1、1高考七大高频考点例析对应学生用书 P64导数的几何意义及运算考查方式从近几年的高考试题分析，对该部分内容的考查，主要考查利用导数的几何意义求切线方程；导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导；题型既有填空题，又有解答题，难度中等左右，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识备考指要函数 y f(x)在 x0处的导数 f( x0)就是曲线 y f(x)在点P(x0， f(x0)处的切线的斜率 k，即 k f( x0)，于是曲线 y f(x)在点P(x0， f(x0)处的切线方程为： y f(x0) f( x0)(x x0)求切线方程时，应明确“在某点处的切线方程”和“过某
2、点的切线方程”的不同；熟练掌握基本函数的导数及导数的四则运算.考 题 印 证 例 1 (广东高考)曲线 ye 5 x2 在点(0,3)处的切线方程为_解析 由 ye 5 x2 y5e 5 x切线的斜率 k y| x0 5，于是切线方程为 y35( x0)5 x y30.答案 5 x y30例 2 曲线 y x(3ln x1)在点(1,1)处的切线方程为_解析 y x(3ln x1)， y3ln x1 x 3ln x4，3x k y| x1 4，所求切线的方程为 y14( x1)，即 y4 x3.答案 y4 x3跟 踪 演 练 1曲线 ye x在点 A(0,1)处的切线的斜率为_解析： y(e
3、x)e x，所以当 x0 时， ye 01.答案：12曲线 y x33 x2在点(1,2)处的切线方程为_解析： y3 x26 x，当 x1 时， y3，2即斜率 k3.所以切线方程为 y23( x1)，即 3x y10.答案：3 x y103如果曲线 y x4 x 在点 P 处的切线垂直于直线 y x，那么点 P 的坐标为13_解析：由 y4 x31，当 y3 时，有 4x313，可解得 x1，此时，点 P 的坐标为(1,0)答案：(1,0)4(北京高考)已知函数 f(x) x2 xsin xcos x.(1)若曲线 y f(x)在点( a， f(a)处与直线 y b 相切，求 a 与 b
4、的值；(2)若曲线 y f(x)与直线 y b 有两个不同交点，求 b 的取值范围解：由 f(x) x2 xsin xcos x，得 f( x) x(2cos x)， f(x)为偶函数(1)因为曲线 y f(x)在点( a， f(a)处与直线 y b 相切，所以 f( a) a(2cos a)0， b f(a)解得 a0， b f(0)1.(2)令 f( x)0，得 x0.f(x)与 f( x)的变化情况如下：x (，0) 0 (0，)f( x) 0 f(x) 1 所以函数 f(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增， f(0)1是 f(x)的最小值当 b1 时，曲线 y f(
5、x)与直线 y b 最多只有一个交点；当 b1 时，f(2 b) f(2b)4 b22 b14 b2 b1 b，f(0)11 时曲线 y f(x)与直线 y b 有且仅有两个不同交点综上可知，如果曲线 y f(x)与直线 y b 有两个不同交点，那么 b 的取值范围是(1，)利用导数研究函数的单调性3考查方式利用导数研究函数的单调性是导数最重要的应用之一主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性，在高考命题中，若以填空题的形式出现，难度则以中低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主备考指要利用导数的符号判断函数的单调性是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数
6、形结合思想在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“， ”隔开，绝对不能用“”连接 .考 题 印 证 例 3 (山东高考)已知函数 f(x) ax2 bxln x(a， bR)(1)设 a0，求 f(x)的单调区间；(2)设 a0，且对任意 x0， f(x) f(1)试比较 ln a 与2 b 的大小解 (1)由 f(x) ax2 bxln x， x(0，)，得 f( x) .2ax2 bx 1x当 a0 时， f( x) .bx 1x()若 b0，当 x0 时，
7、 f( x)0，当 0 时， f( x)0，函数 f(x)单调递增1b所以函数 f(x)的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .(0，1b) (1b， )当 a0 时，令 f( x)0，得 2ax2 bx10.由 b28 a0，得 x1 ， b b2 8a4ax2 . b b2 8a4a4当 0x2时， f( x)0，函数 f(x)单调递增所以函数 f(x)的单调递减区间是 ，单调递增区间是(0， b b2 8a4a ).( b b2 8a4a ， )综上所述，当 a0， b0 时，函数 f(x)的单调递减区间是(0，)；当 a0， b0 时，函数 f(x)的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；
8、(0，1b) (1b， )当 a0 时，函数 f(x)的单调递减区间是 ，单调递增区间是(0， b b2 8a4a )，. b b2 8a4a(2)由题意知，函数 f(x)在 x1 处取得最小值由(1)知 是 f(x)的唯一极小值点， b b2 8a4a故 1，整理得 2a b1 即 b12 a. b b2 8a4a令 g(x)24 xln x，则 g( x) .1 4xx令 g( x)0，得 x ，14当 00， g(x)单调递增；14当 x 时， g( x)0，解之得 x2 或 x0 时， g(x)0，求 b 的最大值；(3)已知 1.414 20， g(x)0；()当 b2 时，若 x
9、满足 20，232 2ln 2 0.692 8；82 312当 b 1 时，ln( b1 )ln ，324 b2 2b 2g(ln ) 2 (3 2)ln 20.所以 Mmax f(0)， f(k)max1，( k1)e k k3令 h(k)( k1)e k k31，则 h( k) k(ek3 k)，令 (k)e k3 k，则 ( k)e k3e30，(12， 1 (12， x0)当 k( x0,1)时， (k)0， h(1)0，(12) 12 e 78所以 h(k)0 在 上恒成立，当且仅当 k1 时取得“” (12， 1综上，函数 f(x)在0， k上的最大值 M( k1)e k k3.例
10、 5 (山东高考)设函数 f(x) kexx2 (2x ln x)(k 为常数，e2.718 28是自然对数的底数)(1)当 k0 时，求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求 k 的取值范围解 (1)函数 y f(x)的定义域为(0，)f( x) kx2ex 2xexx4 ( 2x2 1x) xex 2exx3 k(x 2)x2 (x 2)(ex kx)x3由 k0 可得 ex kx0，所以当 x(0,2)时， f( x)0，函数 y f(x)单调递增所以 f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，)(2)由(1)知， k0 时，函数
11、f(x)在(0,2)内单调递减，故 f(x)在(0,2)内不存在极值点；当 k0 时，设函数 g(x)e x kx， x0，)，因为 g( x)e x ke xe ln k，当 00， y g(x)单调递增故 f(x)在(0,2)内不存在两个极值点；当 k1 时，得 x(0，ln k)时， g( x)0，函数 y g(x)单调递增所以函数 y g(x)的最小值为 g(ln k) k(1ln k)函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当Error!解得 e0 时， f(x)与 f ( x)的情况如下：x (， k) k ( k， k) k (k，)f ( x) 0 0 f(x) 4k
12、2e1 0 所以， f(x)的单调递增区间是(， k)和( k，)；单调递减区间是( k， k)当 k0 时，因为 f(k1)e ，所以不会有 x(0 ，)， f(x) .k 1k 1e 1e当 k0，且 r0 可得 00，故 V(r)在(0,5)上为增函数；当 r(5,5 )时， V( r)3)千元设该容器的建造费用为 y 千元(1)写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的 r.解：(1)设容器的容积为 V，由题意知 V r2l r3，又 V ，43 803故 l r .V 43 r3 r2 803r2 43 43(20r2 r)由于 l2 r，
13、因此 03，所以 c20，12当 r3 0 时， r .20c 2 320c 2令 m，则 m0，320c 2所以 y (r m)(r2 rm m2)8 (c 2)r2若 0 ，92则当 r m 时， y0；当 r(0， m)时， y0，所以 r m 是函数 y 的极小值点，也是最小值点若 m2，即 3 时，建造费用最小时 r .92 320c 2合情推理与演绎推理考查方式归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是高考的热点，归纳、类比推理大多数出现在填空题中，为中低档题，突出了“小而巧” ，主要考查类比、归纳推理能力；演绎推理大多数出现在解答题中，为中高档题目，在知识的交汇点处命题，考查学生分析问
14、题、解决问题以及逻辑推理能力备考指要对本部分知识的学习，要注意做好以下两点：一要熟悉归纳推理、类比推理、演绎推理的一般原理、步骤、格式，搞清合情推理与演绎推理的联系与区别；二要把握归纳推理、类比推理、演绎推理的基本应用，在给定的条件下，能够运用归纳推理、类比推理获得新的一般结论，能够运用演绎推理对数学问题进行严格的证明.考 题 印 证 例 7 (陕西高考)观察下列等式12113122 23122 23 26122 23 24 210照此规律，第 n 个等式可为_解析 观察规律可知，第 n 个式子为 122 23 24 2(1) n1 n2(1) n1.n(n 1)2答案 1 22 23 24
15、2(1) n1 n2(1) n1n(n 1)2例 8 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如 22,121,3 443,94 249 等显然 2 位回文数有 9 个：11,22,33，99；3 位回文数有 90 个：101,111,121，191,202，999.则(1)4 位回文数有_个；(2)2n1( nN *)位回文数有_个解析 2 位回文数有 9 个，4 位回文数有 91090 个，3 位回文数有 90 个，5 位回文数有 910101009 个，依次类推可得 2n1 位有 910n个答案 90 910 n跟 踪 演 练 12下面的数组均由三个数组成：(1,2,3)，(2,
16、4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，( an， bn， cn)(1)请写出 cn的一个表达式， cn_；(2)若数列 cn的前 n 项和为 Mn，则 M10_.(用数字作答)解析：(1)通过观察归纳，得 an n， bn2 n， cn an bn n2 n.(2)M10(1210)(22 22 10)2 101.答案： n2 n 2 10113先阅读下面的文字：“求 的值时，采用了如下的方法：令 1 1 1 x，则有 x ，两边同时平方，得 1 x x2，解得 x (负值1 1 1 1 x1 52已舍去)” 可以用类比的方法，求得 1 的值为_12 11 12
17、14解析：由 1 1 ，12 11 12 12 1x得 2x22 x10，于是 x (负值已舍去)，故所求值为 .1 32 1 32答案：1 32直接证明与间接证明考查方式近几年试题对本部分内容的考查是应用直接证明和间接证明解决数列，立体几何中的平行、垂直，不等式，解析几何等问题，题型大多为解答题，难度为中高档备考指要在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的.考 题 印 证 例 9 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值
18、都等于同一个常数：(1)sin213cos 217sin 13cos 17；(2)sin215cos 215sin 15cos 15；(3)sin218cos 212sin 18cos 12；(4)sin2(18)cos 248sin(18)cos 48；(5)sin2(25)cos 255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解 (1)选择(2)式，计算如下：sin215cos 215sin 15cos 151 sin 30121 .14 3415(2)法一：三角恒等式为 sin2
19、 cos 2(30 )sin cos(30 ) .34证明如下：sin2 cos 2(30 )sin cos(30 )sin 2 (cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin 2 cos2 sin cos sin2 sin cos 34 32 14 32 sin2 sin2 cos2 .12 34 34 34法二：三角恒等式为 sin2 cos 2(30 )sin cos(30 ) .34证明如下：sin2 cos 2(30 )sin cos(30 ) sin (cos 30cos sin 30sin )1 cos 22 1 cos(
20、60 2 )2 cos 2 (cos 60cos 2 sin 60sin 2 ) sin cos 12 12 12 12 32 sin212 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 (1cos 2 )12 12 12 14 34 34 141 cos 2 cos 2 .14 14 14 34跟 踪 演 练 14设函数 f(x) ax2 bx c(a， b， cR)，且 f(1) ，3 a2c2b.求证： a0，a2且32c2b，所以 3a0,2b0， b2c2b，所以 3a3 a2 b2b.可得3 a0，所以31 时，对 x(0， a1有 ( x)1 时，存在 x0，使 (x)nln(
21、 n1)证明如下：证法一：上述不等式等价于 ， x0.x1 x令 x ， nN ，则 ， x0.x1 x令 x ， nN ，则 ln .1n n 1n 1n 1故有 ln 2ln 1 ，12ln 3ln 2 ，1318ln(n1)ln n ，1n 1上述各式相加可得 ln(n1) ，12 13 1n 1结论得证证法三：如图， dx 是由曲线 y ，xn 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积，n0xx 1 xx 1而 是图中所示各矩形的面积和，12 23 nn 1 dx dxn ln(n1) ，结论得证12 23 nn 1n0xx 1 n0(1 1x 1)复 数考查方式复数的基本概念、复数相等的充要
22、条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置上，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算备考指要要明确复数的分类及复数运算，掌握化归思想，设出复数 z的代数形式，即复数问题实数化.考 题 印 证 例 10 (山东高考改编)复数 z 满足(z3)(2 i)5( i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数 _.z解析 由(z3)(2 i)5，得 z3 3 32 i5 i，52 i 5(2 i)(2 i)(2 i)所以 5 i.z答案 5 i例 11 (上海高考)设 mR， m2 m2( m21)i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则19m_.解析 由题意得Error!Error!
23、 m2.答案 2跟 踪 演 练 16(安徽高考改编)设 i 是虚数单位， 表示复数 z 的共轭复数若 z1i，则zi _.zi z解析： i i(1i)i1i12.zi z 1 ii答案：217(湖南高考)复数 ( i 为虚数单位)的实部等于_3 ii2解析：直接运算得 (3i)3i，故实部为3.3 ii2答案：318复数 zi(1i)(i 为虚数单位)在复平面上对应点位于第_象限解析： zi(1i)1i，在复平面上对应点的坐标为(1,1)，其在第二象限答案：二19设 i 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 a 的值为_1 ai2 i解析：复数 ，1 ai2 i (1 ai)(2 i)(2 i)(2 i) 2 a (2a 1)i5依题意得Error!所以 a2.答案：220
