1、112.2 函数的和、差、积、商的导数已知 f(x) x， g(x) .1x问题 1： f(x)、 g(x)的导数分别是什么？提示： f( x)1， g( x) .1x2问题 2：若 Q(x) x ，则 Q(x)的导数是什么？1x提示： y( x x) x ，1x x (x 1x) xx(x x) 1 . y x 1x(x x)当 x 无限趋近于 0 时， 无限趋近于 1 ， y x 1x2 Q( x)1 .1x2问题 3： Q(x)的导数与 f(x)， g(x)的导数有什么关系？提示： Q( x) f( x) g( x)导数的运算法则设两个函数分别为 f(x)和 g(x)，则(1)f(x)
2、g(x) f( x) g( x)；(2)f(x) g(x) f( x) g( x)； (3)Cf(x) Cf(x)( C 为常数)；(4)f(x)g(x) f( x)g(x) f(x)g( x)；(5) (g(x)0)f(x)g(x) f (x)g(x) f(x)g (x)g2(x)1对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差，即 f1(x)f2(x)fn(x) f1( x)f2( x)fn( x)2对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现 f(x)g(x) f( x)g( x)以及(5) 这样想当然的错误；其次还f(x)g(x) f (x)g
3、(x)要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“” ，商的导数法则中分子上是“” 2对 应 学 生 用 书 P9求函数的导数例 1 求下列函数的导数：(1)y x2log 3x；(2) y x3ex；(3) y ；cos xx(4)y xtan x.思路点拨 结合常见函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导精解详析 (1) y( x2log 3x)( x2)(log 3x)2 x .1xln 3(2)y( x3ex)( x3)e x x3(ex)3 x2ex x3ex(3 x2 x3)ex.(3)y (cos xx ) (cos x) x cos xxx2 xsin
4、x cos xx2 .xsin x cos xx2(4)y( xtan x) (xsin xcos x)(xsin x) cos x xsin x(cos x)cos2x(sin x xcos x)cos x xsin2xcos2x .sin xcos x xcos2x一点通 (1)应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律(2)在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的形式展开，公式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幂，然后再求导，使求
5、导计算更加简化31若 f(x) x32 x1，则 f(1)_.13解析： f( x) (2 x)1 x22，(13x3 2x 1) (13x3)所以 f(1)(1) 223.答案：32函数 y x(x21)的导数是_解析： y x(x21)( x3 x)3 x21.答案：3 x213求下列函数的导数：(1)y 2 x；(2) y .ln xx 1 sin x cos x2cos x解：(1) y (2 x)(ln xx 1) 2 xln 21x(x 1) ln x(x 1)2 2 xln 21 1x ln x(x 1)2 2 xln 2.x xln x 1x(x 1)2(2)y (sin x
6、cos x2cos x ) (sin x2cos x 12) (sin x2cos x) 2cos2x 2sin2x4cos2x .12cos2x导数运算法则的简单应用例 2 设 f(x) aex bln x，且 f(1)e， f(1) ，求 a， b 的值1e思路点拨 首先求 f( x)，然后利用条件建立 a， b 的方程组求解精解详析 f( x)( aex)( bln x) aex ，bx由 f(1)e， f(1) ，得Error!1e解得Error! 所以 a， b 的值分别为 1,0.一点通 利用导数值求解参数问题，是高考的热点问题它比较全面地考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用而
7、熟练地掌握导数的运算法则以及常用函数的求导公4式是解决此类问题的关键4设 f(x) ax33 x22，若 f(1)4，则 a_.解析： f(x) ax33 x22， f( x)3 ax26 x， f(1)3 a64，即 a .103答案：1035若函数 f(x) 在 x c(c0)处的导数值与函数值互为相反数，求 c 的值exx解： f(x) ， f(c) ，exx ecc又 f( x) ， f( c) ，exx exx2 ex(x 1)x2 ec(c 1)c2依题意知 f(c) f( c)0， 0，ecc ec(c 1)c22 c10 得 c .12导数运算法则的综合应用例 3 已知抛物线
8、y ax2 bx c 通过点 P(1,1)，且在点 Q(2，1)处与直线y x3 相切，求实数 a、 b、 c 的值思路点拨 题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此可通过解方程组来确定参数 a、 b、 c 的值精解详析 曲线 y ax2 bx c 过 P(1,1)点， a b c1. y2 ax b，当 x2 时， y4 a b.4 a b1.又曲线过 Q(2，1)点，4 a2 b c1.联立，解得 a3， b11， c9.一点通 利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解解答本题常见的失误是不注意运用点Q(2，1)在曲线
9、上这一关键的隐含条件6已知 P， Q 为抛物线 x22 y 上两点，点 P， Q 的横坐标分别为 4，2，过 P， Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点 A，则点 A 的纵坐标为_5解析：易知抛物线 y x2上的点 P(4,8)， Q(2,2)，12且 y x，则过点 P 的切线方程为 y4 x8，过点 Q 的切线方程为 y2 x2，联立两个方程解得交点 A(1，4)，所以点 A 的纵坐标是4.答案：47已知 f( x)是一次函数， x2f( x)(2 x1) f(x)1，求 f(x)的解析式解：由 f( x)为一次函数可知 f(x)为二次函数设 f(x) ax2 bx c(a0)，则 f(
10、x)2 ax b.把 f(x)， f( x)代入方程 x2f( x)(2 x1) f(x)1 中得：x2(2ax b)(2 x1)( ax2 bx c)1，即( a b)x2( b2 c)x c10.要使方程对任意 x 恒成立，则需有 a b， b2 c， c10，解得 a2， b2， c1，所以 f(x)2 x22 x1.1应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错2对复杂函数求导，一般要遵循先化简后求导的原则，但要注意
11、化简过程中变换的等价性对应课时跟踪训练(四) 一、填空题1(广东高考)曲线 y5e x3 在点(0，2) 处的切线方程为_解析：由 y5e x3 得， y5e x，所以切线的斜率 k y| x0 5，所以切线方程为 y25( x0)，即 5x y20.答案：5 x y202设 f(x) xln x，若 f( x0)2，则 x0_.解析： f( x)ln x x ln x1.1x f( x0)2，1ln x02，6 x0e.答案：e3函数 f(x)e xcos x， x0,2，且 f( x0)0，则 x0_.解析： f( x)e xcos xe xsin x，由 f( x0)0，得 ex0cos
12、 x0e x0sin x00，cos x0sin x0，即 tan x01.又 x00,2， x0 或 . 4 54答案： 或 4 544(江西高考)若曲线 y x 1( R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则 _.解析：由题意 y x 1 ，在点(1,2)处的切线的斜率为 k ，又切线过坐标原点，所以 2.2 01 0答案：25曲线 y 在点(1,1)处的切线方程为_x2x 1解析： y ，当 x1 时， y1. 1(2x 1)2切线方程为 y1( x1)，即 x y20.答案： x y20二、解答题6求下列函数的导数：(1)ysin x3 x2 x；(2)y(1cos x)(2x2e
13、x)解：(1) y(sin x3 x2 x)(sin x)(3 x2) xcos x6 x1.(2)y(1cos x)(2x2e x)(1cos x)(2 x2e x)(1cos x)(2x2e x)sin x(2x2e x)(1cos x)(4xe x)e x(1cos xsin x)2 x2sin x4 x(1cos x)7设定义在(0，)上的函数 f(x) ax b(a0)1ax(1)求 f(x)的最小值；(2)若曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线方程为 y x，求 a， b 的值327解：(1)法一：由题设和基本不等式可知，f(x) ax b2 b，1ax其中等号成立当且仅
14、当 ax1，即当 x 时， f(x)取最小值为 2 b.1a法二： f(x)的导数 f( x) a ，1ax2 a2x2 1ax2当 x 时， f( x)0， f(x)在 上单调递增；1a (1a， )当 0x 时， f( x)0， f(x)在 上单调递减1a (0， 1a)所以当 x 时， f(x)取最小值为 2 b.1a(2)由题设知， f( x) a ， f(1) a ，1ax2 1a 32解得 a2 或 a (不合题意，舍去)12将 a2 代入 f(1) a b ，1a 32解得 b1.所以 a2， b1.8已知函数 f(x) x32 x2 ax(xR， aR)，在曲线 y f(x)的所有切线中，有且13仅有一条切线 l 与直线 y x 垂直求 a 的值和切线 l 的方程解： f(x) x32 x2 ax，13 f( x) x24 x a.由题意可知，方程 f( x) x24 x a1 有两个相等的实根 164( a1)0， a3. f( x) x24 x31.化为 x24 x40.解得切点横坐标为 x2， f(2) 82423 .13 23切线 l 的方程为 y (1)( x2)，23即 3x3 y80. a3，切线 l 的方程为 3x3 y80.8
