1、113.3 最大值与最小值对应学生用书 P191问题：如何确定你班哪位同学最高？提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学2如图为 y f(x)， x a， b的图象问题 1：试说明 y f(x)的极值 提示： f(x1)， f(x3)为函数的极大值， f(x2)， f(x4)为函数的极小值问题 2：你能说出 y f(x)， x a， b的最值吗？提示：函数的最小值是 f(a)， f(x2)， f(x4)中最小的，函数的最大值是 f(b)， f(x1)，f(x3)中最大的3函数 y g(x)， y h(x)在闭区间 a， b的图象都是一条
2、连续不断的曲线(如下图所示)问题 1：两函数的最大值和最小值分别是什么？提示：函数 y g(x)的最大值为 g(a)，最小值是其极小值 g(c)；函数 y h(x)的最大值为 h(b)，最大值为 h(a)问题 2：函数的最大值和最小值是否都在区间的端点处取得？提示：不一定问题 3：函数的极值与函数的最值是同一个问题吗？提示：不是1最大值与最小值(1)如果在函数定义域 I 内存在 x0，使得对任意的 x I，总有 f(x) f(x0)，则称 f(x0)为函数在定义域上的最大值2最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值惟一(2)如果在函数定义域 I 内存在 x0，使得对任意的
3、x I，总有 f(x) f(x0)，则称 f(x0)为函数在定义域上的最小值最小值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最小值，那么最小值惟一2求 f(x)在区间 a， b上的最大值与最小值的步骤(1)求 f(x)在区间( a， b)上的极值；(2)将第(1)步中求得的极值与 f(a)， f(b)比较，得到 f(x)在区间 a， b上的最大值与最小值1函数的最值是一个整体性的概念函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较2函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有惟一性，而极大值和极小值
4、可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值3极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值对 应 学 生 用 书 P19求函数的最大值与最小值例 1 求函数 f(x) x42 x23， x3,2上的最值思路点拨 求 f (x)令 f (x) 0得到 相 应 的 x的 值 列 表 确 定 函 数 取 极 值 的 点 求 极 值 与 端 点处 的 函 数 值 比 较 大 小确 定 最 值精解详析 f( x)4 x34 x，令 f( x)4 x(x1)( x1)0，得 x1， x0，
5、 x1.当 x 变化时， f( x)及 f(x)的变化情况如下表：x 3(3，1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2f( x) 0 0 0 3f(x) 60 极大值 4 极小值 3 极大值 4 5所以当 x3 时， f(x)取最小值60；当 x1 或 x1 时， f(x)取最大值 4.一点通 求函数的最值需要注意的问题：(1)用导数求函数的最值与求函数的极值方法类似，在给定区间是闭区间时，极值要和区间端点的函数值进行比较，并且要注意取极值的点是否在区间内；(2)当函数多项式的次数大于 2 或用传统方法不易求解时，可考虑用导数的方法求解1已知函数 f(x) x312 x8 在区间3,3上的最
6、大值与最小值分别为 M， m.则M m_.解析：令 f( x)3 x2120，解得 x2.计算 f(3)17， f(2)24， f(2)8， f(3)1，所以 M24， m8，故M m32.答案：322求函数 f(x)e x(3 x2)在区间2,5上的最值解： f(x)3e xe xx2， f( x)3e x(e xx22e xx)e x(x22 x3)e x(x3)( x1)，在区间2,5上， f( x)e x(x3)( x1)0)， g(x) x3 bx.(1)若曲线 y f(x)与曲线 y g(x)在它们的交点(1， c)处具有公共切线，求 a， b 的值；(2)当 a3， b9 时，若
7、函数 f(x) g(x)在区间 k,2上的最大值为 28，求 k 的取值范围解：(1) f( x)2 ax， g( x)3 x2 b.因为曲线 y f(x)与曲线 y g(x)在它们的交点(1， c)处具有公共切线，所以 f(1) g(1)，且 f(1) g(1)，即 a11 b，且 2a3 b，解得 a3， b3.(2)记 h(x) f(x) g(x)，当 a3， b9 时，h(x) x33 x29 x1，h( x)3 x26 x9.6令 h( x)0，得 x13， x21.h(x)与 h( x)在(，2上的变化情况如下：x(，3)3(3,1)1(1,2)2h( x) 0 0 h(x) 28
8、 4 3由此可知：当 k3 时，函数 h(x)在区间 k,2上的最大值为 h(3)28；当30)(1)求 f(x)的最小值 h(t)；(2)若 h(t)h(t)2 t 恒成立，从而可转化为求 h(t)2 t 的最大值问题解决精解详析 (1) f(x) t(x t)2 t3 t1( xR， t0)，当 x t 时， f(x)取得最小值 f( t) t3 t1，即 h(t) t3 t1.(2)令 g(t) h(t)2 t t33 t1.则 g( t)3 t233( t1)( t1)令 g( t)0，得 t11， t21(舍去)列表：t (0,1) 1 (1,2)g( t) 0 g(t) 极大值 1
9、 由表可知， g(t)在(0,2)内有最大值 1. h(t)g(t)在(0,2)内恒成立 m1.即实数 m 的取值范围是(1，)一点通 有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题求解时要确定这个函数，看哪一个变量的范围已知，即函数是以已知范围的变量为自变量的函数一般地， f(x)恒成立 f(x)max； f(x)恒成立 f(x)min.75已知 g(x)ln x a，若 g(x)ln x x2，故 g(x)ln x x2在(0，e上恒成立设 h(x)ln x x2，则 h( x) 2 x ，1x 1 2x2x由 h( x)0 及 00，当 0 时，( x k)f( x) x10，求 k 的最
10、大值解：(1) f(x)的定义域为(，)， f( x)e x a.若 a0，则 f( x)0，所以 f(x)在(，)上单调递增若 a0，则当 x(，ln a)时， f( x)0，所以， f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增(2)由于 a1，所以( x k)f( x) x1( x k)(ex1) x1.故当 x0 时，( x k)f( x) x10 等价于k0)x 1ex 1令 g(x) x，则x 1ex 1g( x) 1 . xex 1(ex 1)2 ex(ex x 2)(ex 1)2由(1)知，函数 h(x)e x x2 在(0，)上单调递增而 h(1)0，所以8h
11、(x)在(0，)上存在惟一的零点故 g( x)在(0，)上存在惟一的零点设此零点为 ，则 (1,2)当 x(0， )时， g( x)0.所以 g(x)在(0，)上的最小值为 g( )又由 g( )0，可得 e 2，所以 g( ) 1(2,3)由于式等价于 k1.154而 f(2)4435，因此 f(a) a22 a3 ，154解得 a (舍去)或 a .32 12答案：125函数 f(x) ax44 ax3 b(a0)在1,4)上的最大值为 3，最小值为6，则a b_.解析： f( x)4 ax312 ax2(a0， x1,4)由 f( x)0，得 x0(舍)，或 x3，可得 x3 时， f(
12、x)取到最小值为 b27 a.又 f(1) b3 a， f(4) b，因此 f(4)为最大值由Error! 解得Error!所以 a b .103答案：103二、解答题6已知函数 f(x) aln x1( a0)10(1)若 a2，求函数 f(x)在(e， f(e)处的切线方程；(2)当 x0 时，求证： f(x)1 a .(11x)解：(1)当 a2 时， f(x)2ln x1，f( x) ， f(e)3， k f(e) ，2x 2e所以函数 f(x)在(e， f(e)处的切线方程为y3 (xe)，2e即 2xe ye0.(2)令 g(x) f(x)1 a(11x) aln x a (x0)
13、，(11x)则 g( x) ，由 g( x)0，得 x1.ax ax2 a(x 1)x2当 0 x1 时， g( x)0， g(x)在(0,1)上单调递减；当 x1 时， g( x)0， g(x)在(1，)上单调递增所以 g(x)在 x1 处取得极小值，也是最小值因此 g(x) g(1)0，即 f(x)1 a .(11x)7已知函数 f(x) x33 x29 x a.(1)求 f(x)的单调递减区间；(2)若 f(x)在区间2,2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值解：(1) f( x)3 x26 x93( x22 x3)3( x1)( x3)令 f( x)3.函数 f(x)的单调递减区
14、间为(，1)，(3，)(2)结合(1)，令 f( x)0，得 x1 或 x3.又 x2,2， x1.当20. x1 是函数 f(x)的极小值点，该极小值也就是函数 f(x)在2,2上的最小值，即 f(x)min f(1) a5.又函数 f(x)的区间端点值为11f(2)81218 a a22，f(2)81218 a a2. a22 a2， f(x)max a2220， a2.此时 f(x)min a5257.8已知函数 f(x) ax4ln x bx4 c(x0)在 x1 处取得极值3 c，其中 a， b， c为常数若对任意 x0，不等式 f(x)2 c2恒成立，求 c 的取值范围解：由题意知 f(1)3 c.因此 b c3 c，从而 b3.对 f(x)求导，得 f( x)4 ax3ln x ax4 4 bx3 x3(4aln x a4 b)1x由题意知 f(1)0，得 a4 b0，解得 a12.因为 f( x)48 x3ln x(x0)，令 f( x)0，解得 x1.当 01 时， f( x)0，此时 f(x)为增函数所以 f(x)在 x1 处取得极小值 f(1)3 c，并且此极小值也是最小值所以要使 f(x)2 c2(x0)恒成立，只需3 c2 c2即可整理得 2c2 c30，解得 c 或 c1.32所以 c 的取值范围为(，1 .32， )12
