1、1重点增分专题七 空间几何体的三视图、表面积及体积全国卷 3 年考情分析年份 全国卷 全国卷 全国卷三视图与数学文化T 32018空间几何体的三视图、直观图及最短路径问题T 7圆锥的性质及侧面积的计算T 16与外接球有关的空间几何体体积的最值问题T 102017空间几何体的三视图与直观图、面积的计算T 7空间几何体的三视图及组合体体积的计算T 4球的内接圆柱、圆柱的体积的计算T 8空间几何体的三视图及表面积的计算T 92016有关球的三视图及表面积的计算T 6空间几何体的三视图及组合体表面积的计算T 6 与直三棱柱有关的球体积的最值问题T 10(1)“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“
2、一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积，空间点、线、面位置关系(特别是平行与垂直)(2)考查一个小题时，本小题一般会出现在第 48 题的位置上，难度一般；考查两个小题时，其中一个小题难度一般，另一小题难度稍高，一般会出现在第 1016 题的位置上，本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查保分考点练后讲评考 点 一 空 间 几 何 体 的 三 视 图1. 下列三视图所对应的直观图是( )由 三 视 图 还 原 直 观 图 解析：选 C 由三视图知，几何体的直观图下部是长方体，上部是圆柱，并且高相等，所以 C 选项符合题意
3、2. 如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视由 部 分 视 图 判 断 余 下 视 图 图为( )2解析：选 A 由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为 A，故选 A.3. (2018全国卷)中国古建筑借助榫由 直 观 图 确 定 三 视 图 卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )解析：选 A 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选 A.解题方略1识别
4、三视图的步骤(1)应把几何体的结构弄清楚或根据几何体的具体形状，明确几何体的摆放位置(2)根据三视图的有关规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图(3)被遮住的轮廓线应为虚线2由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置(3)确定几何体的直观图形状3由几何体的部分视图判断剩余的视图的思路先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合几何体的表面积与体积 增分考点讲练冲关考
5、点 二典例 (1)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，3书中提到了一种名为“刍甍”的五面体，如图所示，四边形 ABCD 为矩形，棱 EF AB.若此几何体中， AB4， EF2， ADE 和 BCF 都是边长为 2 的等边三角形，则该几何体的表面积为( )A8 B883 3C6 2 D86 22 3 2 3(2)(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A90 B63C42 D36(3)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AB1， BC2， BB13， ABC90 ，点 D
6、为侧棱 BB1上的动点当AD DC1最小时，三棱锥 DABC1的体积为_解析 (1)如图所示，取 BC 的中点 P，连接 PF，则 PF BC，过 F 作 FQ AB，垂足为 Q.因为 ADE 和 BCF 都是边长为 2 的等边三角形，且 EF AB，所以四边形 ABFE 为等腰梯形， FP ，3则 BQ (AB EF)1， FQ ，12 BF2 BQ2 3所以 S 梯形 EFBA S 梯形 EFCD (24) 3 ，12 3 3又 S ADE S BCF 2 ，12 3 3S 矩形 ABCD428，所以该几何体的表面积 S3 2 2888 .故选 B.3 3 3(2)法一：(分割法)由题意知
7、，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为 4 的圆柱，其体积 V13 2436；上半部分是一个底面半径为 3，高为 6 的圆柱的一半，其体积 V2 3 2627.12所以该组合体的体积 V V1 V2362763.法二：(补形法)由题意知，该几何体是一圆柱被一平面截去一部分后所得的几何体，在该几何体上方再补上一个与其相同的几何体，让截面重合，则所得几何体为一个圆柱，该圆柱的底面半径为 3，高为 10414，该圆柱的体积 V13 214126.故该几何体的体积为圆柱体积的一半，即 V V163.124(3)将平面 AA1B1B 沿着 B1B 旋转到与平面 CC1B1B 在同一平面
8、上(点 B 在线段 AC 上)，连接 AC1与 B1B 相交于点 D，此时 AD DC1最小， BD CC11.因为在直三棱柱中，13BC AB， BC BB1，且 BB1 AB B，所以 BC平面 AA1B1B，又 CC1平面 AA1B1B，所以 V 三棱锥 DABC1 V 三棱锥 C1ABD V 三棱锥 CABD S ABDBC 112 .13 13 12 13答案 (1)B (2)B (3)13解题方略1求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成柱、
9、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得所给几何体的表面积2求空间几何体体积的常用方法公式法 直接根据常见柱、锥、台等规则几何体的体积公式计算等积法根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等割补法把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体多练强化1(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1， O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( )A12 B122C8 D102解析：选 B 设圆柱的轴截面的边长为 x，则 x28，得 x2 ，2
10、S 圆柱表 2 S 底 S 侧 2( )22 22 2 212.故选 B.2(2019 届高三湖北五校联考)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )5A13 B14C15 D16解析：选 C 所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体如图中 ABCDA B C D 所示，长方体的长、宽、高分别为 4,2,3，两个三棱柱的高为 2，底面是两直角边长分别为 3 和 1.5 的直角三角形，故该几何体的体积V4232 3 215.12 323如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 AB AA13，点 P 在棱CC1上，则三棱锥 PABA1的体积为_解
11、析：由题意，得 V 三棱锥 PABA1 V 三棱锥 CABA1 V 三棱锥A1ABC S ABCAA1 323 .13 13 34 934答案：934考 点 三 多 面 体 与 球 的 切 、 接 问 题增 分 考 点 深 度 精 研析母题 高 考 年 年 “神 ”相 似典例 在三棱锥 PABC 中， ABC 为等边三角形， PA PB PC3， PA PB，三棱锥PABC 的外接球的体积为( )A. B. 272 2732C27 D273解析 在三棱锥 PABC 中， ABC 为等边三角形，PA PB PC3， PAB PBC PAC. PA PB， PA PC， PC PB.以 PA， P
12、B， PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，6则正方体的外接球同时也是三棱锥 PABC 的外接球正方体的体对角线长为 3 ，32 32 32 3其外接球半径 R .332因此三棱锥 PABC 的外接球的体积 V 3 .43 (332) 2732答案 B练子题 高 考 年 年 “形 ”不 同1在本例条件下，求三棱锥 PABC 的内切球的半径为_解析：由本例解析知，S PAB S PBC S PAC ，92S ABC 3 3 sin 60 .12 2 2 932设三棱锥 PABC 的内切球的半径为 r，则 VPABC APS PBC (S PAC S PBA S PBC S ABC)r，
13、13 13 3 r，13 92 13(923 932)解得 r ，3 32所求三棱锥内切球的半径为 .3 32答案：3 322若本例变为：已知 A， B， C， D 是球 O 上不共面的四点，且AB BC AD1， BD AC ， BC AD，则球 O 的体积为_2解析：因为 AB BC1， AC ，所以 AB2 BC2 AC2，所以 BC AB，又2BC AD， AD AB A，所以 BC平面 ABD.因为 AB AD1， BD ，所以 AB2 AD2 BD2，2所以 AB AD，此时可将点 A， B， C， D 看成棱长为 1 的正方体上的四个顶点，球 O 为正方体的外接球，设球 O 的半
14、径为 R，故 2R ，所以 R ，则球 O 的体积12 12 1232V R3 .43 32答案： 327解题方略1空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与几何体的位置和数量关系(2)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(3)补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则几何体2与球有关的组合体的常用结论(1)长方体的外接球：球心：体对角线的交点；半径： r (a， b， c 为长方体的长、宽、高)a2 b2 c22(2)正方体的外接球、内切球
15、外接球：球心是正方体中心，半径 r a(a 为正方体的棱长)；32内切球：球心是正方体中心，半径 r (a 为正方体的棱长)a2多练强化1(2018福州质检)已知正三棱柱 ABCA1B1C1中，底面积为 ，一个侧面的周长为3346 ，则正三棱柱 ABCA1B1C1外接球的表面积为( )3A4 B8C16 D32解析：选 C 如图所示，设底面边长为 a，则底面面积为a2 ，所以 a .又一个侧面的周长为 6 ，所以 AA12 .设34 334 3 3 3E， D 分别为上、下底面的中心，连接 DE，设 DE 的中点为 O，则点 O 即为正三棱柱 ABCA1B1C1的外接球的球心，连接 OA1，
16、A1E，则OE ， A1E 1. 在 Rt OEA1中， OA1 2，即外接球的半径3 332 23 12 3 2R2，所以外接球的表面积 S4 R216.2(2019 届高三武昌调研)已知底面半径为 1，高为 的圆锥的顶点和底面圆周都在3球 O 的球面上，则球 O 的表面积为( )A. B432327C. D121638解析：选 C 如图， ABC 为圆锥的轴截面， O 为其外接球的球心，设外接球的半径为 R，连接 OB， OA，并延长 AO 交 BC 于点 D，则AD BC，由题意知， AO BO R， BD1， AD ，则在 Rt BOD 中，有3R2( R)21 2，解得 R ，所以外
17、接球 O 的表面积 S4 R2 ，故选 C.3233 1633(2018全国卷)设 A， B， C， D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且其面积为 9 ，则三棱锥 DABC 体积的最大值为( )3A12 B183 3C24 D543 3解析：选 B 由等边 ABC 的面积为 9 ，可得 AB29 ，所以 AB6，所以等边334 3ABC 的外接圆的半径为 r AB2 .设球的半径为 R，球心到等边 ABC 的外接圆圆心的33 3距离为 d，则 d 2.所以三棱锥 DABC 高的最大值为 246，所以三R2 r2 16 12棱锥 DABC 体积的最大值为 9 618
18、 .13 3 34.(2017江苏高考)如图，在圆柱 O1O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则的值是_V1V2解析：设球 O 的半径为 R，因为球 O 与圆柱 O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为 R、高为 2R，所以 .V1V2 R22R43 R3 32答案：32直观想象三视图中相关问题的求解典例 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )9A24 B42C. 4 D. 823 43解析 由三视图可知，该几何体的直观图为左侧半球、中间正方体、右侧圆锥的组合体其中，半球的半径 r1与圆锥
19、的底面半径 r2相等，皆为 1，即 r1 r21，正方体的棱长 a2，圆锥的高 h2.所以半球的体积 V1 r 13 ，12 43 31 12 43 23正方体的体积 V2 a32 38，圆锥的体积 V3 r h 1 22 .13 2 13 23所以该组合体的体积 V V1 V2 V3 8 8.故选 D.23 23 43答案 D素养通路本题以组合体的三视图为背景，主要是根据几何体的三视图及三视图中的数据，求几何体的体积或侧(表)面积此类问题难点：一是根据三视图的形状特征确定几何体的结构特征；二是将三视图中的数据转化为几何体的几何度量考查了直观想象这一核心素养专 题 过 关 检 测 一、选择题1
20、如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )解析：选 D 先观察俯视图，由俯视图可知选项 B 和 D 中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项 D 正确102设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为 4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为( )A100 B. 2563C. D. 4003 5003解析：选 D 因为切面圆的半径 r4，球心到切面的距离 d3，所以球的半径 R 5，故球的体积 V R3 5 3 ，即该西瓜的体积为 .r2 d2 42 3243 43 5003 50033(2019 届高三开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则
21、该几何体的体积为( )A4 B2C. D43解析：选 B 由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为 ，由 tan ，得 ，故底31 3 3面面积为 22 ，则该几何体的体积为 32.12 3 23 234 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵” 已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )A2 B42 2C44 D462 211解析：选 C 由三视图知，该几何体是直三棱柱 ABCA1B1C1，其直观图如图所示，其中 AB AA12， BC AC ， C90 ，侧面为三个矩2形，故该“堑堵”的侧面
22、积 S(22 )244 .2 25(2018惠州二调)如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且直角边长都等于 1，则该几何体的外接球的体积为( )A. B. 12 32C3 D. 43解析：选 B 还原几何体为如图所示的三棱锥 ABCD，将其放入棱长为 1 的正方体中，如图所示，则三棱锥 ABCD 外接球的半径 R ，该几32何体的外接球的体积 V R3 ，故选 B.43 326已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A. cm3 B. cm343 83C2 cm 3 D4 cm 3解析：选 B 由三视图可知，该几何体为底面是正方
23、形，且边长为 2 cm，高为 2 cm 的四棱锥，如图，故 V 222 (cm3)13 837如图，已知 EAB 所在的平面与矩形 ABCD 所在的平面互相垂直，EA EB3， AD2， AEB60 ，则多面体 EABCD 的外接球的表面积为( )12A. B8163C16 D64解析：选 C 由题知 EAB 为等边三角形，设球心为 O， O 在平面 ABCD 的射影为矩形 ABCD 的中心， O 在平面 ABE 上的射影为 EAB 的重心 G，又由平面EAB平面 ABCD，则 OGA 为直角三角形， OG1， AG ，所以 R24，所以多面体3EABCD 的外接球的表面积为 4 R216.8
24、(2018昆明摸底)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为( )A63 B72C79 D99解析：选 A 由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为 5，底面圆的半径为 3，半球的半径为 3，所以组合体的体积为 3 25 3 363.12 439(2019 届高三武汉调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )13A28 B242 5C204 D2025 5解析：选 B 根据该几何体的三视图作出其直观图如图所示，可知该几何体是一个底面是梯形的四棱
25、柱根据三视图给出的数据，可得该几何体中梯形的上底长为 2，下底长为 3，高为 2，所以该几何体的表面积 S (23)222223222 242 ，故选 B.12 22 12 510.如图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为 2 的等边三角形，侧视图是直角边长分别为 1 和 的直角三角形，俯视3图是半径为 1 的半圆，则该几何体的内接三棱锥的体积的最大值为( )A. B.36 33C. D.433 33解析：选 B 由三视图可知该几何体为半个圆锥，圆锥的母线长 l2，底面半径r1，高 h .由半圆锥的直观图可得，当三棱锥的底面是斜边，为半圆直径，高为半径3的等腰直角三角形，棱锥的高为半圆锥的
26、高时，其内接三棱锥的体积达到最大值，最大体积为 V 21 ，故选 B.13 12 3 3311(2019 届高三贵阳摸底考试)某实心几何体是用棱长为 1 cm 的正方体无缝粘合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )14A50 cm 2 B61 cm 2C84 cm 2 D86 cm 2解析：选 D 根据题意可知该几何体由 3 个长方体(最下面长方体的长、宽、高分别为5 cm,5 cm, 1 cm；中间长方体的长、宽、高分别为 3 cm,3 cm,1 cm；最上面长方体的长、宽、高分别为 1 cm,1 cm,1 cm)叠合而成，长、宽、高分别为 5 cm,5 cm,1 cm 的长方
27、体的表面积为 2(555151)23570(cm 2)；长、宽、高分别为 3 cm,3 cm,1 cm 的长方体的表面积为 2(333131)21530(cm 2)；长、宽、高分别为 1 cm，1 cm,1 cm 的长方体的表面积为 2(111111)23 6(cm 2)由于几何体的叠加而减少的面积为 2(33)2(11)21020(cm 2)，所以所求表面积为703062086(cm 2)12在棱长为 3 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， P 在线段 BD1上，且 ， M 为线段BPPD1 12B1C1上的动点，则三棱锥 MPBC 的体积为( )A1 B.32C. D与 M 点的位置有
28、关92解析：选 B ，点 P 到平面 BCC1B1的距离是 D1到平面 BCC1B1距离的 ，即BPPD1 12 13为 1. M 为线段 B1C1上的点， S MBC 33 ，D1C13 12 92 VMPBC VPMBC 1 .13 92 3213(2018洛阳尖子生第一次联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A2 B1C. D.23 13解析：选 C 由题图可知该几何体是一个四棱锥，如图所示，其中PD平面 ABCD，底面 ABCD 是一个对角线长为 2 的正方形，底面积 S 222，高 h1，则该几何体的体积 V Sh ，故选 C.12 13 231514(2018武汉
29、调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B.12 22C. D.33 23解析：选 D 由三视图知，该几何体是在长、宽、高分别为 2,1,1 的长方体中，截去一个三棱柱 AA1D1BB1C1和一个三棱锥 CBC1D 后剩下的几何体，即如图所示的四棱锥DABC1D1，四棱锥 DABC1D1的底面积为 S 四边形 ABC1D12 2 ，高 h ，2 222其体积 V S 四边形 ABC1D1h 2 .13 13 2 22 2315(2019 届高三安徽知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A1 B.12C. D.13 14解析：选 C 法一：该几
30、何体的直观图为如图所示的四棱锥SABCD， SD平面 ABCD，且 SD1，四边形 ABCD 是平行四边形，且AB DC1，连接 BD，由题意知 BD DC， BD AB，且 BD1，所以 S 四边16形 ABCD1，所以 VSABCD S 四边形 ABCDSD .13 13法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以 V Sh，其中 S 指的是锥体的底面积，即13俯视图中四边形的面积，易知 S1， h 指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知 h1，所以 V Sh .13 1316(2018福州质检)已知三棱锥 PABC 的四个顶点都在球 O 的表面上， PA平面ABC， AB BC，且 PA8.若平
31、面 ABC 截球 O 所得截面的面积为 9，则球 O 的表面积为( )A10 B25C50 D100解析：选 D 设球 O 的半径为 R，由平面 ABC 截球 O 所得截面的面积为 9，得 ABC的外接圆的半径为 3.设该外接圆的圆心为 D，因为 AB BC，所以点 D 为 AC 的中点，所以DC3.因为 PA平面 ABC，易证 PB BC，所以 PC 为球 O 的直径又 PA8，所以OD PA4，所以 R OC 5，12 42 32所以球 O 的表面积为 S4 R2100.二、填空题17一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是_解析：由四棱锥的三视图可知，该四棱锥
32、的直观图如图中四棱锥 PABCD 所示，底面 ABCD 为边长为 1 的正方形， PAD 是边长为 1 的等边三角形，作PO AD 于点 O，则 O 为 AD 的中点，所以四棱锥的体积为 V 11 .13 32 36答案：3618.如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中， D 为棱 AA1的中点若AA14， AB2，则四棱锥 BACC1D 的体积为_17解析：取 AC 的中点 O，连接 BO(图略)，则 BO AC，所以 BO平面 ACC1D.因为 AB2，所以 BO .3因为 D 为棱 AA1的中点， AA14，所以 AD2，所以 S 梯形 ACC1D (24)26，12所以四棱锥 BACC
33、1D 的体积为 6 2 .13 3 3答案：2 319.如图，半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱，则圆柱的侧面积最大值是_解析：设圆柱的上底面半径为 r，球的半径与上底面夹角为 ，则 r4cos ，圆柱的高为 8sin .所以圆柱的侧面积为 32sin 2 .当且仅当 时，sin 2 1，圆柱的侧面积最大， 4所以圆柱的侧面积的最大值为 32.答案：3220(2018沈阳质检)已知在正四棱锥 SABCD 中， SA6 ，那么当该棱锥的体积最3大时，它的高为_解析：设正四棱锥的底面正方形的边长为 a，高为 h，因为在正四棱锥 SABCD 中，SA6 ，所以 h2108，即 a22162 h2，所以正四棱锥的体积3a22VSABCD a2h72 h h3，令 y72 h h3，则 y722 h2，令 y0，得 06，所以当该棱锥的体积最大时，它的高为 6.答案：618
