1、1重点增分专题十四 坐标系与参数方程全国卷 3 年考情分析年份 全国卷 全国卷 全国卷2018极坐标与直角坐标的互化、曲线方程的求解参数方程与直角坐标方程的互化、参数方程的应用参数方程与普通方程的互化、参数方程的应用2017参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法2016参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位置关系参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值(1)坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考
2、考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用(2)全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用保分考点练后讲评考 点 一 极 坐 标1. (2018全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方极 坐 标 方 程 化 直 角 坐 标 方 程 程为 y k|x|2.以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 22 cos 30.(1)求 C2的直角坐标方程；(2)若 C1与 C2有且仅有三个公共点，求 C1的方程解：(1)由 x cos ， y sin 得 C2的直
3、角坐标方程为( x1) 2 y24.(2)由(1)知 C2是圆心为 A(1,0)，半径为 2 的圆由题设知， C1是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线记 y 轴右边的射线为 l1， y轴左边的射线为 l2.由于点 B 在圆 C2的外面，故 C1与 C2有且仅有三个公共点等价于 l1与 C2只有一个公共点且 l2与 C2有两个公共点，或 l2与 C2只有一个公共点且 l1与 C2有两个公共点当 l1与 C2只有一个公共点时，点 A 到 l1所在直线的距离为 2，所以 2，故| k 2|k2 1k 或 k0.43经检验，当 k0 时， l1与 C2没有公共点；2当 k 时， l1与 C
4、2只有一个公共点， l2与 C2有两个公共点43当 l2与 C2只有一个公共点时，点 A 到 l2所在直线的距离为 2，所以 2，故|k 2|k2 1k0 或 k .43经检验，当 k0 时， l1与 C2没有公共点；当 k 时， l2与 C2没有公共点43综上，所求 C1的方程为 y |x|2.432. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为( x )直 角 坐 标 方 程 化 极 坐 标 方 程 32( y2) 24，直线 C2的方程为 y x，以 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐33标系求曲线 C1和直线 C2的极坐标方程解：曲线 C1的普通方程为( x )2( y
5、2) 24，3即 x2 y22 x4 y30，3曲线 C1的极坐标方程为 22 cos 4 sin 30.3直线 C2的方程为 y x，33直线 C2的极坐标方程为 ( R) 63. (2017全国卷)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，极 坐 标 方 程 的 应 用 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 cos 4.(1)M 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足| OM|OP|16，求点 P 的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点 A 的极坐标为 ，点 B 在曲线 C2上，求 OAB 面积的最大值(2， 3)解：(1)设 P 的极坐标为( ， )(
6、 0)， M 的极坐标为( 1， )( 10)由题设知| OP| ，| OM| 1 .4cos 由| OM|OP|16，得 C2的极坐标方程 4cos ( 0)因此 C2的直角坐标方程为( x2) 2 y24( x0)(2)设点 B 的极坐标为( B， )( B0)，由题设知| OA|2， B4cos ，于是 OAB 面积S |OA| Bsin AOB4cos sin 2 .12 3 |sin(2 3) 32|3当 时， S 取得最大值 2 .12 3所以 OAB 面积的最大值为 2 .3解题方略1直角坐标与极坐标方程的互化(1)直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将 x cos ， y si
7、n 代入即可(2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造 2， sin ， cos ，常用的技巧有式子两边同乘以 ，两角和与差的正弦、余弦展开等2求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用；(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标.保分考点练后讲评考 点 二 参 数 方 程1. 在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 sin2 cos 普 通 方 程 化 参 数 方 程 0， M .以极点 O 为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系斜率为1 的直(1， 2)线 l 过点 M，且与曲线 C 交于 A，
8、B 两点求曲线 C 和直线 l 的参数方程解：由 sin2 cos 0 得 2sin2 cos ， y2 x，故曲线 C 的直角坐标方程为 y2 x.故曲线 C 的参数方程为Error!( t 为参数)，由题意， M 的直角坐标为(0,1)，则直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，即Error! (t 为参数)2. (2018全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程参 数 方 程 化 普 通 方 程 为Error! ( 为参数)，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)(1)求 C 和 l 的直角坐标方程；(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为
9、(1,2)，求 l 的斜率解：(1)曲线 C 的直角坐标方程为 1.当 cos 0 时， l 的直角坐标方程为x24 y216ytan x2tan ，当 cos 0 时， l 的直角坐标方程为 x1.(2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程(13cos 2 )4t24(2cos sin )t80.因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内，所以有两个解，设为 t1， t2，则 t1 t20.又由得 t1 t2 ，4 2cos sin 1 3cos2故 2cos sin 0，于是直线 l 的斜率 ktan 2.解题方略参数方程化为普通方程消去参数
10、的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法(2)三角恒等式法：利用 sin2 cos 2 1 消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法(3)常见消参数的关系式： t 1；1t 2 24；(t1t) (t 1t) 2 21.(2t1 t2) (1 t21 t2)极坐标与参数方程的综合应用 考 点 三增 分 考 点 广 度 拓 展分点研究 题型一 直线的参数方程中参数几何意义的应用例 1 (2019 届高三湖北五校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1过点 P(a,1)，其参数方程为Error!( t 为参数， aR)以 O
11、 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 cos2 4cos 0.(1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；(2)已知曲线 C1与曲线 C2交于 A， B 两点，且| PA|2| PB|，求实数 a 的值解 (1)曲线 C1的参数方程为Error!( t 为参数， aR)，曲线 C1的普通方程为 x y a10.曲线 C2的极坐标方程为 cos2 4cos 0， 2cos2 4 cos 20，又 cos x， 2 x2 y2， x24 x x2 y20，即曲线 C2的直角坐标方程为 y24 x.5(2)设 A， B 两点所对应的参数分别为 t1， t
12、2，由Error! 得 t22 t28 a0.2 (2 )24(28 a)0，即 a0，2Error!根据参数方程中参数的几何意义可知| PA| t1|，| PB| t2|，由| PA|2| PB|得 t12 t2或 t12 t2，当 t12 t2时，有Error!解得 a 0，符合题意，136当 t12 t2时，有Error!解得 a 0，符合题意94综上所述， a 或 a .136 94变式 1 本例(2)的条件变为| PA|PB|6.求实数 a 的值解：由本例解析知| PA|PB| t1|t2| t1t2|28 a|6，解得 a1 或 .又 a0，12 a1.变式 2 若本例曲线 C1变
13、为过点 P(0，1)，其参数方程为Error!( t 为参数)，其他条件不变，求| PA| PB|.解：曲线 C1的参数方程化为Error!代入曲线 C2的方程 y24 x 得 t26 t20.2设 A， B 对应的参数分别为 t1， t2，则Error! t10， t20.| PA| PB| t1| t2| t1 t2|6 .2解题方略利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点 P(x0， y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)若 A， B 为直线 l 上两点，其对应的参数分别为 t1， t2，线段 AB 的中点为 M，点 M 所对应的参数为t0，则以下
14、结论在解题中经常用到：(1)t0 ；t1 t22(2)|PM| t0| ；|t1 t22 |(3)|AB| t2 t1|；6(4)|PA|PB| t1t2|. 题型二 极坐标方程中极径几何意义的应用例 2 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为Error!( 为参数)，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆 C 的极坐标方程；(2)直线 l 的极坐标方程是 2 sin 3 ，射线 OM： 与圆 C 的交点为( 3) 3 3O， P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长解 (1)由圆 C 的参数方程为Error!( 为参数)，可得圆 C 的直角坐
15、标方程为( x1) 2 y21，即 x2 y22 x0.由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得，圆 C 的极坐标方程为 2cos .(2)由Error! 得 P ，(1， 3)由Error! 得 Q ，(3， 3)结合图可得| PQ| OQ| OP| Q| P|312.解题方略 极径的几何意义及其应用(1)几何意义：极径 表示极坐标平面内点 M 到极点 O 的距离(2)应用：一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用极径表示出弦长，结合根与系数的关系解题多练强化1(2019 届高三湖北八校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数 )，以原
16、点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 sin .( 4) 2(1)求曲线 C1的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程；(2)设 P 为曲线 C1上的动点，求点 P 到 C2的距离的最大值，并求此时点 P 的坐标解：(1)曲线 C1的普通方程为 y21，x23由 sin ，得 sin cos 2，得曲线 C2的直角坐标方程为( 4) 2x y20.(2)设点 P 的坐标为( cos ，sin )，37则点 P 到 C2的距离为 ，|3cos sin 2|2 |2sin( 3) 2|2当 sin 1，即 2 k( kZ)，( 3) 3 2 2 k( kZ)时，
17、所求距离最大，最大值为 2 ，56 2此时点 P 的坐标为 .(32， 12)2(2018南昌模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为Error!( t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线 C 的极坐标方程；(2)若直线 l1， l2的极坐标方程分别为 1 ( 1R)， 2 ( 2R)，设直线 6 23l1， l2与曲线 C 的交点分别为 O， M 和 O， N，求 OMN 的面积解：(1)由参数方程Error!得普通方程为 x2( y2) 24，把Error! 代入 x2( y2) 24，得 24 sin 0.所以曲线 C 的极坐标方
18、程为 4sin .(2)由直线 l1： 1 ( 1R)与曲线 C 的交点为 O， M，得| OM|4sin 2. 6 6由直线 l2： 2 ( 2R)与曲线 C 的交点为 O， N，得| ON|4sin 2 .23 23 3易知 MON ， 2所以 S OMN |OM|ON|12 22 2 .12 3 3专 题 过 关 检 测 1在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 4cos ， .0， 2(1)求半圆 C 的参数方程；(2)若半圆 C 与圆 D：( x5) 2( y )2 m(m 是常数， m0)相切，试求切点的直角3坐标
19、解：(1)半圆 C 的普通方程为( x2) 2 y24(0 y2)，则半圆 C 的参数方程为Error!( t 为参数，0 t)8(2)C， D 的圆心坐标分别为(2,0)，(5， )，3于是直线 CD 的斜率 k .3 05 2 33由于切点必在两个圆心的连线上，故切点对应的参数 t 满足 tan t ， t ，33 6所以切点的直角坐标为 ，即(2 ，1)(2 2cos 6， 2sin 6) 32(2018贵阳摸底考试)曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos .( 4) 2(1)写出 C 的普通方
20、程，并用Error!( 为直线的倾斜角， t 为参数)的形式写出直线 l的一个参数方程；(2)l 与 C 是否相交？若相交，求出两交点的距离，若不相交，请说明理由解：(1) C 的普通方程为 y21，x24由 cos 得 x y20，( 4) 2则直线 l 的倾斜角为 ， 4又直线 l 过点(2,0)，得直线 l 的一个参数方程为Error!( t 为参数)(2)将 l 的参数方程代入 C 的普通方程得5t24 t0，解得 t10， t2 ，2425显然 l 与 C 有两个交点，分别记为 A， B，且| AB| t1 t2| .4253在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Err
21、or!( 为参数)，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 cos 3 .( 4) 2(1)写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程(2)设点 P 在 C1上，点 Q 在 C2上，求| PQ|的最小值及此时点 P 的直角坐标解：(1)曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，普通方程为 x2 1，y23曲线 C2的极坐标方程为 cos 3 ，( 4) 29即 cos sin 60，直角坐标方程为 x y60.(2)设 P(cos ， sin )，则| PQ|的最小值为 P 到 x y60 距离，3即 ，|cos 3sin 6|2 2|sin(
22、 6) 3|当且仅当 2 k (kZ)时，| PQ|取得最小值 2 ， 3 2此时 P .(12， 32)4(2018贵阳适应性考试)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C：Error!( 为参数)，在以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 cos 1.22 ( 4)(1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；(2)过点 M(1,0)且与直线 l 平行的直线 l1交曲线 C 于 A， B 两点，求点 M 到 A， B 两点的距离之和解：(1)曲线 C 的普通方程为 y21，x23由 cos 1，得 cos sin 2，22 ( 4)所以直线
23、 l 的直角坐标方程为 x y20.(2)直线 l1的参数方程为Error!( t 为参数)，将其代入 y21 中，化简得x232t2 t20，2设 A， B 两点对应的参数分别为 t1， t2，则 t1 t2 ， t1t21，22所以| MA| MB| t1| t2| t1 t2| t1 t2 2 4t1t2 .(22)2 4 1 3225(2018福州四校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，直线 C2的方程为 y x.以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标3系(1)求曲线 C1和直线 C2的极坐标方程；(2)若直线 C2与曲
24、线 C1交于 A， B 两点，求 .1|OA| 1|OB|解：(1)由曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，得曲线 C1的普通方程为( x2)2( y2) 21，10则 C1的极坐标方程为 24 cos 4 sin 70，由于直线 C2过原点，且倾斜角为 ，故其极坐标方程为 ( R)(tan 3 3 )3(2)由Error! 得 2(2 2) 70，3设 A， B 对应的极径分别为 1， 2，则 1 22 2， 1 27，3 .1|OA| 1|OB| |OA| |OB|OA|OB| 1 2 1 2 23 276极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，以原点 O 为极点， x
25、轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 C1的极坐标方程为 4cos ，曲线 C2的参数方程为Error!(t 为参数， 0 )，射线 ， ， 与曲线 C1交于(不 4 4包括极点 O)三点 A， B， C.(1)求证：| OB| OC| |OA|；2(2)当 时， B， C 两点在曲线 C2上，求 m 与 的值12解：(1)证明：设点 A， B， C 的极坐标分别为( 1， )， ，( 2， 4)( 3， 4)因为点 A， B， C 在曲线 C1上，所以 14cos ， 24cos ， 34cos ，( 4) ( 4)所以| OB| OC| 2 34cos 4cos 4 cos 1，( 4)
26、( 4) 2 2故| OB| OC| |OA|.2(2)由曲线 C2的方程知曲线 C2是经过定点( m,0)且倾斜角为 的直线当 时， B， C 两点的极坐标分别为 2， ，2 ， ，12 3 3 6化为直角坐标为 B(1， )， C(3， )，3 3所以 tan ，又 0 ，所以 . 3 33 1 3 23故曲线 C2的方程为 y (x2)，易知曲线 C2恒过点(2,0)，即 m2.37在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，其中0 ，在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C1： 4cos .直线 l 与曲线 C1相切(1)将曲
27、线 C1的极坐标方程化为直角坐标方程，并求 的值11(2)已知点 Q(2,0)，直线 l 与曲线 C2： x2 1 交于 A， B 两点，求 ABQ 的面积y23解：(1)曲线 C1： 4cos ，即 24 cos ，化为直角坐标方程为x2 y24 x，即 C1：( x2) 2 y24，可得圆心(2,0)，半径 r2，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，其中 0 ，由题意 l 与 C1相切，可得普通方程为 y k(x1)， ktan ，0 且 ，3 2因为直线 l 与曲线 C1相切，所以 2，|k 3|k2 1所以 k ，所以 .33 6(2)直线 l 的方程为 y x ，33
28、 233代入曲线 C2： x2 1，整理可得 10x24 x50，y23设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，25 12所以| AB| ，1 13 ( 25)2 4( 12) 625Q 到直线的距离 d 2，43313 1所以 ABQ 的面积 S 2 .12 625 6258已知直线 L 的参数方程为Error!( t 为参数)，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 .21 3cos2 (1)求直线 L 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与直线 L 夹角为 的直线 l
29、，设直线 l 与直线 L 的交点为 3A，求| PA|的最大值解：(1)由Error!( t 为参数)，得 L 的普通方程为 2x y60，令 x cos ， y sin ，得直线 L 的极坐标方程为 2 cos sin 60，由曲线 C 的极坐标方程，知 23 2cos2 4，12所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 1.y24(2)由(1)，知直线 L 的普通方程为 2x y60，设曲线 C 上任意一点 P(cos ，2sin )，则点 P 到直线 L 的距离 d .|2cos 2sin 6|5由题意得| PA| ，dsin 3 415| 2sin( 4) 3|15所以当 sin 1 时，| PA|取得最大值，最大值为 .( 4) 415 3 215
