 A， B， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值解：(1)不能出现 AC BC 的情况，理由如下：设 A(x1,0)， B(x2,0)，则 x1， x2满足 x2 mx20，7所以 x1x22.又 C 的坐标为(0,1)，故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为 ， 1x1 1x2 12所以不能出现 AC BC 的情况(2)证明：由(1)知 BC 的中点坐标为 ，(x22， 12)可得 BC 的中垂线方程为 y x2 .12 (x x22)由(1)可得 x1 x2 m，所以 AB 的中垂线方程为 x .m2联立Error! 可得Error!所以过 A， B， C 三点的圆的圆心坐标为 ，半
14、径 r .(m2， 12) m2 92故圆在 y 轴上截得的弦长为 2 3，即过 A， B， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦r2 (m2)2长为定值4(2018广州高中综合测试)已知定点 M(1,0)和 N(2,0)，动点 P 满足| PN| |PM|.2(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)若 A， B 为(1)中轨迹 C 上两个不同的点， O 为坐标原点设直线 OA， OB， AB 的斜率分别为 k1， k2， k.当 k1k23 时，求 k 的取值范围解：(1)设动点 P 的坐标为( x， y)，因为 M(1,0)， N(2,0)，| PN| |PM|，2所以 . x 2 2 y2 2 x 1 2 y2整理得， x2 y22.所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2 y22.(2)设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 AB 的方程为 y kx b.由Error! 消去 y，整理得(1 k2)x22 bkx b220.(*)由 (2 bk)24(1 k2)(b22)0，得 b2 .33 33要使 k1， k2， k 有意义，则 x10， x20，所以 0 不是方程(*)的根，所以 b220，即 k1 且 k1.由，得 k 的取值范围为 ，1) (1， 3 ( 1， 33) (33， 1) 3
