1、1重点增分专题二 基本初等函数、函数与方程全国卷 3 年考情分析年份 全国卷 全国卷 全国卷2018 分段函数的零点问题T 9 对数式的比较大小问题T 122017指数与对数的互化、对数运算、比较大小T 11函数的零点问题T 112016利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较大小T 8利用指数函数与幂函数的单调性比较大小T 6(1)基本初等函数作为高考的命题热点，多考查指数式与对数式的运算、利用函数的性质比较大小，一般出现在第 512 题的位置，有时难度较大(2)函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，题目可能较难，应引起重视考 点 一 基 本 初 等 函 数 的 图 象 与
2、性 质增 分 考 点 深 度 精 研析母题 高 考 年 年 “神 ”相 似典例 (1)若当 xR 时，函数 f(x) a|x|(a0，且 a1)满足 f(x)1，则函数ylog a(x1)的图象大致为( )(2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x0，)时，函数 f(x)是单调递减函数，则 f(log25)， f ， f(log53)的大小关系是( )(log315)A f log351log530.又因为 f(x)在0，)上为单调递减函数，所以 f(log53)f(log35)f(log25)，即 f(log53)f f(log25)(log315)答案 (1)C (2)D练
3、子题 高 考 年 年 “形 ”不 同1本例(1)变为：若函数 y a|x|(a0，且 a1)的值域为 y|y1，则函数ylog a|x|的图象大致是( )解析：选 B y a|x|的值域为 y|y1， a1，则 ylog ax 在(0，)上是增函数，又函数 ylog a|x|的图象关于 y 轴对称因此 ylog a|x|的图象应大致为选项 B.2本例(1)变为：若函数 f(x) xa满足 f(2)4，那么函数 g(x)|log a(x1)|的图象大致为( )解析：选 C 法一：由函数 f(x) xa满足 f(2)4，得 2a4， a2，则 g(x)|log a(x1)|log 2(x1)|，将
4、函数 ylog 2x 的图象向左平移 1 个单位长度(纵坐标不变)，然后将 x 轴下方的图象翻折上去，即可得 g(x)的图象，故选 C.法二：由函数 f(x) xa满足 f(2)4，得 2a4， a2，即 g(x)|log 2(x1)|，由 g(x)的定义域为 x|x1，排除 B、D；由 x0 时， g(x)0，排除 A.故选 C.3本例(2)变为：已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0，)时，函数f(x)是单调递增函数，则 f(log25)， f ， f(log53)的大小关系是_(log315)解析：由对数函数的单调性知 log25log53log3 .又 f(x)在 R
5、上为奇函数且当153x0， )时， f(x)为增函数， f(x)在 R 上为增函数 f(log25)f(log53)f.(log315)答案： f(log25)f(log53)f(log315)4本例(2)变为：设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数，满足条件 y f(x1)是偶函数，且当 x1 时， f(x) x1，则 f ， f ， f 的大小关系是( )(13) (25) (54) (12)A f f f B f f f(25) (12) (54) (25) (54) (12)C f f f D f f f(12) (25) (54) (54) (12) (25)解析：选 D 因为函数
6、 y f(x1)是偶函数，所以 f( x1) f(x1)，即函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，所以 f f ， f f .当 x1 时， f(x) x1 单调递(25) (85) (12) (32) (13)减，由 1 和 01 时，两函数在定义域内都为增函数；当 00 和 log0.210， blog 20.3log0.30.4log0.310，00， a1)的定义域和值域都是0,1，则 loga log a ( )a ax56 485A1 B2C3 D4解析：选 C 当 a1 时，函数 y 在0,1上单调递减， 1 且a ax a 1 0，解得 a2；当 00，所以函数 f(x)的
7、零点所在区间为(1,2)，故选 B.法二：函数 f(x)的零点所在的区间可转化为函数 g(x)ln x， h(x) x2 图象交点的横坐标所在的取值范围作出图象如图所示由图可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2)(2)由题意可知，当 3x k (kZ)时， 6 2f(x)0. x0，3 x ， 6 6， 196 5当 3x 取值为 ， ， 时， f(x)0， 6 232 52即函数 f(x)cos 在0，的零点个数为 3.(3x 6)答案 (1)B (2)3解题方略1判断函数在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上；(2
8、)利用零点存在性定理进行判断；(3)画出函数图象，通过观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断2判断函数零点个数的 3 种方法 题型二 根据函数的零点求参数的范围例 2 (1)(2018全国卷)已知函数 f(x)Error! g(x) f(x) x a.若 g(x)存在2 个零点，则 a 的取值范围是( )A1,0) B0，)C1，) D1，)(2)已知定义域为 R 的偶函数 f(x)满足：对 xR，有 f(x2) f(x) f(1)，且当x2,3时， f(x)2 x212 x18.若函数 y f(x)log a(x1)在(0，)上至少有三个零点，则实数 a 的取值范围为( )A. B.
9、(0，33) (0， 22)C. D.(0，55) (0， 66)解析 (1)令 h(x) x a，则 g(x) f(x) h(x)在同一坐标系中画出 y f(x)， y h(x)的示意图，如图所示若 g(x)存在 2 个零点，则 y f(x)的图象与 y h(x)的图象有 2 个交点，平移 y h(x)的图象，可知当直线 y x a 过点(0,1)时，有 2 个交点，此时 10 a， a1.当 y x a 在 y x1 上方，即 a1 时，有 2 个交点，符合题意综上， a 的取值范围为1，)故选 C.(2) f(x2) f(x) f(1)， f(x)是偶函数， f(1)0， f(x2) f
10、(x)，即 f(x)是周期为 2 的周期函数，且 y f(x)的图象关于直线 x2 对称，作出函数 y f(x)与 g(x)log a(x1)的图象如图所示，两个函数图象在(0，)上至少有三个交点， g(2)log a3f(2)2，且 00，且 a1)的图象恒过的点是( )A(0,0) B(0，1)C(2,0) D(2，1)解析：选 C 令 x20，得 x2，所以当 x2 时， y a010，所以y ax2 1( a0，且 a1)的图象恒过点(2,0)3(2019 届高三益阳、湘潭调研)若 alog 32， blg 0.2， c2 0.2，则 a， b， c 的大小关系为( )A c1， bb
11、c B cbaC bac D cab解析：选 B f(x)是奇函数， a f f f(log310)(log3110) ( log3110)又log 310log39.1log3922 0.8，且 f(x)在 R 上单调递减， f(log310)ba，故选 B.7已知函数 f(x)lg 是奇函数，且在 x0 处有意义，则该函数为( )(21 x a)A(，)上的减函数B(，)上的增函数C(1,1)上的减函数D(1,1)上的增函数解析：选 D 由题意知， f(0)lg(2 a)0， a1， f(x)lg lg(21 x 1)，令 0，则10，且 a1)过定点(2,0)，且 f(x)在定义域 R
12、上是减函数，则 g(x)log a(x k)的图象是( )9解析：选 A 由题意可知 a2 k10，解得 k2，所以 f(x) ax2 1，又 f(x)在定义域 R 上是减函数，所以 00，且 a1)，当 x 时，恒有 f(x)0，则(0，12)f(x)的单调递增区间是( )A. B(0，)( ， 12)C. D.( ， 14) ( 14， )解析：选 A 当 x 时，2 x2 x(0,1)，因为当 x 时，恒有 f(x)0，所(0，12) (0， 12)以 00 得 x0 或 x1 D00 时，由 f(x)ln x0，得 x1.因为函数 f(x)有两个不同的零点，所以当 x0 时，函数 f(
13、x)2 x a 有一个零点，令 f(x)0，得 a2 x，因为 01.又 00，1a所以函数 f(x) ax x b 在(1,0)内有一个零点，故 n1.7两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数” ，给出四个函数： f1(x)2log 2(x1)， f2(x)log 2(x2)， f3(x)log 2x2， f4(x)log 2(2x)，则“同根函数”是( )13A f2(x)与 f4(x) B f1(x)与 f3(x)C f1(x)与 f4(x) D f3(x)与 f4(x)解析：选 A f4(x)log 2(2x)1log 2x， f2(x)log 2(x2)，将 f2
14、(x)的图象沿着 x轴先向右平移 2 个单位得到 ylog 2x 的图象，然后再沿着 y 轴向上平移 1 个单位可得到f4(x)的图象，根据“同根函数”的定义可知选 A.8已知 f(x)|ln( x1)|，若 f(a) f(b)(a0 B a b1C2 a b0 D2 a b1解析：选 A 作出函数 f(x)|ln( x1)|的图象如图所示，由f(a) f(b)(a a b 240，又易知10， a b40， a b0.故选 A.9已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：图象关于点(1,0)对称； f(1 x) f(1 x)；当 x1,1时， f(x)Error!则函数 y f(x) |x|在
15、区间3,3上(12)的零点个数为( )A5 B6C7 D8解析：选 A 因为 f(1 x) f(1 x)，所以函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，又函数 f(x)的图象关于点(1,0)对称，如图所示，画出 y f(x)以及 g(x) |x|在3,3上的图象，由(12)图可知，两函数图象的交点个数为 5，所以函数 y f(x) |x|在区间3,3上的零点个(12)数为 5，故选 A.10设函数 f(x)e |ln x|(e 为自然对数的底数)若 x1 x2且 f(x1) f(x2)，则下列结论一定不成立的是( )A x2f(x1)1 B x2f(x1)1C x2f(x1)1， f(x2)
16、x21， x2f(x1)1x11，则 A 成立若 01， f(x1) x11，则1x2x2f(x1) x2x11，则 B 成立对于 D，若 01， x1f(x2)1，则 D 不14成立；若 01，则 D 成立故选 C.11(2018惠州调研)函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x)Error!则函数 g(x) xf(x)1 在6，)上的所有零点之和为( )A8 B32C. D012解析：选 A 令 g(x) xf(x)10，则 x0，所以函数 g(x)的零点之和等价于函数y f(x)的图象和 y 的图象的交点的横坐标之和，分别作出 x0 时， y f(x)和 y 的大1
17、x 1x致图象，如图所示，由于 y f(x)和 y 的图象都关于原点对称，因此函数 g(x)在6,6上的所有零点1x之和为 0，而当 x8 时， f(x) ，即两函数的图象刚好有 1 个交点，且当 x(8，)18时， y 的图象都在 y f(x)的图象的上方，因此 g(x)在6，)上的所有零点之和为1x8.12已知在区间(0,2上的函数 f(x)Error!且 g(x) f(x) mx 在区间(0,2内有且仅有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是( )A. B. (94， 2 (0， 12 ( 114， 2 (0， 12C. D. (94， 2 (0， 23 ( 114， 2 (0， 23解析：选 A 由函数 g(x) f(x) mx 在(0,2内有且仅有两个不同的零点，得 y f(x)， y mx 在(0,2内的图象有且仅有两个不同的交点当 y mx 与 y 3 在(0,1内相切时，1xmx23 x10， 94 m0， m ，结合图象可得当94 0 时， f(x)(ln x)22ln x3(ln x1) 222；当 x0 时， 0，则有 2t23(lg a)t(lg a)240 的解都是正数，设 f(t)2 t23(lg a)t(lg a)24，则Error!解得 lg a2，所以 0a ，所以实数 a 的取值范围是 .1100 (0， 1100)答案： (0，1100)
