1、112.3 简单复合函数的导数对应学生用书 P11已知函数 f(x)sin ， g(x)(3 x2) 2.(2x6)问题 1：这两个函数是复合函数吗？提示：是复合函数问题 2：试说明 g(x)(3 x2) 2是如何复合的？提示：函数 g(x)(3 x2) 2是由 g(u) u2， u3 x2 复合而成的问题 3：试求 g(x)(3 x2) 2， g(u) u2， u3 x2 的导数提示： g( x)(3 x2) 29 x212 x418 x12. g( u)2 u， u3.问题 4：观察问题 3中导数有何关系？提示： g( x) g( u)u.若 y f(u)， u ax b，则 y x y
2、uu x，即 y x y ua.1求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量2利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单3判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量 x的基本函数或关于自变量 x的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数 对 应 学 生 用 书 P11复合函数的求导例 1 求下列函数的导数(1)y ；1(2x 3)3(2)ye 0.05 x1 ；(3)ycos( x )(其中 、 为常数)；(4)ylog 2(53 x
3、)2思路点拨 先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解精解详析 (1) y (2 x3) 是函数 y u ， u2 x3 的复合函数，1(2x 3)3 32 32所以 y x y uu x( u )(2 x3)32 u 23 u 3(2 x3) .32 52 52 52(2)ye 0.05 x1 是函数 ye u， u0.05 x1 的复合函数，所以y x y uu x(e u)(0.05 x1)0.05e u0.05e 0.05 x1 .(3)ycos( x )是 ycos u， u x 的复合函数，所以 y x y uu x(cos u)( x )sin u s
4、in( x )(4)ylog 2(53 x)是 ylog 2u， u53 x的复合函数，所以 y x y uu x(log 2u)(53 x)31uln 2 . 3(5 3x)ln 2 3(3x 5)ln 2一点通 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解求导回代” ，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量1若函数 f(x)ln ，则 f( x)_.1x解析： f(x)ln 是 f(u)ln u与 u 的复合函数，1x 1x所以 y x y uu x(ln u) (1x) .1u ( 1x2) 1x答案：1x
5、2函数 ysin 3xsin x3的导数为_解析： y(sin 3xsin x3)(sin 3x)(sin x3)3sin 2xcos xcos x33x233sin 2xcos x3 x2cos x3.答案：3sin 2xcos x3 x2cos x33求下列函数的导数：(1)ye2 x23 x；(2) y .1(1 3x)4解：(1) ye u， u2 x23 x，所以 y x y uu xe u(2x23 x)e u(4x3)(4 x3)e2 x23 x.(2) y (13 x)4 ，1(1 3x)4可设 y u4 ， u13 x， y u4 u5 ， u x3， y x y uu x4
6、 u5 (3)12(13 x)5 .求导法则的综合应用例 2 求下列函数的导数(1)y3 1 xsin(2x1)；(2)y .ln(2x 1)2x 1思路点拨 根据导数的运算法则及复合函数的求导公式求解精解详析 (1) y(3 1 x)sin(2 x1)3 1 xsin(2x1)3 1 xln 3sin(2x1)3 1 x2cos(2x1)3 1 x2cos(2x1)sin(2 x1)ln 3(2)yln(2x 1) 2x 1 ln(2x 1)(r(2x 1)(r(2x 1)222x 12x 1 ln(2x 1)12(2x 1) 1222x 122x 1 ln(2x 1)2x 12x 1 .2
7、 ln(2x 1)(2x 1)2x 1一点通 (1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法，都能由基本初等函数生成一些新的函数，认清这一点可帮助我们分析函数结构(2)认清函数结构之后，不要急于求导，应注意恰当利用代数、三角变换方法，化简函数解析式，以达到准确套用法则，明确求导过程的目的44若函数 f(x) xcos 2x，则 f( x)_.解析： f( x) xcos 2 x x(cos 2x)cos 2 x2 xsin 2x.答案：cos 2 x2 xsin 2x5求下列函数的导数：(1)y ；(2) y sin2(1 x)2x 1x 12解：(1) y(r(2x 1) x 2x 1xx2
8、x2x 1 2x 1x2 .1 xx22x 1(2) y sin2(1 x) 1cos(22 x)12 14 cos(22 x) cos(2x2)14 14 14 14 y sin(2x2)12复合函数导数的应用例 3 已知函数 f(x) ax22ln(2 x)(aR)，设曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线为 l，若 l与圆 C： x2 y2 相切，求 a的值14思路点拨 .求 函 数 f(x)的 导 数求 f (1)得 切线 l的 斜 率 写 出 直 线 l的点 斜 式 方 程 由 l与 圆 C相 切 列 方 程 解 方 程 求 a精解详析 f( x) a(x2)2 (2 x)1
9、2 x2 ax ，22 x f(1)2 a2，又 f(1) a2ln 1 a，切线 l的方程为 y a2( a1)( x1)，即 2(a1) x y a20.直线 l与圆 C： x2 y2 相切，145圆心(0,0)到直线 l的距离为 ，12所以有 ，解得 a .|2 a|4(a 1)2 1 12 118 a的值为 .118一点通 有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了在实际应用中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义，导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用6函数 ycos 2 x在点 处的切线方程是_(4， 0)解析： y2sin 2 x， k2sin 2.2切线方程
10、为 y02 ，(x4)即 2x y 0.2答案：2 x y 027求 yln(2 x3)的导数，并求在点 处切线的倾斜角(12， ln 2)解：令 yln u， u2 x3，则 y x y uu x(ln u)(2 x3) 21u.22x 3当 x 时， y 1，12 23 1即在 处切线的倾斜角的正切值为 1，(12， ln 2)所以倾斜角为 .48设曲线 ye x(x0)在点 M(t，e t)处的切线 l与 x轴， y轴围成的三角形面积为S(t)(1)求切线 l的方程；(2)求 S(t)的解析式解： ye x， y(e x)e x，6 y| x te t.故切线方程为 ye te t(x
11、t)，即 xe ty( t1)0.(2)令 y0 得 x t1.令 x0 得 ye t(t1) S(t) (t1)e t(t1)12 (t1) 2e t(t0)12求复合函数导数的技巧及注意点(1)对于分式、根式、三角函数式、指数式、对数式的复合函数的导数，关键仍然在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，熟用复合函数求导法则，迅速正确地求出导数(2)在复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由表及里逐层求异(3)灵活运用复合函数的求导法则，正确地进行求导运算，树立多角度、换方位思考问题的
12、意识，达到优化解题思维、简化解题过程的目的对应课时跟踪训练(五) 一、填空题1设函数 f(x)sin(4 x2)，则 f( x)_.解析： f(x)sin(4 x2)， f( x)sin(4 x2)4cos(4 x2)答案：4cos(4 x2)2(全国大纲卷改编)曲线 y xex1 在点(1,1)处切线的斜率等于_解析： ye x1 xex1 ，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为 y| x1 2.答案：23设曲线 y f(x)e ax在点(0,1)处的切线与直线 x2 y10 垂直，则a_.解析：切线与直线 x2 y10 垂直，切线的斜率 k2.7又 f( x)(e ax) aeax， k f
13、(0) a2.答案：24函数 y xsin cos 的导数为_(2x2) (2x 2)解析： y xsin cos sin(4x) sin 4x，(2x2) (2x 2) x2 x2 y sin 4 x (sin 4x)(x2) ( x2) sin 4x2 xcos 4x.12答案： sin 4x2 xcos 4x125已知直线 y x1 与曲线 yln( x a)相切，则 a的值为_解析：设切点为( x0， y0)，则 y0 x01，且 y0ln( x0 a)，所以 x01ln( x0 a)对 yln( x a)求导得 y ，1x a则 1， x0 a1，1x0 a由可得 x01，所以 a2
14、.答案：2二、解答题6求下列函数的导数(1)y5log 2(2x1)；(2)ycos( 7 x)；53(3)y(2 x1) 5.解：(1)设 ylog 2u， u2 x1.则 y y uu x 2 .5uln 2 10uln 2 10(2x 1)ln 2(2)设 ycos u， u 7 x.53则 y y uu xsin u(7)7sin .(53 7x)(3)设 y u5， u2 x1，则 y y uu x5 u4210 u410(2 x1) 4.7已知函数 f(x)ln(1 x) x x2.求曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线方程8解： f( x) 12 x.11 x由于 f(
15、1)ln 2， f(1) ，32所以曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线方程为yln 2 (x1)，32即 3x2 y2ln 230.8已知 A(1， f( x)是函数 y f(x)的导函数图象上的一点，点 B的坐标为(x，ln(2 x)，向量 a(1,1)，设 f(x) AB a，试求函数 y f(x)的表达式解： AB ( x，ln(2 x)(1， f(1)( x1，ln(2 x) f(1)，a(1,1)， f(x) AB a x1ln(2 x) f(1)ln(2 x) x f(1)1 f( x) (2 x)1 1，12 x 1x 2 f(1)0， f(x)ln(2 x) x1.
