1、122.2 椭圆的几何性质对 应 学 生 用 书 P22建立了椭圆的标准方程后，我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质以方程 1( a b0)为例，试着完成下列问题：x2a2 y2b2问题 1：方程中对 x， y 有限制的范围吗？提示：由 1 0，得 a x a.y2b2 x2a2同理 b y b.问题 2：在方程中，用 x 代 x， y 代 y，方程的形式是否发生了变化？提示：不变问题 3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？提示：令 x0，得 y b； 令 y0，得 x a；与 x 轴的交点为( a,0)，( a,0)，与 y 轴的交点为(0， b)，(0， b)椭圆的几何性质焦点的位置 焦点在
2、x 轴上 焦点在 y 轴上图形标准方程 1( a b0)x2a2 y2b2 1( a b0)y2a2 x2b2范围 a x a， b y b a y a， b x b顶点 (a,0)，(0， b) (0， a)，( b,0)轴长 短轴长2 b，长轴长2 a焦点 (c,0) (0， c)焦距 F1F22 c对称性 对称轴 x 轴， y 轴，对称中心(0,0)2离心率 e (0,1)ca1椭圆的对称性椭圆的图像关于 x 轴成轴对称，关于 y 轴成轴对称，关于原点成中心对称2椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系(1)04 时，由 c2 a2 b2 m4，得 .解得 m .m 4m 13 92当 mb0
3、)x2a2 y2b2 y2a2 x2b2由已知 a2 b，且椭圆过点(2，6)，从而有 1 或 1.22a2 ( 6)2b2 ( 6)2a2 22b2由得 a2148， b237 或 a252， b213.故所求椭圆的标准方程为 1 或 1.x2148 y237 y252 x213一点通 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定焦点所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长或焦距时，则不能确定焦点所在的坐标轴3已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 ，且
4、G 上一点到 G 的两32个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为_解析：由题意得 2a12， ，所以 a6， c3 ， b3.ca 32 3故椭圆方程为 1.x236 y29答案： 1x236 y294求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在 y 轴上，焦距是 4，且经过点 M(3,2)；(2)离心率为 ，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为 26.513解：(1)由焦距是 4 可得 c2，且焦点坐标为(0，2)，(0,2)由椭圆的定义知，2a 8，32 (2 2)2 32 (2 2)2所以 a4，所以 b2 a2 c216412.又焦点在 y 轴上，所以椭圆的标准方程为 1.y216
5、 x212(2)由题意知，2 a26，即 a13，5又 e ，所以 c5，ca 513所以 b2 a2 c213 25 2144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为 1 或 1.x2169 y2144 y2169 x2144与椭圆离心率有关的问题例 3 已知椭圆 M： 1( ab0)的左，右焦点分别为 F1， F2.P 是椭圆 M 上的x2a2 y2b2任一点，且 PF1PF2的最大值的取值范围为 ，其中 c2 a2 b2，求椭圆的离心率12c2， 3c2的取值范围思路点拨 由 P 是椭圆上一点，知 PF1 PF22 a，进而设法求出 PF1PF2的最大值，再由已知的范围求出离心
6、率 e 的范围精解详析 P 是椭圆上一点， PF1 PF22 a，2 a PF1 PF22 ，PF1PF2即 PF1PF2 a2，当且仅当 PF1 PF2时取等号 c2 a23 c2， 2，12 13 c2a2 e22， e .13 33 20b0)的左、右焦点分别为 F1、 F2， P 为椭圆 M 上任一点，且x2a2 y2b21PF 的最大值的取值范围是 c2,3c2，其中 c ，则椭圆 M 的离心率 e 的取a2 b2值范围是_解析：设 P(x， y)、 F1( c,0)、 F2(c,0)，则 1( c x， y)， P( c x， y)， 2 x2 y2 c2，又 x2 y2可看作 P
7、(x， y)到原点的距离的平方，所以( x2 y2)max a2，( 1F 2)max b2，所以 c2 b2 a2 c23 c2，即 e2 ，14 12所以 e .12 22答案： 12， 22与椭圆相关的应用问题例 4 某宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为 R，若其近地点、远地点离地面的距离分别大约是 R、 R，求此宇宙飞船运行的轨道方程115 13思路点拨 根据条件建立坐标系，设出椭圆方程，构造方程，求得宇宙飞船运行的轨道方程7精解详析 如图所示，以运行轨道的中心为原点，其与地心的连线为x 轴建立坐标系，且令地心 F2为椭圆的右焦点，则轨道方程为焦点在 x 轴上的椭
8、圆的标准方程，不妨设为 1( ab0)，则地心 F2的坐标为( c,0)，x2a2 y2b2其中 a2 b2 c2，则Error! 解得Error! b2 a2 c2 2 2 R2.(65R) (215R) 6445此宇宙飞船运行的轨道方程为 1.x23625R2y26445R2一点通 解决此类问题，首先要根据条件建立平面直角坐标系，将实际问题转化为有关椭圆的问题，再将条件转化为 a， b， c 的关系，进而求出椭圆方程，解决其它问题注意：(1)椭圆方程中变量的范围对实际问题的限制；(2)最后要将数学模型还原回实际问题作答7某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为
9、 3.5 h 的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至 1 700 km，近月点(距离月球表面最近的点)高度是 200 km，月球的半径约是 1 800 km，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是_解析：可设小椭圆的长轴长为 2a，焦距为 2c，由已知得2a1 70021 800200， a2 750.又 a2 c1 7001 800， c375. e .ca 3752 750 322答案：3228已知某荒漠上 F1、 F2两点相距 2 km，现准备在荒漠上开垦出一片以 F1、 F2为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园按照规
10、划，平行四边形区域边界总长为 8 km.(1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程；(2)问农艺园的最大面积能达到多少？解：(1)以 F1F2所在直线为 x 轴， F1F2的中垂线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 F1(1,0)， F2(1,0)设平行四边形的另两8个顶点为 P(x， y)， Q(x， y)，则由已知得 PF1 PF24.由椭圆定义知点 P 在以 F1、 F2为焦点，以 4 为长轴长的椭圆上，此时 a2， c1，则b .3 P 点的轨迹方程为 1( y0)，x24 y23同理 Q 点轨迹方程同上(2)SPF1QF2 F1F2|yP|2 cb2 (km2)，3所以当 P
11、为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大为 2 km2.31椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置2椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状3讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x 轴上、 y 轴上进行讨论对应课时跟踪训练(九) 1(新课标全国卷改编)设椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2， P 是 C 上的点， PF2 F1F2， PF1F230，则 C 的离心率为_解析：法一：由题意可设| PF2| m，结合条件可知| PF1|2 m，| F1F2|
12、 m，故离心率3e .ca 2c2a |F1F2|PF1| |PF2| 3m2m m 33法二：由 PF2 F1F2可知 P 点的横坐标为 c，将 x c 代入椭圆方程可解得 y ，所b2a以| PF2| .又由 PF1F230可得| F1F2| |PF2|，故 2c ，变形可得 (a2 c2)b2a 3 3 b2a 32 ac，等式两边同除以 a2，得 (1 e2)2 e，解得 e 或 e (舍去)333 3答案：332(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于 ，则 C129的方程是_解析：依题意，设椭圆方程为 1( a b0)，所以Error!解得 a
13、24， b23.x2a2 y2b2答案： 1x24 y233曲线 1 与曲线 1( kb0)的离心率是 ，过椭圆上一点 M 作直线 MA， MB 分别交x2a2 y2b2 63椭圆于 A， B 两点，且斜率分别为 k1， k2，若点 A， B 关于原点对称，则 k1k2的值为_解析：设点 M(x， y)， A(x1， y1)， B( x1， y1)，则 y2 b2 ， y b2 .b2x2a2 21 b2x21a2所以 k1k2 1y y1x x1 y y1x x1 y2 y21x2 x21 b2a2 c2a2 e21 ，13即 k1k2的值为 .13答案：135设 F1， F2是椭圆 E：
14、1( a b0)的左、右焦点， P 为直线 x 上一点，x2a2 y2b2 3a2 F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率是_解析：设直线 x 与 x 轴交于点 M，则 PF2M60.3a2由题意知， F1F2 PF22 c， F2M c.3a2在 Rt PF2M 中， F2M PF2，即 c c.12 3a2 e .ca 3410答案：346已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率 e ，经过点 A( ，2)，求椭圆的标准方35 5 32程解：设椭圆的标准方程为 1( ab0)，则 1.x2a2 y2b2 754a2 4b2由已知 e ， ， c a.35 ca 35 35 b2
15、a2 c2 a2( a)2，即 b2 a2.35 1625把代入，得 1，754a2 42516a2解得 a225， b216，所求方程为 1.x225 y2167已知椭圆 x2( m3) y2 m(m0)的离心率 e ，求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的32长、焦点坐标、顶点坐标解：椭圆方程可化为 1，x2m y2mm 3由 m0，易知 m ，mm 3 a2 m， b2 .mm 3 c .a2 b2m(m 2)m 3由 e ，得 ，解得 m1，32 m 2m 3 32椭圆的标准方程为 x2 1.y214 a1， b ， c .12 32椭圆的长轴长为 2，短轴长为 1，两焦点坐标分别为 F1
16、， F2 ，(32， 0) (32， 0)11顶点坐标分别为 A1(1,0)， A2(1,0)， B1 ， B2 .(0， 12) (0， 12)8若椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，点 P 是椭圆上的一点， P 在 x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点， P 与中心 O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于 ，试求椭圆的离心率及其方程10 5解：令 x c，代入 1( a b0)，x2a2 y2b2得 y2 b2(1 ) ， y .c2a2 b4a2 b2a设 P( c， )，椭圆的右顶点 A(a,0)，上顶点 B(0， b)b2a OP AB， kOP kAB， ，b2ac ba b c.而 a2 b2 c22 c2， a c， e .2ca 22又 a c ，解得 a ， c ， b ，10 5 10 5 5所求椭圆的标准方程为 1.x210 y25
