1、1回扣验收特训（二） 圆锥曲线与方程1已知双曲线 1( a0， b0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )x2a2 y2b2A2 B. 3C. D.232解析：选 C 由题可知 y x与 y x互相垂直，ba ba可得 1，则 a b.ba ba由离心率的计算公式，可得 e2 2， e .c2a2 a2 b2a2 22已知 F是抛物线 y x2的焦点， P是该抛物线上的动点，则线段 PF中点的轨迹方14程是( )A x22 y1 B x22 y116C x2 y D x22 y212解析：选 A 焦点为 F(0,1)，设 P(p， q)，则 p24 q.设 Q(x， y)是线段 P
2、F的中点，则 x ， y ，p2 q 12即 p2 x， q2 y1，代入 p24 q得，(2 x)24(2 y1)，即 x22 y1.3已知直线 y kx1 与双曲线 x2 1 交于 A， B两点，且| AB|8 ，则实数 ky24 2的值为( )A B 或7 3413C D3413解析：选 B 由直线与双曲线交于 A， B两点，得 k2.将 y kx1 代入 x2 1 得(4 k2)x22 kx50，y24则 4 k24(4 k2)50， k25.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，2k4 k2 54 k22所以| AB| 8 ，1 k2 (2k4
3、 k2)2 204 k2 2解得 k 或 .34134.我们把由半椭圆 1( x0)与半椭圆 1( xbc0)，如图所示，其中点F0， F1， F2是相应椭圆的焦点若 F0F1F2是边长为 1的等边三角形，则a， b的值分别为( )A. ，1 B. ，172 3C5,3 D5,4解析：选 A | OF2| ，| OF0| c |OF2| ，b2 c212 3 32 b1， a2 b2 c21 ，得 a .34 74 725.如图， F1， F2是椭圆 C1： y21 与双曲线 C2的公共焦点，x24A， B分别是 C1， C2在第二、四象限的公共点其四边形 AF1BF2为矩形，则 C2的离心率
4、是( )A. B.2 3C. D.32 62解析：选 D 焦点 F1( ，0)， F2( ，0)，3 3在 Rt AF1F2中，| AF1| AF2|4，|AF1|2| AF2|212，所以可解得| AF2| AF1|2 ，2故 a ，所以双曲线的离心率 e ，选 D.232 626若过点 A(0， h)(h1)的两条直线 l1和 l2与椭圆 E： y21 都只有一个交点，x22且 l1 l2，则 h的值为( )A. B.3 5C2 D. 6解析：选 A 由题意知 l1， l2的斜率都存在且不为 0.设 l1： y kx h，则由 l1 l2，知 l2： y x h，1k3将 l1： y kx
5、 h代入 y21 得 ( kx h)21，x22 x22即(12 k2)x24 khx2 h220，由 l1与椭圆 E只有一个交点知 16 k2h24(12 k2)(2h22)0，即 12 k2 h2.同理，由 l2与椭圆 E只有一个交点知，1 h2，2k2得 k2，即 k21，从而 h212 k23，即 h .1k2 37已知双曲线 1( a0， b0)的实轴长为 4，离心率为 ，则双曲线的方程x2a2 y2b2 5为_解析：因为双曲线 1( a0， b0)的实轴长为 4，x2a2 y2b2所以 a2，由离心率为 ，可得 ， c2 ，5ca 5 5所以 b 4，c2 a2 20 4则双曲线的
6、方程为 1.x24 y216答案： 1x24 y2168已知 A(0，4)， B(3,2)，抛物线 y x2上的点到直线 AB的最短距离为_解析：直线 AB为 2x y40，设抛物线 y x2上的点 P(t， t2)，d .|2t t2 4|5 t2 2t 45 t 1 2 35 35 355答案：3559(2017全国卷)已知 F是抛物线 C： y28 x的焦点， M是 C上一点， FM的延长线交 y轴于点 N.若 M为 FN的中点，则| FN|_.解析：法一：依题意，抛物线 C： y28 x的焦点 F(2,0)，因为 M是 C上一点， FM的延长线交 y轴于点 N， M为 FN的中点，设
7、M(a， b)(b0)，所以 a1， b2 ，2所以 N(0,4 )，| FN| 6.2 4 32法二：如图，不妨设点 M位于第一象限内，抛物线 C的准线交 x轴于点 A，过点 M作准线的垂线，垂足为点 B，交 y轴于点 P， PM OF.由题意知， F(2,0)，| FO| AO|2.4点 M为 FN的中点， PM OF，| MP| |FO|1.12又| BP| AO|2，| MB| MP| BP|3.由抛物线的定义知| MF| MB|3，故| FN|2| MF|6.答案：610如图，已知椭圆 C的中心在原点，焦点在 x轴上，离心率为，若它的一个顶点恰好是抛物线 x24 y的焦点32 2(1
8、)求椭圆 C的方程；(2)直线 x2 与椭圆 C交于 P， Q两点，点 P位于第一象限， A， B是椭圆 C上位于直线 x2 两侧的动点若直线 AB的斜率为 ，求四边形 APBQ面积的最大值12解：(1)设椭圆 C的方程为 1( a b0)x2a2 y2b2抛物线 x24 y的焦点是(0， )，2 2 b .2由 ， a2 b2 c2，得 a2 ，ca 32 2椭圆 C的方程为 1.x28 y22(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 AB的方程为 y x t，12联立Error! 得 x22 tx2 t240，则 x1 x22 t， x1x22 t24.在 1 中，令 x2
9、，得 P(2,1)， Q(2，1)x28 y22四边形 APBQ的面积S S APQ S BPQ |PQ|x2 x1|12 2|x2 x1| x2 x1|12 x1 x2 2 4x1x2 4t2 4 2t2 4 . 4t2 165当 t0 时， Smax4.四边形 APBQ面积的最大值为 4.11已知经过点 A(4,0)的动直线 l与抛物线 G： x22 py(p0)相交于 B， C.(1)当直线 l的斜率是 时， ，求抛物线 G的方程；12 AC 14AB (2)设线段 BC的垂直平分线在 y轴上的截距为 b，求 b的取值范围解：(1)设 B(x1， y1)， C(x2， y2)，由已知得，
10、直线 l的方程为 y (x4)，即 x2 y4.12由Error! 得 2y2(8 p)y80，则 y1 y2 ， y1y24，8 p2又因为 ，所以 y2 y1或 y14 y2.AC 14AB 14由 p0 得， y14， y21， p2，所以抛物线 G的方程为 x24 y.(2)由题意知 l的斜率存在设 l： y k(x4)， BC中点坐标为( x0， y0)，由Error! 得 x24 kx16 k0. 所以 x0 2 k， y0 k(x04)2 k24 k.x1 x22所以 BC的垂直平分线的方程为 y2 k24 k (x2 k)，1k所以 BC的垂直平分线在 y轴上的截距为 b2 k24 k22( k1) 2，对于方程由 16 k264 k0 得 k0 或 k4.所以 b(2，)所以 b的取值范围为(2，)6
