1、1第 1 章 常用逻辑用语对应学生用书 P17一、命题及其关系1命题能判断真假的陈述句叫命题，感叹句、疑问句、祈使句、含有未知数的不等式、方程等语句都不是命题2四种命题原命题与它的逆命题、否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(或它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的，即同真同假正是因为原命题与逆否命题的真假一致，所以对某些命题的证明可转化为证明其逆否命题二、充分条件、必要条件与充要条件 关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定：若“ pq”，且“ p / q”，则 p 是 q 的“充分不必要条件” ，同时 q 是 p 的“必要不充分条件” ；
2、若“ pq”，则 p 是 q 的“充要条件” ，同时 q 是 p 的“充要条件 ”；若“ p / q”，则 p 是 q 的“既不充分也不必要条件” ，同时 q 是 p 的“既不充分也不必要条件” 三、逻辑联结词1 “且” “或” “非”这些词叫逻辑联结词，不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题有“ p q”“p q”“綈 p”三种形式2含逻辑联结词的命题的真假判断：“ p q”中有真为真， “p q”有假为假，綈 p与 p 真假相反3注意命题的否定与否命题的区别否命题既否定条件又否定结论；而命题的否定只否定结论四、全称命题和存在性命题1全称命题“ x M， p(x)”
3、强调命题的一般性，因此，(1)要证明它是真命题，需对集合 M 中每一个元素 x，证明 p(x)成立；(2)要判断它是假命题，只要在集合 M 中找到一个元素 x，使 p(x)不成立即可2存在性命题“ x M， p(x)”强调结论的存在性，因此，(1)要证明它是真命题，只需在集合 M 中找到一个元素 x，使 p(x)成立即可(2)要判断它是假命题，需对集合 M 中每一个元素 x，证明 p(x)不成立五、含有一个量词的命题的否定21全称命题的否定一定是存在性命题p： x M， p(x)成立；綈 p： x M，綈 p(x)成立2存在性命题的否定一定是全称命题p： x M， p(x)成立；綈 p： x
4、M，綈 p(x)成立3含有一个量词的命题的否定首先要改变量词，把全称量词改为存在量词；把存在量词改为全称量词，然后再把判断词加以否定对 应 阶 段 质 量 检 测 (一 )见 8开 试 卷 (时间 120 分钟，满分 160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分将答案填在题中的横线上)1命题：“若 ab0，则 a0 或 b0”的逆否命题是_答案：若 a0 且 b0，则 ab02命题“ xR， x22 x10” 的否定是_ 解析：原命题是全称命题，其否定是存在性命题答案： xR， x22 x10，故为真3答案：26(上海高考改编)钱大姐常说“便宜没好货” ，她这句话
5、的意思是：“不便宜”是“好货”的_条件解析：便宜没好货，等价于其逆否命题，好货不便宜，“不便宜”是“好货”的必要不充分条件答案：必要不充分7(湖南高考改编)“10 的等差数列 an的四个命题：p1：数列 an是递增数列；p2：数列 nan是递增数列；p3：数列 是递增数列；annp4：数列 an3 nd是递增数列其中的真命题为_解析：设 an a1( n1) d dn a1 d，它是递增数列，所以 p1为真命题；若an3 n12，则满足已知，但 nan3 n212 n 并非递增数列，所以 p2为假命题；若an n1，则满足已知，但 1 是递减数列，所以 p3为假命题；由于ann 1nan3 n
6、d4 dn a1 d，它是递增数列，所以 p4为真命题答案： p1， p410命题 p：任意两个等边三角形都是相似的它的否定是_；否命题是_答案：存在两个等边三角形不相似如果两个三角形不都是等边三角形，那么它们不相似411已知命题 p：不等式| x1| m 的解集是 R，命题 q： f(x) 在区间(0，)2 mx上是减函数，若命题“ p 或 q”为真，命题“ p 且 q”为假，则实数 m 的取值范围是_解析：命题 p： mN”是“( )M( )N”的充分不必要条件23 23解析：对于，易知是正确的；对于，由綈 p 是 q 的必要条件知： q綈 p 则 p綈q，即 p 是綈 q 的充分条件，正
7、确；对于，由 MN 不能得知( )M( )N，因此是错误23 23的综上所述，其中正确的命题个数是 2.答案：213从“充分不必要条件” “必要不充分条件” “充要条件” “既不充分也不必要条件”中，选出适当的一种填空：(1)记集合 A1， p,2， B2,3，则“ p3”是“ A B B”的_；(2)“a1”是“函数 f(x)|2 x a|在区间 上为增函数”的12， )_解析：(1)当 p3 时， A1,2,3，此时 A B B；若 A B B，则必有 p3.因此“p3”是“ A B B”的充要条件(2)当 a1 时， f(x)|2 x a|2 x1|在 上是增函数；但由 f(x)12，
8、)|2 x a|在区间 上是增函数不能得到 a1，如当 a0 时，函数 f(x)12， )|2 x a|2 x|在区间 上是增函数因此“ a1”是“函数 f(x)|2 x a|在区12， )间 上为增函数”的充分不必要条件12， )答案：(1)充要条件 (2)充分不必要条件14已知命题 p：“ x0,1 ， ae x”，命题 q：“ xR， x24 x a0” ，若上述两个命题都是真命题，则实数 a 的取值范围为_5解析：由 x0,1， ae x，得 ae；由 xR， x24 x a0，得 4 24 a0，解得 a4，从而 a 的取值范围为e,4答案：e,4二、解答题(本大题共 6 小题，共
9、90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 14 分)写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：末位数字为 9 的整数能被 3 整除；(2)p：有的素数是偶数；(3)p：至少有一个实数 x，使 x210；(4)p： x， yR， x2 y22 x4 y50.解：(1)綈 p：存在一个末位数字为 9 的整数不能被 3 整除綈 p 为真命题(2)綈 p：所有的素数都不是偶数因为 2 是素数也是偶数，故綈 p 为假命题(3)綈 p：对任意的实数 x，都有 x210.綈 p 为真命题(4)綈 p： x0， y0R， x y 2 x04 y050.20 20綈 p 为真命题
10、16(本小题满分 14 分)把下列各命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题(1)若 ，则 sin sin ；(2)若对角线相等，则梯形为等腰梯形；(3)已知 a， b， c， d 都是实数，若 a b， c d，则 a c b d.解：(1)逆命题：若 sin sin ，则 ；否命题：若 ，则 sin sin ；逆否命题：若 sin sin ，则 .(2)逆命题：若梯形为等腰梯形，则它的对角线相等；否命题：若梯形的对角线不相等，则梯形不是等腰梯形；逆否命题：若梯形不是等腰梯形，则它的对角线不相等(3)逆命题：已知 a， b， c， d 都是实数，若 a c b d，则 a b，
11、 c d；否定题：已知 a， b， c， d 都是实数，若 a b 或 c d，则 a c b d；逆否命题：已知 a， b， c， d 都是实数，若 a c b d，则 a b 或 c d.17(本小题满分 14 分)已知 p：2 x29 x a0， q：Error!且綈 p 是綈 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围解：由Error!得Error! 即 2 x3. q：2 x3.6设 A x|2x29 x a0， B x|2 x3，綈 p綈 q， qp. BA.即 2 x3 满足 2x29 x a0.设 f(x)2 x29 x a，要使 2 x3 满足不等式 2x29 x a0，需有Er
12、ror! 即Error! a9.实数 a 的取值范围是 a|a918(本小题满分 16 分)设有两个命题： p：关于 x 的不等式 x22 x4 a0 对一切xR 恒成立； q：已知 a0， a1，函数 y| a|x在 R 上是减函数，若 p q 为假命题，p q 为真命题，求实数 a 的取值范围解：不等式 x22 x4 a0 对 xR 恒成立， x22 x4 a 对 xR 恒成立，令 y x22 x4， ymin5， a5，命题 p 即为 p： a5，函数 y| a|x(a0， a1)在 R 上是减函数，| a|1， a1 或 a1.即实数的取值范围是(5，1)(1，)19(本小题满分 16
13、 分)已知 p： 2； q： x22 x1 m2(m0)若綈 p 是綈|1x 13 |q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围解：法一：由 x22 x1 m2(m0)，得 1 m x1 m.綈 q： A x|x1 m， m0由 2，得2 x10.|1x 13 |綈 p： B x|x10綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，且 m0， A B.Error!7解得 m9.注意到当 m9 时，中等号成立，而中等号不成立实数 m 的取值范围是.9， )法二：綈 p 是綈 q 的必要不充分条件 q 是 p 的必要不充分条件 p 是 q 的充分不必要条件 C D，又 p： C x|2 x10，q： D x|1 m x1 m， m0，Error! 解得 m9.故实数 m 的取值范围是 .9， )20(本小题满分 16 分)已知命题 p：不等式( m1) x2( m1) x20 的解集是 R，命题 q：sin xcos xm.如果对于任意的 xR，命题 p 是真命题且命题 q 为假命题，求 m 的范围解：对于命题 p：(1)当 m10 时，原不等式化为 20 恒成立，满足题意(2)当 m10 时，只需Error!得 1m 是假命题，则 m .综上， m 的取值范围是 ，9)2 28
