1、12019 届山东省济南第一中学高三上学期期中考试数学（理）试题注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答
2、题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1设集合 ，则 =|13 ， =|21 7设两个平面 ，直线 ，下列三个条件： ； ； .若以其中两个作为前提, /条件，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确命题的个数为A3 B2 C1 D08如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为A B C D343 32 19已知 为偶函数，当 时， ，则不等式 的解集() 0()
3、= ,0,1221,(12,+) (1)12为A B C D34,1314,23 13,3443,74 34,1313,3410函数 2sinxy的图象大致是11如图,一个空间几何体的主视图、左视图均为直角边为 1 的等腰直角三角形，俯视图为正方形,那么这个几何体的外接球表面积为. A B C D312 32 1612已知函数 是定义在 R 上的偶函数，对任意 都有 ，当=() (+6)=()+(3)，且 时， ，给出如下命题：1,20,3 12(1)(2)12 0 ； (3)=0直线 是函数 的图象的一条对称轴；=6 =()此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 2函数 在 上
4、为增函数；=() 9,6函数 在 上有四个零点.=() 9,9其中所有正确命题的序号为A B C D二、填空题13计算 .1(2+1)=14设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是_. 2+33023+30+30 =2+15已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 _ 3=6 4=20=11=16已知向量 , 满足 , ,则 的最大值是_ |=1|=2 |+|+|三、解答题17（1）已知函数 的图象经过点 ，如图所示，=+(0) (1,3)求 的最小值；41+1（2）已知 对任意的正实数 恒成立，求 的取值范围.+22+2 18已知函数()=(3)（）求 的单调递增区间；()（）将函数 的图象上
5、各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数=()的图象，求 在 上的值域=() ()3,2319设 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 ，且有 , 2=+（）求角 A 的大小；（) 若 ，求 周长 7,=3 20已知数列 的前 项和为 ，且 = ， .递增的等比数列 满足 2+2+ .1+3=10， 22=16（）求数列 , 的通项公式； （）求数列 的前 项和 21如图，四边形 为矩形，四边形 为梯形，平面 平面 ， ， , 为 中点.,=900=12= =2()求证： 平面 ；/()求直线 与平面 所成角的正弦值 22已知函数 ，对任意的 ，满足 ，其中 为常()=+ (0
6、,+) ()+(1)=0 ,数（）若 ,求 在 处的切线方程；=2 ()=1（）已知 ,求证 ；00（）当 存在三个不同的零点时，求 的取值范围() 2019 届 山 东 省 济 南 第 一 中 学高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 （ 理 ） 试 题数 学 答 案参考答案1B【解析】【分析】确定出集合 ，再求 的交集即可。 ， 【详解】 =|21 1， 故选=|13 =|10log2(21)0 即 121 故函数的定义域为 故选1， +) 【点睛】本题主要考查了函数的定义域求法，在解答此类题目时注意限制条件，如根号、对数函数等自身的限制条件，然后计算出结果。4B【解析】【分析】运用向
7、量的数量积表示出向量点乘结果，然后求出 的值【详解】，=|cos根据题意可得：(1,3)(3， )=1+3 9+2cos6即3+3=1+3 9+232两边平方化简可得 故选=3 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积，属于基础题。5C【解析】由等差数列的性质可得： ， ，则199 562aS23a，故选 C.52tant36A【解析】【分析】运用对数计算出结果，结合 和 比较数的大小“1” “0”【详解】=222=10 【点睛】本题主要考查了对数函数的计算，然后构造数比较大小，属于基础题。7C【解析】【分析】列出 ， ， ，判断三者的正误即可得到答案 【详解】 即 ，正确 / 即 ， 可能是
8、平面内的直线，故不正确 / 即 ，同样 可能是 平面内的直线，故不正确故选 / 【点睛】本题主要考查了命题以及线面位置关系和面面位置关系的相关定理，熟练掌握各个定义是解题的关键，属于基础题。8B【解析】【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其体积即可。【详解】易知该几何体是一个多面体，由上下两个全等的正四棱锥组成其中正四棱锥底面边长为 ，棱锥的高为 1，2则多面体的体积为：=213( 2)21=43故选 【点睛】本题主要考查了空间几何体的体积，考查了学生的空间想象能力和运算求解能力，考查的核心素养是直观想象，数学运算。9A【解析】试题分析：先画出当 时，函数 的图象，又 为偶函数，故将
9、 轴右侧的函0 () () 数图象关于 轴对称，得 轴左侧的图象，如下图所示，直线 与函数 的四个交点横坐标从 =12 ()左到右依次为 ，由图象可知， 或 ，解得 ，34,13,13,34 13134 34113 选 A考点：、分段函数；2、函数的图象和性质；3、不等式的解集10B【解析】略11A【解析】【分析】由三视图得到几何体的图形，然后将其补成正方体，求出外接球的半径，继而得到外接球表面积【详解】由三视图得几何体为四棱锥，可将几何体补成棱长为 1 的正方体则外接球半径=32几何体的外接球表面积为=42=4( 32)2=3故选 【点睛】本题主要考查了球的表面积，由已知条件根据三视图得到几
10、何体，然后将其补成正方体即可求解，此类题目需要注意解题方法。12D【解析】【分析】根据题意得到函数的奇偶性、周期性和单调性，然后逐一进行判定【详解】令 ，则由 ，函数 是定义在 上的偶函数，=3 (+6)=()+(3) =() 可得： ，故 ，故正确(3)=(3)+(3)=2(3) (3)=0由 可得： ，故函数 是周期等于 6 的周期函数(3)=0 (+6)=() ()是偶函数， 轴是对称轴，故直线 是函数 的图象的一条对称轴，故正确() =6 =() 当 ，且 时， ， 1,20,3 12(1)(2)12 0故 在 上为增函数() 0， 3是偶函数，故 在 上为减函数() () 3， 0函
11、数 是周期等于 6 的周期函数 ()故 在 上为减函数，故错误() 9， 6 函数 是周期等于 6 的周期函数 ()(9)=(3)=(3)=(9)=0，故函数 在 上有四个零点，故正确=() 9,9综上所述，则正确命题的序号为故选 【点睛】本题考查了函数的性质：奇偶性、周期性以及单调性，在求解过程中熟练运用各性质进行解题，注意零点问题的求解。13 2【解析】试题分析： 2考点：定积分点评：定积分用于求曲边梯形的面积。若 ，则 。()=()ba()=()|14 15【解析】【分析】由约束条件画出可行域，然后运用线性规划来求解最小值【详解】由题意约束条件作出可行域，用阴影部分表示，如图所示当目标函
12、数 过点 时取得最小值=2+ (6， 3)最小值为 =2(6)3=15故答案为 15【点睛】本题主要考查了线性规划，解题步骤为：画出可行域、改写目标函数、运用几何意义求出最值，注意在判定可行域时的方法。15+1【解析】【分析】根据等差数列的通项公式与求和公式，列出关于首项与公差的方程组，解方程组即可得到公差。进而表示出 ，再根据 即可求解。1= 1(+1)=1 1+1【详解】设等差数列的首项为 ，公差为 ，由题意有 ，解得 ，1 1+2=641+432=20 1=2=2 数列的前 n 项和 ，=1+(1)2 =2+(1)2 2=(+1)裂项可得 ，1= 1(+1)=1 1+1所以 =11=(1
13、12)+(1213)+(1 1+1)=1 1+1= +1【点睛】本题考查了等差数列通项公式、求和公式的用法，裂项求和的综合应用，属于中档题。16 25【解析】【分析】运用向量绝对值不等式，结合基本不等式求得结果【详解】，|+|+|2 |+|2+|22 =2+2=5，|+|+|25当且仅当 时取等号，此时|+|=| =0故当 时， 的最大值是 |+|+| 25故答案为 25【点睛】本题考查了向量的线性运算，向量绝对值不等式，利用基本不等式求最值，需要掌握解题方法。17（1）最小值 ，当且仅当 时等号成立；（2）92 =73,=23 114【解析】【分析】由函数图像经过点 ，代入后求得 ，结合基本
14、不等式求出结果(1,3) (1)+=2分别解出不等式左右两边的最值情况，即可求出结果【详解】 函数 的图象经过点 ， =+(0) (1,3)3=+， 1， 0(1)+=2 41+1=12(1+)( 41+1)=12(5+41+1)12(5+2 41+1)=92当且仅当 时取等号1=2=43 +22+2 令 ，()=，()=11=1当 时， ， 递增00 ()当 时， ， 递减1 ()0，2=+，2sincos=sincos+cossin=sin(+)=sin结合 为正数，可得sincos=12，(0,)则=3（) ，则 ，=3 cos=3由可得 ，=3 cos=12，=6，cos=2+222
15、=12，2+27=，(+)27=3(+)2=25则 +=5周长为 5+7【点睛】本题主要考查了运用正弦定理、余弦定理解三角形，在求三角形周长时，运用余弦定理求出边长之间的关系，解题时需要掌握方法。20（1） ；（2） .=2+1,=2 =2+(21)2+1【解析】【分析】（）由已知条件分别解出数列 , 的通项公式（）运用错位相减法求出数列 的前 项和 【详解】（）当 时，=1 1=1=1+2=3当 时，1 =1=2+2(1)22(1)=2+1对 也成立，则=1 =2+1(+)设等比数列 的公比为 ，且为递增等比数列 ，则22=16 2=4，解得 ， （舍去），1+3=4+4=10 1=2 2=
16、1 1=21=221=2（） =(2+1)2=321+522+(2+1)22=322+(21)2+(2+1)2+1- 可得：=321+222+22(2+1)2+1=2+2(21+22+2)(2+1)2+1=2(21)2+1则 =2+(21)2+1【点睛】本题主要考查了求数列的通项公式，由已知条件结合等差数列的前 项和推出通项公式，在遇到形如 的形式求和时需要运用错位相减法得到结果。21（1）略；（2） .53819【解析】【分析】()连接 ，交 于 ，连接 ，则 ，再根据线面平行的判定定理即可得到答案 ()建立空间坐标系，求出法向量，运用空间向量求出结果【详解】()连接 ，交 于 ，连接 ，
17、在 中，分别为两腰 ， 的中点， 又 面 ， 面 ， 平面/()以 为空间坐标系原点，分别以 ， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系 ， ， ， 则 ， ， ， ，(0， 0， 2) (， ， 0) (0， 2， 0) (， 0， 0)，(2， 0， 22) (0， 2， 2)，=(， ， 2) =(， ， 0)设平面 的法向量为 =(， ， )则 (， ， )(， ， 2)=0(， ， )(， ， 0)=0 即 ，取 ，则+2=0+=0 =1 =( 22， 22， 1)，=(2， 2， 22)设直线 与法向量的夹角为 ，cos=|=5241922=53819直线 与平面 所成角的正弦值为 53
18、819【点睛】本题主要考查了线面平行及运用空间向量求出线面夹角问题，在求解过程中熟练掌握解题方法，然后运用法则来求出结果。22（） ；（）详见解析；（） .=55(0,12)【解析】【分析】（）代入 ，然后求出函数 在 处的切线方程=2 ()=1（）写出 的表达式，令 ，根据 的取值范围，得到 的单(22) ()=2+2322 ()调性，即可得证（）对 求导，讨论在不同的 的取值范围下 的单调性，进而讨论其零点的个数，即() ()可求出存在三个不同零点时 的取值范围。【详解】（）在 中，取 ，得 ，()+(1)=0 =1 (1)=0又 ,所以 .(1)=1+=+ =从而 ，()=+=+22,
19、，()=1+2(1+12)(1)=5又切点为 ，所以切线方程为 .(1,0) =55（）证明：(22)=2232+2=2+2322令 ，()=2+2322则()=222322=34+4（ 1）22所以， 时， ， 单调递减，(0,1) ()(1)=21221=0所以 时，00（）()=1(1+12)=2+2当 时，在(0，)上， ， 递增，0 ()0 ()所以， 至多有一个零点，不合题意；()当 时，在(0，)上， ， 递减，12 ()0 ()所以， 也至多有一个零点，不合题意；()当 时，令 ，01此时， 在 上递减， 上递增， 上递减，()(0,1) (1,2) (2， +)所以， 至多有三个零点()因为 在 上递增，所以 .()(1,1) (1)0 0(22,1) (0)=0又 ，(10)=(0)=0,(1)=0所以 恰有三个不同的零点： .()0,1,10综上所述，当 存在三个不同的零点时， 的取值范围是 .() (0,12)【点睛】本题主要考查了导数的知识：极值，零点，单调性等，在解题过程中一定要掌握各知识点，结合已知条件进行分类讨论，然后求出结果。
