1、1基础送分专题二 平面向量平面向量的基本运算题组练透1(2018全国卷)在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 ( )EB A. B. 34AB 14AC 14AB 34AC C. D. 34AB 14AC 14AB 34AC 解析：选 A 法一：作出示意图如图所示 EB ED DB 12AD 12CB ( ) ( )12 12 AB AC 12 AB AC .故选 A.34AB 14AC 法二：不妨设 ABC 为等腰直角三角形，且 A ， AB AC1.建立如图所示的平面直角坐标系， 2则 A(0,0)， B(1,0)， C(0,1)，D ， E .故 (1
2、,0)， (0,1)，(12， 12) (14， 14) AB AC (1,0) ，EB (14， 14) (34， 14)即 .EB 34AB 14AC 2已知平面内不共线的四点 O， A， B， C 满足 ，则OB 13OA 23OC | | |( )AB BC A13 B31C12 D21解析：选 D 由 ，得 2( )，即 2OB 13OA 23OC OB OA OC OB AB ，所以| | |21，故选 D.BC AB BC 23(2018全国卷)已知向量 a(1,2)，b(2，2)，c(1， )若 c(2ab)，则 _.解析：2ab(4,2)，因为 c(2ab)，所以 4 2，解
3、得 .12答案：124(2018太原模拟)在正方形 ABCD 中， M， N 分别是 BC， CD 的中点，若 AC ，则实数 _.AM AN 解析：如图， ，AM AB BM AB 12BC DC 12BC ， AN AD DN BC 12DC 由得 ， ，BC 43AN 23AM DC 43AM 23AN ，AC AB BC DC BC 43AM 23AN 43AN 23AM 23AM 23AN ， ， ， .AC AM AN 23 23 43答案：43题后悟通快审题1.看到向量的线性运算，想到三角形和平行四边形法则2.看到向量平行，想到向量平行的条件准 解 题记牢向量共线问题的 4 个结
4、论(1)若 a 与 b 不共线且 a b，则 0.(2)直线的向量式参数方程： A， P， B 三点共线 (1 t) t (O 为OP OA OB 平面内任一点， tR).(3) ( ， 为实数)，若 A， B， C 三点共线，则OA OB OC 1.(4)若 a( x1， y1)，b( x2， y2)，则 ab x1y2 x2y1，当且仅当 x2y20 时，ab .x1x2 y1y23平面向量的数量积题组练透1(2018全国卷)已知向量 a，b 满足|a|1，ab1，则 a(2ab)( )A4 B3C2 D0解析：选 B a(2ab)2a 2ab2|a| 2ab.|a|1，ab1，原式21
5、213.2已知向量 m( t1,1)，n( t2,2)，若(mn)(mn)，则 t( )A0 B3C3 D1解析：选 B 法一：由(mn)(mn)可得(mn)(mn)0，即 m2n 2，故( t1) 21( t2) 24，解得 t3.法二：mn(2 t3,3)，mn(1，1)，(mn)(mn)，(2 t3)30，解得 t3.3在 ABC 中， ABC90 ， AB6，点 D 在边 AC 上，且 2 ，则 AD DC BA 的值是( )BD A48 B24C12 D6解析：选 B 法一：由题意得， 0， ( )| |236，BA BC BA CA BA BA BC BA ( ) 0 3624.B
6、A BD BA BC CD BA 23法二：(特例法)若 ABC 为等腰直角三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(6,0)， C(0,6)由 2 ，得 D(4,2)AD DC (6,0)(4,2)24.BA BD 4.(2018贵阳摸底考试)如图，在边长为 1 的正方形组成的网格中，平行四边形 ABCD 的顶点 D 被阴影遮住，找出 D 点的位置，则 的值为( )AB AD 4A10 B11C12 D13解析：选 B 以点 A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， A(0,0)， B(4,1)， C(6,4)，根据四边形 ABCD 为平行四边形，可以得到 D(2,3)，所以 (4
7、,1)(2,3)8311.故AB AD 选 B.5(2019 届高三益阳、湘潭调研)已知非零向量 a，b 满足ab0，|ab| t|a|，若 ab 与 ab 的夹角为 ，则 t 的值为_ 3解析：因为 ab0，所以(ab) 2(ab) 2，即|ab|ab|.又|ab| t|a|，所以|ab|ab| t|a|.因为 ab 与 ab 的夹角为 ，所以 3cos ，整理得 ，即(2 t2)|a|22|b| 2.又 a b a b|a b|a b| 3 |a|2 |b|2t2|a|2 12|ab| t|a|，平方得|a| 2|b| 2 t2|a|2，所以|a| 2 t2|a|2，解得 t2 2 t2
8、|a|22.因为 t0，所以 t .43 233答案：2336在矩形 ABCD 中， AB2， AD1.边 DC 上的动点 P(包含点 D， C)与 CB 延长线上的动点 Q(包含点 B)满足| | |，则 的最小值为_DP BQ PA PQ 解析：以点 A 为坐标原点，分别以 AB， AD 所在直线为 x 轴， y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 P(x,1)，Q(2， y)，由题意知 0 x2，2 y0.| | |，DP BQ | x| y|， x y. ( x，1)， (2 x， y1)，PA PQ x(2 x)( y1) x22 x y1 x2 x1 2 ，PA PQ (x 12)
9、 34当 x 时， 取得最小值，为 .12 PA PQ 34答案：345题后悟通快审题1.看到向量垂直，想到其数量积为零2.看到向量的模与夹角，想到向量数量积的有关性质和公式3.看到向量中的最值问题时，想到向量不等式、几何意义，甚至建立坐标系构造函数关系求最值用妙法特例法妙解图形中平面向量数量积问题解答有关图形中的平面向量数量积问题，常采用特例法，如取直角三角形、矩形，再建立平面直角坐标系，求得相关点坐标计算求解(如第 3 题可取 ABC 为等腰直角三角形建系)避误区两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是 0 或 的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅
10、要求其数量积小于零，还要求不能反向共线.专 题 过 关 检 测 一、选择题1设 a(1,2)，b(1,1)，ca kb.若 bc，则实数 k 的值等于( )A B32 53C. D.53 32解析：选 A 因为 ca kb(1 k,2 k)，又 bc，所以 1(1 k)1(2 k)0，解得 k .322已知向量 a(1,1)，2ab(4,2)，则向量 a，b 的夹角的余弦值为( )A. B31010 31010C. D22 22解析：选 C 因为向量 a(1,1)，2ab(4,2)，所以 b(2,0)，则向量 a，b 的夹角的余弦值为 .12 1022 223已知在平面直角坐标系中，点 A(0
11、,1)，向量 (4，3)， (7，4)，AB BC 则点 C 的坐标为( )A(11,8) B(3,2)C(11，6) D(3,0)6解析：选 C 设 C(x， y)，在平面直角坐标系中，点 A(0,1)，向量 (4，3)，AB (7，4)， (11，7)，Error!解得BC AC AB BC x11， y6，故 C(11，6)4在等腰梯形 ABCD 中， 2 ， M 为 BC 的中点，则 ( )AB CD AM A. B. 12AB 12AD 34AB 12AD C. D. 34AB 14AD 12AB 34AD 解析：选 B 因为 2 ，所以 2 .又 M 是 BC 的中点，所以AB C
12、D AB DC ( ) ( ) .AM 12 AB AC 12 AB AD DC 12 34AB 12AD 5(2019 届高三武汉调研)设非零向量 a，b 满足|2ab|2ab|，则( )Aab B|2a|b|Cab D|a|b|解析：选 A 法一：|2ab|2ab|，(2ab) 2(2ab) 2，化简得 ab0， ab，故选 A.法二：记 c2a，则由|2ab|2ab|得|cb|cb|，由平行四边形法则知，以向量 c，b 为邻边的平行四边形的对角线相等，该四边形为矩形，故 cb，即 ab，故选 A.6已知 (2,1)，点 C(1,0)， D(4,5)，则向量 在 方向上的投影为( )AB
13、AB CD A B3322 5C. D3322 5解析：选 C 因为点 C(1,0)， D(4,5)，所以 (5,5)，又 (2,1)，所以向CD AB 量 在 方向上的投影为| |cos ， .AB CD AB AB CD 1552 3227已知 a 和 b 是非零向量，ma tb(tR)，若|a|1，|b|2，当且仅当 t 时，14|m|取得最小值，则向量 a，b 的夹角 为( )A. B. 6 3C. D.23 567解析：选 C 由 ma tb，及|a|1，|b|2，得|m| 2(a tb)24 t24 tcos 1(2 tcos )2sin 2 ，由题意得，当 t 时，cos ，则向
14、量 a，b 的夹14 12角 为 ，故选 C.238在 ABC 中，| | |， AB2， AC1， E， F 为 BC 的三等分AB AC AB AC 点，则 ( )AE AF A. B.89 109C. D.259 269解析：选 B 由| | |知 ，以 A 为坐标原点， ，AB AC AB AC AB AC AB 的方向分别为 x 轴、 y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则 A(0,0)， B(2,0)， C(0,1)，AC 不妨设 E ， F ，则 .(43， 13) (23， 23) AE AF (43， 13) (23， 23) 89 29 1099已知在平面直角坐标系 xOy
15、中， P1(3,1)， P2(1,3)， P1， P2， P3三点共线且向量与向量 a(1，1)共线，若 (1 ) ，则 ( )OP3 OP3 OP1 OP2 A3 B3C1 D1解析：选 D 设 ( x， y)，则由 a，知 x y0，于是 ( x， x)OP3 OP3 OP3 若 (1 ) ，则有( x， x) (3,1)(1 )(1,3)OP3 OP1 OP2 (4 1,32 )，即Error! 所以 4 132 0，解得 1.10(2018兰州诊断考试)在 ABC 中， M 是 BC 的中点， AM1，点 P 在 AM 上且满足2 ，则 ( )等于( )AP PM PA PB PC A
16、 B49 43C. D.43 49解析：选 A 如图， 2 ， ，AP PM AP PB PC ( ) 2，PA PB PC PA 8 AM1 且 2 ，| | ，AP PM PA 23 ( ) .PA PB PC 4911(2019 届高三南宁摸底联考)已知 O 是 ABC 内一点， 0，OA OB OC 2 且 BAC60 ，则 OBC 的面积为( )AB AC A. B.33 3C. D.32 23解析：选 A 0， O 是 ABC 的重心，于是 S OBC S ABC.OA OB OC 13 2，| | |cos BAC2， BAC60 ，AB AC AB AC | | |4. S A
17、BC | | |sin BAC ， OBC 的面积为 .AB AC 12 AB AC 3 3312(2018南昌调研)已知 A， B， C 是圆 O： x2 y21 上的动点，且 AC BC，若点 M的坐标是(1,1)，则| |的最大值为( )MA MB MC A3 B4C3 1 D3 12 2解析：选 D 法一： A， B， C 是圆 O： x2 y21 上的动点，且 AC BC，设 A(cos ，sin )， B(cos ，sin )， C(cos ，sin )，其中0 2，0 2， M(1,1)， (cos 1，sin 1)(cos 1，sin MA MB MC 1)(cos 1，sin
18、 1)(cos 3，sin 3)，| |MA MB MC cos 3 2 sin 3 2 cos2 6cos 9 sin2 6sin 9 ，19 62sin( 4)当且仅当 sin 1 时，| |取得最大值，最大值为( 4) MA MB MC 3 1.19 62 2法二：连接 AB， AC BC， AB 为圆 O 的直径， 2 ，MA MB MO 9| |2 |2 | |2 | |，MA MB MC MO MC MO MC 2 MC 易知点 M 与圆上动点 C 的距离的最大值为 1，2| | 1，| |3 1，故选 D.MC 2 MA MB MC 2二、填空题13(2018潍坊统一考试)已知单
19、位向量 e1，e 2，且e 1，e 2 ，若向量 3ae 12e 2，则|a|_.解析：因为|e 1|e 2|1， e 1，e 2 ，所以 3|a|2|e 12e 2|214|e 1|e2|cos 41411 43，即|a| . 3 12 3答案： 314已知 a，b 是非零向量， f(x)(a xb)(b xa)的图象是一条直线，|ab|2，|a|1，则 f(x)_.解析：由 f(x)ab x2(a 2b 2)xab 的图象是一条直线，可得 ab0.因为|ab|2，所以 a2b 24.因为|a|1，所以 a21，b 23，所以 f(x)2 x.答案：2 x15在 ABC 中， N 是 AC
20、边上一点且 ， P 是 BN 上一点，若 m AN 12NC AP AB ，则实数 m 的值是_29AC 解析：如图，因为 ，所以 ，所以 mAN 12NC AN 13AC AP m .因为 B， P， N 三点共线，所以 m 1，AB 29AC AB 23AN 23则 m .13答案：1316(2019 届高三唐山五校联考)在 ABC 中，( 3 ) ，则角 A 的最大AB AC CB 值为_解析：因为( 3 ) ，所以( 3 ) 0，即AB AC CB AB AC CB ( 3 )( )0，则 24 3 20，即 cos AB AC AB AC AB AC AB AC 10A 2 ，当且仅当| | | |时等号成立因为 0A，316 32 AB 3 AC 所以 0A ，即角 A 的最大值为 . 6 6答案： 6
