1、- 1 -安徽省皖江名校联盟 2019 届高三开年摸底大联考数学（文）试卷本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第 I 卷第 1 至第 2 页，第卷第2 至第 4 页全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先解不等式 ，求出集合 ，再解不等式 ，求出集合 ，最后求并集即可.【详解】解不等式 得 ，即 ；解不等式 得 ，即 ，所以 .故选 C【点睛】本题主要考查集合的并集运算，熟记概念即可求
2、解，属于基础题型.2.设 是复数 的共轭复数，且 ，则 （ ）A. 3 B. 5 C. D. 【答案】D【解析】，故 .3.已知两个非零单位向量 ， 的夹角为 ，则下列结论不正确的是（ ）A. 在 方向上的投影为B. - 2 -C. ，D. 不存在 ，使【答案】A【解析】【分析】根据向量投影的定义可判断 A；根据向量的数量积可判断 B，C，D.【详解】因为两个非零单位向量 ， 的夹角为 ，所以 在 方向上的投影为 ;故 A 错；又 ，所以 ；故 B 正确；因为 ，所以 ，故 C 正确；因为 ，因此不存在 ，使 ，故 D 正确.故选 A【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，熟记向量数量积的概念和
3、计算公式即可，属于基础题型.4.安徽黄山景区，每半小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时间不多于 分钟的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意分析在何区间内等待时间可以控制在 5 分钟之内，再由概率计算公式即可求出结果.【详解】此人在 25 分到 30 分或 55 分到 60 分之间的 5 分钟内到达，等待时间不多于 5 分钟，所以他等待时间不多于 分钟的概率为 .故选 B【点睛】本题主要考查几何概型，熟记公式即可求解，属于基础题型.5.若 ，则有（ ）A. B. C. D. 【答案】D- 3 -【解析】【分析】构造函数 ，
4、得出函数 的单调性，根据 ，即可得出结果.【详解】令 ，则 在 R 上单调递增，又 ，所以 ，解 ，所以 ，即 .故选 D【点睛】本题主要考查不等式，可借助函数的单调性比较大小，属于基础题型.6.过抛物线 的焦点 的直线 交 于 ，点 处的切线与 ，轴分别交于点 ， ，若 的面积为 ，则 （ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】先设 ，再求出点 处的切线方程，进而求出 ， 坐标，得到 的面积，即可求出 点坐标，求出 的长.【详解】因为过抛物线 的焦点 的直线 交 于 ，所以设 ，又 ，所以 ，所以点 处的切线方程为： ,令 可得 ，即 ；令 可得 ，即 ,因为 的
5、面积为 ，所以 ，解得 ，所以 .故选 B【点睛】本题主要考查抛物线的性质，只需先求出点 坐标，即可根据抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离求解，属于常考题型.- 4 -7.孙子算经是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得 ”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数 是 的整数倍时，均可采用此方法求解如图是解决这类问题的程序框图，若输入 ，则输出的结果为（ ）A. 47 B. 48 C. 39 D. 40【答案】A【解析】【分析】按照程序框图逐步执行，即可
6、求出结果.【详解】执行程序框图如下：初始值 ，执行循环体；，执行循环体；，执行循环体；，结束循环， .输出 .故选 A【点睛】本题主要考查程序框图，按程序逐步执行即可，属于基础题型.- 5 -8.某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为 1，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体，如图，体积为 选 B.9.已知双曲线 ， 为坐标原点， 为 的右焦点，过 的直线与 的两条渐近线的交点分别为 若 为直角三角形，则 （ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】【分析】由题意不妨假设 点在第一象限、
7、点在第四象限， ，解三角形即可.【详解】不妨假设 点在第一象限、 点在第四象限， .则易知 ， ，在 中， ， ， .故选 C【点睛】本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出 ， 位置，以及 的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.10.若关于 的方程 在区间 上有且只有一解，则正数 的最大值是（ ）A. 8 B. 7 C. 6 D. 5- 6 -【答案】B【解析】【分析】先将方程有且只有一解问题转化为函数 与 在区间 上有且只有一个交点的问题，数形结合的思想即可求出 的范围.【详解】因为 可变为 ，所以方程 在区间 上有且只有一解可化为 与 在区间 上有且只有一个交点,如图，由已知可得
8、：设函数 的最小正周期为 ，则 ， .故选 B【点睛】本题主要考查正弦函数图像，解题关键是运用数形结合的思想，将方程有且只有一解问题转化为函数 与 在区间 上有且只有一个交点的问题，属于常考题型.11.已知奇函数 的图象经过点 ，若矩形 的顶点 在 轴上，顶点在函数 的图象上，则矩形 绕 轴旋转而成的几何体的体积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由奇函数 的图象经过点 先求出 ， 的值，得到函数表达式；接下来分析该几- 7 -何体为矩形绕 轴旋转而得，进而判断出它是一个圆柱，设其半径为 ，结合题意即可表示出圆柱的体积，由基本不等式即可求出其最值.【详解】由 ，及
9、 得， ， ， ，如图，不妨设点 在 轴的上方，不难知该旋转体为圆柱，半径 ，令 ，整理得 ，则 为这个一元二次方程的两不等实根，所以于是圆柱的体积 ，当且仅当 ，即 时， 等号成立.故选 B【点睛】本题主要考查旋转体的体积，结合基本不等式与体积公式即可求解，属于常考题型.12.正三棱锥 中，已知点 在 上， ， ， 两两垂直， ， ，正三棱锥 的外接球为球 ，过 点作球 的截面 ，则 截球 所得截面面积的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三棱锥外接球的直径为所在正方体的体对角线可知外接球半径，过 作 ， 为垂足，当 垂直截面 时，截面圆半径最小，进而得出面积.
10、【详解】由 ， ， 两两垂直，可知该三棱锥由棱长为 4 的正方体四个顶点组成，三棱锥外接球的直径为所在正方体的体对角线， ,过 作 ， 为垂足， ,在 中， ， ， ，- 8 -当 垂直截面 时，截面圆半径最小.， .故选 C【点睛】本题主要考查几何体外接球的问题，只需确定 垂直截面 时，截面圆半径最小，即可求解，属于常考题型.第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填在横线上13.若 ，则 _【答案】【解析】【分析】先由二倍角公式将 化为 ，再根据同角三角函数基本关系即可求出结果.【详解】因为 ，所以 .【点睛】本题主要考查二倍角公式以及同角三角函数基
11、本关系，熟记公式即可求解，属于基础题型.14.若实数 满足条件 ，则 的最大值为_【答案】【解析】【分析】作出约束条件表示的可行域，再由 的几何意义是直线 的纵截距的相反数，平移直线 ，根据图形可得结论.【详解】作出约束条件 表示的可行域如图：- 9 -的几何意义是直线 的纵截距的相反数，由 ，可得交点坐标为，平移直线 根据图形可知，当直线 在经过 时， 取得最大值，最大值为 7.故答案为 7【点睛】本题主要考查线性规划，解题关键是作出出可行域，对目标函数进行平移，找出最优解，属于基础题型.15.已知边长为 的正 的三个顶点都在球 的表面上，且 与平面 所成的角为 ，则球 的表面积为_【答案】
12、【解析】【分析】先计算出正三角形外接圆半径，再由 与平面 所成的角为 ，求出球的半径，进而可求出结果.【详解】设正 的外接圆圆心为 ，易知 ，在 中， ，故球 的表面积为 .【点睛】本题主要考查球的表面积，熟记公式即可求解，属于基础题型.16.在 中，内角 所对的边分别为 若 ， ，且的面积等于 ，则 _【答案】【解析】【分析】- 10 -由 ， ，且 的面积等于 3，分别利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式列方程，解方程即可得出结果.【详解】因为 ， 的面积等于 ，由 ，根据正弦定理可得， 由余弦定理可得， 由三角形面积公式得 由得， ， ， .故答案为【点睛】本题主要考查解三角形的问题，
13、熟记正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式，即可求解，属于常考题型.三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写在答题卡上的指定区域内17.已知数列 满足 ， （I）证明 是等比数列，并求 的通项公式；（II）证明： 【答案】 （I）详见解析；（II）详见解析.【解析】【分析】（I）由 得 ，即可证明数列 是等比数列；进而可求出的通项公式；（II）先由裂项相消法求 ，进而可证明结论成立.【详解】 （I）由 得 。又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，因此 的通项公式为 .- 11 -（）由（I）知于是.【点睛】本题主要考查等比数列，以及数列的求和
14、，证明数列是等比数列，常用等比数列的概念来证明；裂项相消法求数列的和是考试中经常会遇到的一个类型，属于基础题型.18.销售某种活海鲜，根据以往的销售情况，按日需量 （公斤）属于0，100)，100，200)，200，300)，300，400)，400，500进行分组，得到如图所示的频率分布直方图这种海鲜经销商进价成本为每公斤 20 元，当天进货当天以每公斤 30 元进行销售，当天未售出的须全部以每公斤 10 元卖给冷冻库某海鲜产品经销商某天购进了 300 公斤这种海鲜，设当天利润为 元（I）求 关于 的函数关系式；（II）结合直方图估计利润 不小于 800 元的概率【答案】 （I） ；（II）
15、0.072.【解析】【分析】（I）利润=（售价-成本） 数量，分段表示即可.- 12 -（II）由（I）知 时， 的范围，之后结合直方图可求概率.【详解】 （）当日需求量不低于 公斤时，利润 元；当日需求量不足 公斤时，利润 （元） ；故 （）由 得， ，【点睛】本题主要考查分段函数、概率，解题关键是看懂频率分布直方图，掌握概率求解的方法，属于基础题型.19.在四棱锥 中， 为梯形， ， ， ， ，（I）点 在线段 上，满足 平面 ，求 的值；（II）已知 与 的交点为 ，若 ，且平面 平面 ，求四棱锥 的体积【答案】 （I）2；（II） .【解析】【分析】（I）延长 ， 交于点 ，根据线面平
16、行得出线线平行，进而根据中位线定理得出结论.（II）由四棱锥的体积公式，即可求解.【详解】 （）延长 交于点 ，- 13 -则 是平面 与平面 的交线，由 平面 ，则 为 中点， （）在梯形 中， ， ，且 ， ， ，故 ， 且 ，又 ，可得 ，.【点睛】本题主要考查直线与平面平行的性质定理，以及几何体的体积，解题关键是熟记线面平行的性质、线面垂直的判定定理以及几何体的体积公式等，属于常考题型.20.已知点 ， 是椭圆 上两个不同的点， ， ， 到直线的距离顺次成等差数列（I）求 的值；（II）线段 的中垂线 交 轴于 点，求直线 的方程【答案】 （I）8；（II） .【解析】- 14 -【分
17、析】（）先设 到直线 的距离顺次是 ,用 表示出 ，再由 顺次成等差数列，即可求出结果.（II）先设线段 的中点为 ，由（）可得 ，再设 ，从而可得 的中垂线 的方程，再由 在直线 上， 在椭圆上，列出方程组，即可求解.【详解】 （）设 到直线 的距离顺次是 ，则 顺次成等差数列， ，即 . （）设线段 的中点为 ，由（） ，设 ，则 的中垂线 的方程为： ， 在直线 上，故有 ，即 在椭圆上，得 ， 联立可得： ，解得 .即点 坐标为 ，直线 的方程为 .【点睛】本题主要考查直线与椭圆的综合问题，结合椭圆的性质，以及直线与椭圆的位置关系即可求解，属于常考题型.21.设函数 （I）求函数 的单
18、调区间；- 15 -（II）记函数 的最小值为 ，证明： 【答案】 （I） 在 上单调递减，在 上单调递增；（II）详见解析.【解析】【分析】（I）对函数 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果；（II）由（I）先得到 ，要证 ，即证明 ，即证明 ，构造函数 ，用导数的方法求函数 的最小值即可.【详解】 （）显然 的定义域为 ， ，若 ， ，此时 ， 在 上单调递减；若 ， ，此时 ， 在 上单调递增；综上所述： 在 上单调递减，在 上单调递增 （）由（）知： ，即： 要证 ，即证明 ，即证明 ，令 ，则只需证明 ， ，且 ，当 ， ，此时 ， 在 上单调递减；当 ， ，此时 ， 在 上单调
19、递增， - 16 - 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.请考生从第 22、23 题中任选一题做答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分：多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） 是曲线 上的动点，将线段 绕 点顺时针旋转 得到线段 ，设点 的轨迹为曲线 以坐标原点 为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系（I）求曲线 ， 的极坐标方程；（II）在（I）的条件下，若射线 与曲线 ， 分别交于 两点（除极点外
20、） ，且有定点 ，求 面积【答案】 （I） 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 ；（II） .【解析】【分析】（）由曲线 的参数方程先化为普通方程，进而可化为极坐标方程；根据曲线 的极坐标方程，求出 的极坐标方程即可；（II）先求出 两点的极坐标，进而可求出 和 ，再由 即可求出结果.【详解】 （）由题设，得 的直角坐标方程为 ，即 ，故 的极坐标方程为 ，即 设点 ，则由已知得 ，代入 的极坐标方程得 ，- 17 -即 的极坐标方程为 （）将 代入 的极坐标方程得 ， 又因为 ，所以 ，所以 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及参数方程与普通方程的转化问题，以及极坐标的方法求弦长等，熟记公式即可求解，属于常考题型.23.已知函数 （I）当 时，求不等式 的解集；（II）求证： 【答案】 （I） ；（II）详见解析.【解析】【分析】（I）将 代入不等式，再由分类讨论的思想求解即可；（）根据含绝对值不等式的性质将） 化为 ，即可证明结论成立.【详解】 （） 当 时， ，由 ，得 解得 的解集为 ； （） ，当且仅当 时等号成立.【点睛】本题主要考查含绝对值不等式，解含绝对值不等式，只需用分类讨论的思想处理即可；证明不等式的问题，只需熟记含绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.- 18 -
