1、1重点增分专题三 导数的简单应用全国卷 3 年考情分析年份 全国卷 全国卷 全国卷奇函数的定义及利用导数的几何意义求切线方程T 52018利用导数讨论函数的单调性T 21(1)利用导数的几何意义求切线方程T 13利用导数的几何意义求参数值T 142017利用导数讨论函数的单调性T 21(1)导数的运算、利用导数求函数极值T 11函数的奇偶性、利用导数的几何意义求切线方程T 152016 利用导数公式直接求导T 21(1)(1)高考对导数的几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题第一问(2)高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择、
2、填空的后几题中出现，难度中等；有时也出现在解答题第一问(3)近 几 年 全 国 课 标 卷 对 定 积 分 及 其 应 用 的 考 查 极 少 ， 题 目 一 般 比 较 简 单 ， 但 也 不 能 忽 略 保分考点练后讲评考 点 一 导 数 的 几 何 意 义大稳定 常 规 角 度 考 双 基1. (2018全国卷)曲线 y2ln x 在点(1,0)处的切线方程为已 知 切 点 求 切 线 方 程 _解析：因为 y ， y| x1 2，所以切线方程为 y02( x1)，即 y2 x2.2x答案： y2 x22. 曲线 f(x) x3 x3 在点 P 处的切线平行于直线由 切 线 方 程 求
3、切 点 坐 标 y2 x1，则点 P 的坐标为_解析： f( x)3 x21，令 f( x)2，则 3x212，解得 x1 或 x1， P(1,3)或(1,3)，经检验，点(1,3)，(1,3)均不在直线 y2 x1 上，故点 P 的坐标为(1,3)和(1,3)答案：(1,3)和(1,3)23. (2018全国卷)曲线 y( ax1)e x在点(0,1)处的切线的斜率求 参 数 值 或 范 围 为2，则 a_.解析： y( ax a1)e x，当 x0 时， y a1， a12，解得 a3.答案：34. 曲线 f(x) x32 x22 过点已 知 切 线 上 一 点 非 切 点 求 切 线 方
4、 程 (12 x 52)P(2,0)的切线方程为_解析：因为 f(2)2 322 2220，所以点 P(2,0)不在曲线 f(x) x32 x22 上设切点坐标为( x0， y0)，则 x0 ，12 52因为 f( x)3 x24 x，所以Error!消去 y0，整理得( x01)( x 3 x01)0，20解得 x01 或 x0 (舍去)3 52或 x0 (舍去)，3 52所以 y01， f( x0)1，所以所求的切线方程为 y1( x1)，即 y x2.答案： y x25. 若曲线 yln( x a)的一条切线为 ye x b，其中求 含 双 参 数 代 数 式 的 取 值 范 围 a，
5、b 为正实数，则 a 的取值范围是_eb 2解析：因为 yln( x a)，所以 y .1x a设切点为( x0， y0)，则有Error!所以 b ae2.因为 b0，所以 a ，2e所以 a a a 2(当且仅当 a1 时取等号)，eb 2 eae 1a所以 a 的取值范围是2，)eb 2答案：2，)3解题方略1求曲线 y f(x)的切线方程的 3 种类型及方法类型 方法已知切点 P(x0， y0)，求切线方程 求出切线的斜率 f( x0)，由点斜式写出方程已知切线的斜率 k，求切线方程设切点 P(x0， y0)，通过方程 k f( x0)解得x0，再由点斜式写出方程已知切线上一点(非切点
6、)，求切线方程设切点 P(x0， y0)，利用导数求得切线斜率f( x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，再由点斜式或两点式写出方程2由曲线的切线求参数值或范围的 2 种类型及解题关键类型 解题关键已知曲线在某点处的切线求参数关键是用“方程思想”来破解，先求出函数的导数，从而求出在某点处的导数值；再根据导数的几何意义与已知条件，建立关于参数的方程，通过解方程求出参数的值已知曲线的切线方程，求含有双参数的代数式的取值范围关键是过好“双关”：一是转化关，即把所求的含双参数的代数式转化为含单参数的代数式，此时需利用已知切线方程，寻找双参数的关系式；二是求最值关，常利用函数的单调性
7、、基本不等式等方法求最值，从而得所求代数式的取值范围小创新 变 换 角 度 考 迁 移1. 已知函数 f(x) x2 ax 的图象在点 A(1， f(1)处的切线 l 与直线与 数 列 交 汇 x3 y10 垂直，记数列 的前 n 项和为 Sn，则 S2 018的值为( )1f n A. B.2 0162 017 2 0172 018C. D.2 0152 016 2 0182 019解析：选 D 由题意知 f(x) x2 ax 的图象在点 A(1， f(1)处的切线斜率 k f(1)2 a3 a1，故 f(x) x2 x.则 ， S2 1f n 1n n 1 1n 1n 10181 1 .1
8、2 12 13 12 018 12 019 12 019 2 0182 0192. 曲线 f(x) x33 x2在点(1， f(1)处的切线截圆 x2( y1) 24 所得与 圆 交 汇 4的弦长为( )A4 B2 2C2 D. 2解析：选 A 因为 f( x)3 x26 x，则 f(x)在点(1， f(1)处的切线的斜率k363，又 f(1)2，故切线方程为 y23( x1)，即 3x y10.因为圆心 C(0，1)到直线 3x y10 的距离 d0，所以直线 3x y10 截圆 x2( y1) 24 所得的弦长就是该圆的直径 4，故选 A.3. 已知函数 f(x) x sin x cos
9、x 的图象在点 A(x0， y0)处的与 三 角 函 数 交 汇 12 14 34切线的斜率为 1，则 tan x0_.解析： f(x) x sin x cos x， f( x) cos x sin x sin12 14 34 12 14 34 12 12.(x 6)函数 f(x)的图象在点 A(x0， y0)处的切线斜率为 1， sin 1，12 12 (x0 6) x0 2 k， kZ， 6 2 x0 2 k， kZ，23tan x0tan .(23 2k ) 3答案： 3考 点 二 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性增 分 考 点 深 度 精 研析母题 高 考 年 年 “神
10、”相 似典例 已知函数 f(x)e x(ex a) a2x，讨论 f(x)的单调性解 函数 f(x)的定义域为(，)，f( x)2e 2x aex a2(2e x a)(ex a)若 a0，则 f(x)e 2x在(，)上单调递增若 a0，则由 f( x)0，得 xln a.当 x(，ln a)时， f( x)0；当 x(ln a，)时， f( x)0.故 f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增5若 a0，则由 f( x)0，得 xln .(a2)当 x 时， f( x)0；( ， ln(a2)当 x 时， f( x)0.(ln(a2)， )故 f(x)在 上单调递减，(
11、 ， ln(a2)在 上单调递增(ln(a2)， )练子题 高 考 年 年 “形 ”不 同1若本例中 f(x)变为 f(x)ln x ， aR 且 a0，讨论函数 f(x)的单调性1ax 1a解：函数 f(x)的定义域为(0，)，则 f( x) .1x 1ax2 ax 1ax2当 a0 恒成立，函数 f(x)在(0，)上单调递增当 a0 时，由 f( x)0，得 x ；1a由 f( x)0 时，函数 f(x)在 上单调递增，(1a， )在 上单调递减(0，1a)2若本例变为：已知函数 f(x)e x(ex a) a2x 在1，)上单调递增，求实数 a的取值范围解：由本例解析知 f( x)(2e
12、 x a)(ex a)， f(x)在1，)上单调递增，则 f( x)0 在1，)上恒成立，(2e x a)(ex a)0，2e x ae x在1，)上恒成立，2e ae，实数 a 的取值范围为2e，e63若本例变为：函数 f(x)e x(ex a) a2x 在1，)上存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围解：由本例解析知 f( x)2e 2x aex a2，设 te x， x1，)， te，)，即 g(t)2 t2 at a2在e，)上有零点 g(e)2e 2 ae a2e 或 a0)由Error!得 00，函数 f(x)为增函数又 f(3) f(1)，112x 4x2 12x0，得 x ，
13、令 f( x)0)在1，)上的最大值为 ，则 a 的值为( )xx2 a 33A. 1 B.334C. D. 143 3(2)已知函数 f(x)2ln x2 ax x2有两个极值点 x1， x2(x10， f(x)单调递增，a故当 x 时，函数 f(x)有最大值 ，得 a 1，不合题意；a12a 33 34当 a1 时，函数 f(x)在1，)上单调递减，最大值为 f(1) ，不合题意；12当 0 a1 时，函数 f(x)在 1，)上单调递减，此时最大值为 f(1) ，1a 1 33得 a 1，符合题意3故 a 的值为 1.3(2)f(x)的定义域为(0，)，f( x) 2 a2 x ，2x 2
14、 x2 ax 1x令 f( x)0，即 x2 ax10，要使 f(x)在(0，)上有两个极值点，则方程 x2 ax10 有两个不相等的正根，则Error!实数 a 的取值范围为(2，)解题方略 已知函数极值点或极值求参数的方法9列式 根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解验证因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性逻辑推理分类与整合思想研究函数的单调性典例 (2018佛山月考)已知函数 f(x)ln x a2x2 ax(aR)(1)当 a1 时，求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在区间(1，)上是减函数
15、，求实数 a 的取值范围解 (1)当 a1 时， f(x)ln x x2 x，其定义域为(0，)， f( x) 2 x1 ，1x 2x2 x 1x令 f( x)0，则 x1(负值舍去)当 00；当 x1 时， f( x)0，1x f(x)在区间(0，)上为增函数，不合题意；当 a0 时，由 f( x) .1a f(x)的单调递减区间为 .(1a， )依题意，得Error!解得 a1；当 a .12a f(x)的单调递减区间为 .(12a， )依题意，得Error!解得 a .12综上所述，实数 a 的取值范围是 1，)( ， 1210法二： f( x) 2 a2x a .1x 2a2x2 ax
16、 1x由 f(x)在区间(1，)上是减函数，可得 g(x)2 a2x2 ax10 在区间(1，)上恒成立当 a0 时，10 不合题意；当 a0 时，可得Error!即Error!Error! a1 或 a .12实数 a 的取值范围是 1，)( ， 12素养通路逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎本题是含参函数的单调性问题，对于此类问题一般要分类讨论，常见有以下几种可能：方程 f( x)0 是否有根；若 f( x)0 有根，求出根后是否在定义域内；若根在定义域内
17、且有两个，比较根的大小是常见的分类方法考查了逻辑推理这一核心素养专 题 过 关 检 测 A 组“633”考点落实练一、选择题1已知函数 f(x)的导函数 f( x)满足下列条件： f( x)0 时， x2； f( x)0， xln a，代入曲线方程得 y1 ln a，所以切线方程为 y(1ln a)2( xln a)，即 y2 xln a12 x1 a1.3(2019 届高三广州高中综合测试)已知函数 f(x) x3 ax2 bx a2在 x1 处的极值为 10，则数对( a， b)为( )A(3,3) B(11,4)C(4，11) D(3,3)或(4，11)解析：选 C f( x)3 x22
18、 ax b，依题意可得Error!即Error! 消去 b 可得 a2 a120，解得 a3 或 a4，故Error!或Error!当Error!时，f( x)3 x26 x33( x1) 20，这时 f(x)无极值，不合题意，舍去，故选 C.4已知 f(x) x2 ax3ln x 在(1，)上是增函数，则实数 a 的取值范围为( )A(，2 B.6 ( ，62C2 ，) D5，)6解析：选 C 由题意得 f( x)2 x a 0 在(1，)上恒成立3x 2x2 ax 3xg(x)2 x2 ax30 在(1，)上恒成立 a2240 或Error!2 a26或 Error!a2 ，故选 C.6
19、65(2018全国卷)设函数 f(x) x3( a1) x2 ax，若 f(x)为奇函数，则曲线y f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )A y2 x B y xC y2 x D y x解析：选 D 法一： f(x) x3( a1) x2 ax， f( x)3 x22( a1) x a.又 f(x)为奇函数， f( x) f(x)恒成立，即 x3( a1) x2 ax x3( a1) x2 ax 恒成立， a1， f( x)3 x21， f(0)1，曲线 y f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y x.法二：易知 f(x) x3( a1) x2 ax xx2( a1) x a，因为 f(
20、x)为奇函数，所以函数 g(x) x2( a1) x a 为偶函数，所以 a10，解得 a1，所以 f(x) x3 x，所以 f( x)3 x21，所以 f(0)1，所以曲线 y f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y x.故选 D.6函数 f(x)(x0)的导函数为 f( x)，若 xf( x) f(x)e x，且 f(1)e，则( )A f(x)的最小值为 e B f(x)的最大值为 e12C f(x)的最小值为 D f(x)的最大值为1e 1e解析：选 A 设 g(x) xf(x)e x，所以 g( x) f(x) xf( x)e x0，所以 g(x) xf(x)e x为常数函数因为
21、g(1)1 f(1)e0，所以 g(x) xf(x)e x g(1)0，所以 f(x) ， f( x) ，exx ex x 1x2当 01 时， f( x)0，所以 f(x) f(1)e.二、填空题7(2019 届高三西安八校联考)曲线 y2ln x 在点(e 2,4)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为_解析：因为 y ，所以曲线 y2ln x 在点(e 2,4)处的切线斜率为 ，所以切线方程2x 2e2为 y4 (xe 2)，即 x y20.令 x0，则 y2；令 y0，则 xe 2，所以切2e2 2e2线与坐标轴所围成的三角形的面积 S e22e 2.12答案：e 28已知函数 f(x
22、) x25 x2ln x，则函数 f(x)的单调递增区间是_解析：函数 f(x) x25 x2ln x 的定义域是(0，)，令 f( x)2 x5 2x 0，解得 02，故函数 f(x)的单调递增区间是2x2 5x 2x x 2 2x 1x 12和(2， )(0，12)答案： 和(2，)(0，12)9若函数 f(x) x aln x 不是单调函数，则实数 a 的取值范围是_解析：由题意知 f(x)的定义域为(0，)， f( x)1 ，要使函数 f(x) x aln axx 不是单调函数，则需方程 1 0 在(0，)上有解，即 x a， a0，得 ln 20，所以 f(x)在0,1上单调递增，所
23、以 f(x)max f(1)e1.11(2018潍坊统一考试)已知函数 f(x) axln x， F(x)e x ax，其中 x0， a0，1x ax 1x a0，即 F(x)在(0，)上单调递增，不合题意，当 a0，得 xln( a)；由 F( x)1.xln x(1)若 f(x)在(1，)上单调递减，求实数 a 的取值范围；(2)若 a2，求函数 f(x)的极小值解：(1) f( x) a，ln x 1ln2x由题意可得 f( x)0 在(1，)上恒成立， a 2 .1ln2x 1ln x ( 1ln x 12) 1414 x(1，)，ln x(0，)，当 0 时，函数 t 2 的最小值为
24、 ，1ln x 12 ( 1ln x 12) 14 14 a ，即实数 a 的取值范围为 .14 ( ， 14(2)当 a2 时， f(x) 2 x(x1)，xln xf( x) ，ln x 1 2ln2xln2x令 f( x)0，得 2ln2xln x10，解得 ln x 或 ln x1(舍去)，即 xe12.12当 1e12时， f( x)0， f(x)的极小值为 f(e12) 2e124e .e12B 组大题专攻补短练1(2019 届高三益阳、湘潭调研)已知函数 f(x)ln x ax2 x， aR.(1)当 a0 时，求曲线 y f(x)在点(e， f(e)处的切线方程；(2)讨论 f
25、(x)的单调性解：(1)当 a0 时， f(x)ln x x， f(e)e1， f( x) 1， f(e)1 ，1x 1e曲线 y f(x)在点(e， f(e)处的切线方程为 y(e1) (xe)，即 y x.(11e) (1e 1)(2)f( x) 2 ax1 ， x0，1x 2ax2 x 1x当 a0 时，显然 f( x)0， f(x)在(0，)上单调递增；当 a0 时，令 f( x) 0，则2 ax2 x10，易知其判别式为正， 2ax2 x 1x设方程的两根分别为 x1， x2(x10. 2ax2 x 1x 2a x x1 x x2x令 f( x)0，得 x(0， x2)，令 f( x
26、)0.a x 1x2(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若直线 x y10 是曲线 y f(x)的切线，求实数 a 的值(3)设 g(x) xln x x2f(x)，求 g(x)在区间1，e上的最小值(其中 e 为自然对数的底数)解：(1)因为函数 f(x) ，a x 1x2所以 f( x) ，a x 1 x2 x2 a x 1x4 a 2 xx3由 f( x)0，得 02，故函数 f(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(，0)和(2，)(2)设切点为( x0， y0)，由切线斜率 k1 x ax02 a，a 2 x0x30 30由 x0 y01 x0 10( x a)(x01
27、)0 x01， x0 .a x0 1x20 20 a把 x01 代入得 a1，把 x0 代入得 a1，a把 x0 代入无解，a故所求实数 a 的值为 1.(3)因为 g(x) xln x x2f(x) xln x a(x1)，所以 g( x)ln x1 a，由 g( x)0，得 xea1 ；由 g( x)0， f(x)在(0，)上单调递增；当 m0 时，令 f( x)0，得 0 ，m2m f(x)在 上单调递增，在 上单调递减(0，m2m) (m2m， )(2)由(1)知，当 m0 时， f(x)在(0，)上单调递增，无最大值当 m0 时， f(x)在 上单调递增，在 ，上单调递减(0，m2m
28、) m2m f(x)max f ln 2 m nln 2 ln m nln 2，(m2m) m2m 14m 12 12 n ln m ， m n m ln m .12 12 12 12令 h(x) x ln x (x0)，12 12则 h( x)1 ，12x 2x 12x由 h( x)0，得 x ，12 12 h(x)在 上单调递减，在 上单调递增，(0，12) (12， ) h(x)min h ln 2，(12) 12 m n 的最小值为 ln 2.124(2018泉州调研)设函数 f(x)ln( x a) x.(1)若直线 l： y xln 3 是函数 f(x)的图象的一条切线，求实数 a
29、 的值23 23(2)当 a0 时，关于 x 的方程 f(x) x2 x m 在区间1,3上有解，求 m 的取值范103围17解：(1) f(x)ln( x a) x， f( x) 1，1x a设切点为 P(x0， y0)，则 1 ， x0 a3.1x0 a 23又 ln(x0 a) x0 x0ln 3 ，23 23ln 3 x0 x0ln 3 ，23 23 x02， a1.(2)当 a0 时，方程 f(x) x2 x m，103即 ln x x2 x m.73令 h(x)ln x x2 x(x0)，73则 h( x) 2 x .1x 73 3x 1 2x 33x当 x1,3时， h( x)， h(x)随 x 的变化情况如下表：x 1 (1， 32) 32 (32， 3) 3h( x) 0 h(x) 43 极大值 ln 32 h(1) ， h(3)ln 32 ， h ln ，43 43 (32) 32 54当 x1,3时， h(x) ，ln 3 2， ln 32 54 m 的取值范围为 .ln 3 2， ln 32 5418
